Esercizi di fisica con soluzioni/La corrente elettrica: differenze tra le versioni
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aggiunto esercizio 19 |
m →12. Scarica condensatore con 2 R: corretti errori e ampliate le formule |
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La carica iniziale vale:
:<math>Q_o=Cf=9\ mC\ </math>▼
▲<math>Q_o=Cf=9\ mC\ </math>
Mentre una volta che il sistema con l'interruttore chiuso è andato a regime, la tensione ai capi di
<math>R_2</math> vale ovviamente:
:<math>f'=\frac f{R_1+R_2}R_2=10\ mV</math>▼
▲<math>f'=\frac f{R_1+R_2}R_2=10\ mV</math>
E quindi la carica finale ai capi di <math>C\ </math> vale:
:<math>Q_f=Cf'=10\ \mu C</math>▼
▲<math>Q_f=Cf'=10\ \mu C</math>
Se definisco <math>I_1\ </math> la corrente in <math>R_1\ </math>, <math>I_3\ </math> quella in <math>R_2\ </math> ed
<math>I_2\ </math> la corrente nel ramo del condensatore tale che la carica
istantanea nel condensatore:
:<math>I_2=-\frac {dQ}{dt}\ </math>▼
▲<math>I_2=-\frac {dQ}{dt}\ </math>
L'equazione dei
nodi e della maglie sono:
:<math>▼
▲<math>
f=I_1R_1+I_3R_2\ </math>
:<math>I_3=I_1+I_2\ </math>
:<math>
Eliminando dalla terza:
:<math>
e dalla prima:
si ha nella seconda:
:<math>\frac Q{R_2C}=\frac {f
:<math>f'C=I_3R'C+Q\ </math>
con <math>R'=\frac {R_1R_2}{R_1+R_2}\approx
:<math>-\frac {dQ}{dt}\tau=Q-f'C=Q-Q_f\ </math>▼
▲<math>-\frac {dQ}{dt}\tau=Q-f'C=Q-Q_f\ </math>
Separando le variabili ed integrando:
:<math>\int_{Q_o}^{Q}\frac {dQ}{Q-Q_f}=-\int_o^t\frac {dt}{\tau}\ </math>
:<math>
Da cui:
:<math>I_2=-\frac {dQ}{dt}=\frac {Q_o}{\tau }e^{-t/\tau}=\frac f{R_2}e^{-t/\tau}\ </math>
:<math>
}\right)\ </math>
Imponendo che:
:<math>I_2=I_1\ </math>
:<
<math>▼
\frac {e^{-t_1/\tau}
}{R_2}=\frac 1{R_1
▲:<math>
▲t_1=\tau \ln\left(\frac {R_1+2\cdot R_2}{R_2}\right)=0.62\ ms\ </math>
===13. Due generatori reali su una R variabile ===
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