Differenze tra le versioni di "Esercizi di fisica con soluzioni/La corrente elettrica"

m
→‎12. Scarica condensatore con 2 R: corretti errori e ampliate le formule
(aggiunto esercizio 19)
m (→‎12. Scarica condensatore con 2 R: corretti errori e ampliate le formule)
 
La carica iniziale vale:
:<math>Q_o=Cf=9\ mC\ </math>
 
<math>Q_o=Cf=9\ mC\ </math>
 
Mentre una volta che il sistema con l'interruttore chiuso è andato a regime, la tensione ai capi di
<math>R_2</math> vale ovviamente:
:<math>f'=\frac f{R_1+R_2}R_2=10\ mV</math>
 
<math>f'=\frac f{R_1+R_2}R_2=10\ mV</math>
 
E quindi la carica finale ai capi di <math>C\ </math> vale:
:<math>Q_f=Cf'=10\ \mu C</math>
 
<math>Q_f=Cf'=10\ \mu C</math>
 
Se definisco <math>I_1\ </math> la corrente in <math>R_1\ </math>, <math>I_3\ </math> quella in <math>R_2\ </math> ed
<math>I_2\ </math> la corrente nel ramo del condensatore tale che la carica
istantanea nel condensatore:
:<math>I_2=-\frac {dQ}{dt}\ </math>
 
<math>I_2=-\frac {dQ}{dt}\ </math>
 
L'equazione dei
nodi e della maglie sono:
:<math>
 
<math>
f=I_1R_1+I_3R_2\ </math>
:<math>I_3=I_1+I_2\ </math>
 
:<math>I_3\frac QC=I_1+I_2R_2I_3\ </math>
Eliminando dalla terza:
 
:<math>\frac QCI_3=R_2I_3Q/(R_2C)\ </math>
e dalla prima:
 
Da cui eliminando <math>I_1=\frac <{f-Q/math> ed <math>I_3C}{R_1}\ </math>:
si ha nella seconda:
 
:<math>\frac Q{R_2C}=\frac {f'C=I_3R'-Q/C}{R_1}+Q\frac {dQ}{dt}\ </math>
:<math>f'C=I_3R'C+Q\ </math>
 
con <math>R'=\frac {R_1R_2}{R_1+R_2}\approx 1R_2\ \Omega</math> da cui, definendo <math>\tau =R'CR_2C=0.91\ ms</math>:
:<math>-\frac {dQ}{dt}\tau=Q-f'C=Q-Q_f\ </math>
 
<math>-\frac {dQ}{dt}\tau=Q-f'C=Q-Q_f\ </math>
 
Separando le variabili ed integrando:
:<math>\int_{Q_o}^{Q}\frac {dQ}{Q-Q_f}=-\int_o^t\frac {dt}{\tau}\ </math>
 
:<math>\int_{Q(t)=Q_f+(Q_o}-Q_f)e^{Q-t/\tau}\fracapprox Q_f+Q_oe^{dQ}{Q-Q_f}=-\int_o^t\frac {dt}{/\tau}\ </math>
 
<math>Q(t)=Q_f+(Q_o-Q_f)e^{-t/\tau}\approx Q_f+Q_oe^{-t/\tau}\ </math>
 
Da cui:
:<math>I_2=-\frac {dQ}{dt}=\frac {Q_o}{\tau }e^{-t/\tau}=\frac f{R_2}e^{-t/\tau}\ </math>
 
:<math>I_2I_1=-\frac {dQf-I_2R_2}{dtR_1}=\frac f{Q_oR_1}{\tauleft( }1-e^{-t/\tau}\ </math>
 
<math>I_1=\frac {f-I_2R_2}{R_1+R_2}=\frac f{R_1+R_2}\left( 1-e^{-t/\tau
}\right)\ </math>
 
Imponendo che:
:<math>I_2=I_1\ </math>
 
:<math>I_2=I_1\ </math>
 
<math>
\frac {e^{-t_1/\tau}
}{R_2}=\frac 1{R_1+R_2}\left( 1-e^{-t_1/\tau }\right)\ </math>
:<math>
 
t_1=\tau \ln\left(1+\frac {R_1+2\cdot R_2}{R_2}\right)=06.628\ ms\ </math>
<math>
t_1=\tau \ln\left(\frac {R_1+2\cdot R_2}{R_2}\right)=0.62\ ms\ </math>
 
===13. Due generatori reali su una R variabile ===