Fisica classica/Magnetismo della materia: differenze tra le versioni

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[[Fisica_classica/Legge_di_Ampère| Argomento precedente: Legge di Ampère]]
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|CapitoloSuccessivo=Induzione e legge di Faraday
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}}
 
Le equazioni finora studiate riguardano i campi magnetici nel vuoto.
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Poiché la differenza di energia tra un dipolo magnetico allineato o in direzione opposta ad un campo magnetico è pari a:
:<math>\Delta E=2|\vec m||\vec B|\ </math>
Tale energia anche se <math>|\vec m|\ </math> ha un valore, relativamente grande (molti magnetoni di Bohr), e <math>|\vec B|\ </math> è molto intenso (qualche Tesla) è di gran lunga inferiore alla energia dovuta alla agitazione termica <math>k_BT\ </math> (a temperatura ambiente). Via via che diminuisce la temperatura cresce il potere allineante dei campi esterni ed a temperature molto basse si può avere che un numero significativo di dipoli è orientato nella direzione del campo, quasi indipendentemente dalla sua intensità, si raggiunge cioè una specie di saturazione. Tale saturazione non si trova nelle sostanze dielettriche, che anche se hanno un momento di dipolo elettrico intrinseco elevato, mala differenza di l'energia tra un dipolo elettrico allineato o in direzione opposta ad un campo elettrico vale <math>\Delta E=2|\vec p||\vec E|\ </math> ed in genere molto inferiore a qualsiasiquella dei dipoli magnetici a temperatura ambiente, inper cui sianoi liberimateriali di orientarsi,dielettrici non divienepresentano maia paragonabilebassa atempeartura <math>k_BT\il </math>fenomeno della saturazione.
 
La spiegazione del diamagnetismo è più sottile, dipende infatti da quella che va sotto il nome di
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==Il vettore magnetizzazione==
 
L'effetto dei campi di induzione magnetica sulla materia è quello di indurre dei momenti magnetici
elementari <math>\vec m_i\ </math>, nelle varie regioni di spazio <math>d\tau\ </math> in cui è presente un campo <math>\vec B\ </math>, possiamo con analogia al caso del vettore polarizzazione, un campo vettoriale macroscopico:
:<math>\vec M=\lim_{d\tau ->0} \frac {\sum_{i=1}^N \vec m_i}{d\tau }\ </math>
Il limite è un limite fisico, non matematico, in quanto <math>d\tau\ </math> deve essere abbastanza piccolo, ma non troppo, in quanto il numero dei momenti magnetici elementari <math>\vec m_i\ </math> in esso contenuto deve essere sufficientemente grande da potere fare una media statistica.
Tale campo vettoriale prende il nome di vettore di magnetizzazione. Tale campo è nullo nel vuoto e nei materiali diamagnetici o paramagnetici
è proporzionale in modulo all'intensità che ha localmente il campo di induzione magnetica. Nei materiali paramagnetici il verso <math>\vec M\ </math> è lo stesso di <math>\vec B\ </math>. Nei materiali diamagnetici avrà verso opposto.
 
[[Immagine:Polarization_and_magnetization.svg|thumb|250px|left|Analogia tra polarizzazione elettrica in un campo elettrico uniforme e magnetizzazione in un campo di induzione magnetica uniforme]]
Potremmo definire una permeabilità magnetica relativa analoga ad <math>\epsilon_r\ </math> in maniera tale che il campo di un solenoide sia:
Il momento magnetico ha le dimensioni di una corrente per una superficie, le dimensioni di <math>\vec M\ </math> sono quindi quelle di una corrente per unità di lunghezza (come quelle del vettore <math>\vec H\ </math> che vedremo nel seguito). Dal punto di vista fisico, l'effetto della materia, presenza di campi magnetici è la generazione di correnti di magnetizzazione. Se <math>\vec M\ </math> è uniforme nel mezzo, l'unico effetto magnetico dalle correnti di magnetizzazione sarà a livello superficiale, in quanto le correnti di magnetizzazione all'interno del volume si annullano vicendevolmente analogamente che nei materiali dielettrici in presenza di un campo elettrico uniforme.
 
La figura a fianco dovrebbe dare una idea dell'analogia.
:<math>|\vec B|=\mu_r\mu_{\circ} nI\ </math>
 
Consideriamo una fetta <math>dl\ </math> di un cilindro di sezione <math>A\ </math> magnetizzata uniformemente e chiamiamo <math>\hat n\ </math> il versore ad essa normale. Se il materiale ha una magnetizzazione <math>\vec M\ </math>, uniforme, la fetta si comporta come un dipolo magnetico con momento:
Ma nella maggior parte delle sostanze <math>\mu_r\ </math> è prossima all'unità. Vi sono sostanze per cui <math>\mu_r\ </math> è minore di uno che si dicono diamagnetiche e altre in cui <math>\mu_r\ </math> è maggiore di uno che si chiamano paramagnetiche; ma questo non porta nessun cambiamento nei fenomeni di tutti i giorni. I campi magnetici vengono in genere schermati malissimo dalla materia al contrario dei campi elettrici.
:<math>\vec m=Adl\vec M\ </math>
Lo stesso dipolo lo avrebbe una corrente infinitesima tale che:
:<math>dI_cA=Adl\vec M\cdot \hat n\ </math>
Quindi la magnetizzazione del materiale equivale a far circolare sul bordo una corrente:
:<math>dI_c=dl\vec M\cdot \hat n\ </math>
La grandezza <math>|\vec J_{ml}|=dI_c/dl\ </math> è una corrente per unità di lunghezza che deve scorrere sul bordo della fetta quindi perpendicolare a <math>\hat n\ </math> per generare la magnetizzazione <math>\vec M\ </math>:
:<math>\vec J_{ml}=\vec M\times \hat n\ </math>
La corrente di magnetizzazione è l'analogo magnetico della densità di carica di polarizzazione per i dielettrici.
Se la magnetizzazione non è uniforme il rotore di <math>\vec M\ </math> è diverso da zero con anologia con il caso elettrostatico
bisogna considerare delle densità di correnti all'interno del materiale magnetizzato provocate dalla dalla non uniformità
di <math>\vec M\ </math>:
:<math>\vec J_{mv}=\vec \nabla \times \vec M\ </math>
Le dimensioni di <math>|J_{mv}|\ </math> sono di una densità di corrente (corrente su superficie), mentre quelle di <math>J_{sv}\ </math>
sono di una corrente per unità di lunghezza.
 
==Equazioni della magnetostatica in presenza di materia==
La teoria del magnetismo della materia viene sviluppata in una maniera simile alla elettrostatica in presenza di materia introducendo un vettore <math>\vec M\ </math> che è una misura del momento di dipolo magnetico nel materiale, le cui dimensioni sono quelle di un dipolo magnetico diviso il volume e quindi nel [[w:Sistema Internazionale|Sistema Internazionale]] si misura in <math>A/m\ </math>. Il vettore <math>\vec M\ </math> determina delle correnti di magnetizzazione che sono sorgenti del campo. Si introduce anche il vettore campo magnetico che dipende dalle sole correnti impresse, non quelle di magnetizzazione, <math>\vec H\ </math>.
Esaminiamo un mezzo continuo magnetico, nel passaggio da un mezzo all'altro i vettori <math>\vec B\ </math> e <math>\vec M\ </math> hanno delle discontinuità per cui non è possibile considerare delle equazioni locali. Ma se il mezzo è continuo si possono considerare le equazioni locali.
 
Mentre la [[Fisica_classica/Legge_di_Ampère#Seconda_equazione_di_Maxwell|seconda equazione di Maxwell]] rimane eguale in presenza di materia:
La relazione tra i vari campi è:
:<math>\vec \nabla \cdot \vec B =0\ </math>
Nella equazione di [[Fisica_classica/Legge_di_Ampère#Il_Teorema_di_Amp.C3.A8re_in_forma_differenziale| Ampère in forma differenziale]] si può fare una distinzione tra densità di correnti impresse (<math>\vec J_i\ </math>cioè dovute a cariche in moto) e densità di correnti di magnetizzazione per cui:
:<math>\vec \nabla \times \vec B =\mu_o (\vec J_i+\vec J_{mv})=\mu_o\vec J_i+\mu_o\vec \nabla \times \vec M \ </math>
da cui:
:<math>\vec \nabla \times \left[\frac {\vec B}{\mu_o}-\vec M\right] =\vec J_i \ </math>
Se chiamiamo campo magnetico il vettore:
:<math>\vec H=\frac {\vec B}{\mu_o}-\vec M\ </math>
L'equazione di Ampere si può anche scrivere come
:<math>\vec \nabla \times \vec H=\mu_o\vec J_i\ </math>
Cioè il vettore campo magnetico dipende dalle sole correnti impresse e non dipende dalle correnti di magnetizzazione e quindi ha un
significato simile al vettore [[Fisica_classica/Dielettrici#Il_vettore_spostamento_elettrico|spostamento elettrico]] definito nei dielettrici.
 
Nei mezzi isotropi paramagnetici o diamagnetici possiamo definire una permeabilità magnetica relativa analoga ad <math>\epsilon_r\ </math> in maniera tale che il campo di un solenoide sia:
:<math>\vec B=\mu_o(\vec H+\vec M)\ </math>
:<math>|\vec B|=\mu_r\mu_{\circ} nI\ </math>
Nella maggior parte delle sostanze <math>\mu_r\ </math> è prossima all'unità. Le sostanze per cui <math>\mu_r\ </math> è minore di uno che si dicono diamagnetiche, mentre quelle per cui <math>\mu_r\ </math> è maggiore di uno che si chiamano paramagnetiche; ma questo non porta nessun cambiamento nei fenomeni di tutti i giorni. I campi magnetici vengono in genere schermati malissimo dalla materia al contrario dei campi elettrici. In ogni caso possiamo facilmente esprimere il legame tra <math>\vec H\ </math> e <math>\vec B\ </math>:
:<math>\vec B=\mu_o \mu_r\vec H\ </math>
:<math>\vec M=(\mu_r-1)\vec H=\chi \vec H\ </math>
La quantità <math>\chi=\mu_r-1\ </math> è detta la [[w:Suscettività_magnetica|suscettività magnetica]].
 
Inoltre
 
:<math>\vec M=\chi \vec H\ </math>
 
Dove <math>\chi\ </math> è detta la suscettività magnetica.
Il campo magnetico di un solenoide molto lungo ed ideale, indipendentemente dal materiale con cui è riempito vale:
 
:<math>|\vec H|= nI\ </math>
 
Le equazioni integrali della magnetostatica in presenza di materia (valide anche se i mezzi non sono continui) sono:
Da quanto detto appare chiaro come:
:<math>\int_{Schiusa} \vec B\cdot \overrightarrow{dS}=0\ </math>
:<math>\oint_{\ell}\vec H \cdot \overrightarrow{d\ell}= \sum I_i\ </math>
Dove <math>I_i\ </math> sono le sole correnti impresse.
 
==Passaggio da un mezzo ad un altro==
:<math>\chi =\mu_r-1\ </math>
Se il mezzo non è continuo possiamo definire i vettori <math>\vec B\ </math> e <math>\vec H\ </math> ma non possiamo usare per loro l'equazioni differenziali ma le equazioni integrale associate.
 
Mentre invece, se non vi è corrente nell'interfaccia tra i due mezzi, considerando una superficie gaussiana cilindrica infinitesima sia per quanto riguarda le basi, parallele alla superficie di separazione e nei due mezzi, un altezza infinitesima di ordine superiore rispetto alle dimensioni lineari delle basi, in ogni caso il flusso del campo <math>\vec B\ </math> è nullo attraverso tutta la superficie chiusa, ma in questo caso particolare, poiché il flusso attraverso le superfici laterali è nullo per la costruzione geometrica (area infinitesima di ordine superiore) anche il flusso uscente dalle basi è in totale nullo e quindi:
La magnetizzazione sia paramagnetica che diamagnetica ha una importanza essenzialmente accademica, in quanto dato il valore assoluto molto piccolo di <math>\mu_r\ </math>, come già detto, la presenza di materia non modifica il campo di induzione magnetica in maniera significativa.
:<math>B_{n1}=B_{n2}\ </math>
come per <math>D_{n1}=D_{n2}\ </math> nei dielettrici.
 
Per quanto riguarda <math>\vec H\ </math> immaginiamo un cammino chiuso che passi da un mezzo (1) ad un altro (2), parallelo alla superficie di separazione, ma che si discosti dal bordo di uno spostamento infinitesimo, se non vi sono correnti impresse nella superficie di separazione:
Il discorso è completamente diverso per due tipi di materiali: i materiali [[w:Ferromagnetismo|ferromagnetici]] e i [[w:Superconduttore|superconduttori]].
:<math>\oint_{\ell}\vec H \cdot \overrightarrow{d\ell}=0\ </math>
Per garantire che sia verificata la equazione precedente occorre che la componente tangenziale del campo elettrico alla superficie di separazione sia eguale nei due mezzi, algebricamente:
:<math>H_{t1}=H_{t2}\ </math>
Quindi passando da un mezzo ad un altro la componente normale di <math>\vec B\ </math> è continua e allo stesso tempo la componente tangenziale di <math>\vec H\ </math> è continua.
 
== I materiali [[w:Ferromagnetismo|ferromagnetici]] ==
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|}
 
Le sostanze ferromagnetiche sono del tutto particolari. Le definizioni generali dei vettori <math>\vec B\ </math>, <math>\vec M\ </math> e <math>\vec H\ </math> conservano la loro validità.
Una altra categoria di sostanze sono i materiali ferromagnetici, per i quali se si potesse parlare di <math>\mu_r\ </math>
Ma mentre:
sarebbe molto grande, anche alcuni milioni: ma parlare di solo <math>\mu_r\ </math> è troppo riduttivo e non esaurisce la descrizione dei fenomeni. Cinque metalli di transizione, Cr, Mn, Fe, Co, Ni, e la maggior parte dei [[w:Lantanidi|lantanidi]] sono ferromagnetici (o [[w:Antiferromagnetismo|antiferromagnetici]]). Anche molte leghe e composti intermetallici mostrano qualche tipo di ordinamento magnetico. L'ordine ferromagnetico si ha al di sotto di una certa temperatura detta temperatura di Curie. Tale temperatura difficilmente supera il migliaio di K come appare dalla tabella a fianco.
:<math>\vec B=\mu_o(\vec H+\vec M)\ </math>
rimane valida. Le relazioni tra i vettori a coppie cambiano di molto, in genere tali vettori non sono paralleli possono essere addirittura diventare antiparalleli (come si vede nel seguito). Le equazioni di Maxwell in forma locale, come il passaggio da un mezzo all'altro, rimangono valide.
In alcuni casi se si potesse sarebbe parlare di suscettività magnetica, sarebbe molto grande, anche alcuni milioni: ma parlare di solo <math>\mu_r\ </math> è troppo riduttivo e non esaurisce la descrizione dei fenomeni. Cinque metalli di transizione, Cr, Mn, Fe, Co, Ni, e la maggior parte dei [[w:Lantanidi|lantanidi]] sono ferromagnetici (o [[w:Antiferromagnetismo|antiferromagnetici]]). Anche molte leghe e composti intermetallici mostrano qualche tipo di ordinamento magnetico. L'ordine ferromagnetico si ha solo al di sotto di una certa temperatura detta temperatura di Curie. Tale temperatura difficilmente supera il migliaio di K come appare dalla tabella a fianco.
 
I materiali ferromagnetici hanno una magnetizzazione complictacomplicata, essa non è una semplice funzione lineare del campo magnetico applicato <math>\vec H\ </math>, come nel caso delle sostanze diamagnetiche e paramagnetiche. Il comportamento è descritto dal ciclo di isteresi, tale curva mostra la peculiarità di tali materiali. Descriviamo tale curva indicata schematicamente a fianco, in cui sull'asse orizzontale riportiamo il campo applicato dall'esterno <math>\vec H\ </math> (proporzionale alla corrente che scorre ad esempio in un solenoide).
 
[[Immagine:Hysteresiscurve.png|thumb|350px|left|Curva di Isteresi di un tipico materiale ferromagnetico sull'asse delle ascisse vi è il campo magnetico H mentre sulle ordinate vi è la magnetizzazione ]]
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applicato dall'esterno, come indica la curva centrale. Quando H esterno supera un certo valore la magnetizzazione raggiunge un valore di saturazione (la curva orizzontale), a questo punto anche se viene rimosso il campo esterno il materiale rimane magnetizzato. Per annullare la magnetizzazione è necessario applicare un forte campo magnetico di segno opposto, che se è troppo elevato come nella figura inverte il segno della magnetizzazione. Per riportare il materiale nelle condizioni di saturazione iniziale è necessario applicare nuovamente un campo H positivo, ma di intensità maggiore di quello iniziale.
 
Tale curva ha un chiaro comportamento di isteresi, comunesimile nellaal caso al caso meccanica ladella deformazione con lo sforzo dei materiali plastici. La magnetizzazione del materiale dipende dalla storia del materiale. I materiali ferromagnetici trovano moltissimi impieghi nella società moderna. I [[w:Magnete_permanente|magneti permanenti]] sono dei materiali ferromagnetici con un ciclo di isteresi molto ampio, in maniera che una volta magnetizzato sia molto difficile invertirne il segno con campi magnetici esterni. I materiali ferromagnetici vengono utilizzati per la registrazione di informazioni, nelle cosiddette memorie magnetiche, gli [[w:Hard_disk|hard disk]] utilizzano l'inversione di magnetizzazione di saturazione per immagazzinare l'informazione. In questo caso la curva di isteresi deve essere non troppo ampia in maniera da permettere di cambiare la magnetizzazione di saturazione con un campo esterno, ma deve essere abbastanza stabile da non essere influenzato da disturbi esterni. Infine vi sono i cosiddetti materiali ferromagnetici dolci, usati negli [[w:Elettromagnete|elettromagneti]], in cui il ciclo di isteresi è molto stretto, in questi materiali vi è una relazione quasi lineare tra H ed M: in questo caso il materiale ferromagnetico genera un campo di induzione magnetica elevato mediante una piccola corrente di controllo: i materiali di questo genere trovano anche applicazione nei [[w:Trasformatore|trasformatori]].
=== I circuiti magnetici ===
[[Immagine:Fields_bar_magnet.png|thumb|200px|left|Visualizzazione delle linee del campo di <math>\vec H\ </math> e <math>\vec B\ </math> di una sbarretta magnetizzata con <math>\vec M\ </math> uniforme nel suo interno.]]
Nei magneti permanenti la magnetizzazione esiste indipendentemente dal campo magnetico <math>\vec H\ </math> esterno. Cioè una volta magnetizzato in qualche maniera rimane una Magnetizzazione residua. L'esempio in figura chiarisce quanto sia complicato il comportamento di un semplice magnete cioè una sbarretta di materiale ferromagnetico magnetizzato in maniera permanente.
 
Immaginiamo di avere un magnete permanente con forma di sbarretta e in figura è mostrata la sezione. La magnetizzazione supposta uniforme è disegnata in blu. Le linee del campo di <math>\vec B\ </math> (in rosso) sono continue, formano spire chiuse che circondano il magnete e sono simili a quelle prodotte da un solenoide equivalente disegnato sul bordo. Mentre le linee del campo di <math>\vec H\ </math> (in verde) hanno il comportamento simile al campo elettrico prodotto da un dipolo elettrico (agli estremi del magnete) si invertono di direzione passando per le basi del magnete e sono discontinue. Notiamo che mentre i campi <math>\vec H\ </math> e <math>\vec B\ </math> sono paralleli nel vuoto, all'interno del magnete sono antiparalleli, infatti deve essere verificata da una parte la condizione che non essendoci correnti impresse:
:<math>\oint_{\ell}\vec H \cdot \overrightarrow{d\ell}= 0\ </math>
Per questa ragione la direzione di <math>\vec H\ </math> cambia andando da fuori a dentro il magnete dalle basi.
 
Ma anche sulle basi:
:<math>B_{n,ferromagnete}=B_{n,vuoto}\ </math>
 
[[Immagine:Flux_circular_core.svg|thumb|300px|right|Anello ferromagnetico.]]
In realtà è più facile studiare un più semplice circuito magnetico come quello rappresentato in figura: un [[w:Toro_(geometria)|toro]] o se si vuole un anello pieno di materiale ferromagnetico su cui sono avvolte N spire e in cui scorre una corrente <math>I\ </math> costante. Chiamiamo <math>\ell\ </math> la lunghezza media del perimetro del toro ed <math>S\ </math> la sua sezione. La prima osservazione che in questo caso la direzione di <math>\vec H\ </math> e <math>\vec B\ </math> sono dovunque le stesse e entrambi i campi sono confinati all'interno del ferromagnete.
Possiamo considerare una linea chiusa all'interno dell'anello (rappresentata dalle linee rosse in figura) facendo la circuitazione del campo magnetico su tale si ha che:
:<math>\oint_{\ell}\vec H \cdot \overrightarrow{d\ell}= NI\ </math>
ma anche per una qualsiasi superficie chiusa che tagli l'anello:
:<math>\int_{Schiusa} \vec B\cdot \overrightarrow{dS}=0\ </math>
Poichè il flusso sulla superficie esterna di tale superficie è nullo, si ha
il flusso magnetico è eguale in tutte le sezioni dell'anello. Il comportamento del flusso magnetico è analogo al comportamento della corrente elettrica nei rami dei circuiti. Infatti se l'anello non fosse a sezione costante mentre il campo sarebbe più intenso nelle strozzature il flusso conserverebbe lo stesso valore. Quindi possiamo esplicitare la circuitazione di <math>\vec H\ </math>:
:<math>NI=\oint_{\ell}\vec H \cdot \overrightarrow{d\ell}= \oint_{\ell}\frac {\vec B}{\mu_o \mu_r}\cdot \overrightarrow{d\ell}=
\Phi \oint_{\ell}\frac {d\ell}{\mu_o \mu_rS}=\ </math>
La <math>\mu_r\ </math> rappresenta la costante di proporzionalità tra i due vettori <math>\vec H\ </math> e <math>\vec B\ </math>, non è in genere una costante in quanto dipende a causa della istericità della relazione tra <math>\vec H\ </math> e <math>\vec B\ </math> anche dalla storia del materiale: ma in ogni caso all'interno <math>\vec H\ </math> e <math>\vec B\ </math> sono paralleli e quindi i vettori sono proporzionali. In ogni caso per i materiali feromagnetici <math>\mu_r\ </math> è molto maggiore dell'unità.
In questo caso specifico:
:<math>NI=\Phi \frac{\ell}{\mu_o \mu_rS}\ </math>
La costante di proporzionalità tra flusso e NI è detta riluttanza, molto simile alla resistenza elettrica:
:<math>\R=\frac{\ell}{\mu_o \mu_rS}\ </math>
Notiamo che se la sezione non fosse costante avremmo sempre una relazione di proporzionalità tra flusso e NI ma le riluttanza sarebbe:
:<math>\R=\oint_{\ell}\frac {d\ell}{\mu_o \mu_r(l)S(l)}\ </math>
Tale legge che afferma la proporzionalità tra flusso e NI è simile alla legge di Ohm generalizzata e viene detta [[w:Circuito_magnetico#Legge_di_Hopkinson|legge di Hopkinson]].
In tale legge <math>NI\ </math> è l'equivalente ad un generatore di f.e.m. , mentre <math>\Phi\ </math> è l'equivalente della corrente nella legge di Ohm generalizzata.
[[Immagine:Electromagnet_with_air_gap_and_magnetic_circuit_equivalent.png|thumb|400px|right|Elettromagnete con un traferro e circuito elettrico equivalente.]]
 
La riluttanza ha le stesse proprietà della resistenza per cui riluttanze in serie si ha che la riluttanza equivalente vale:
:<math>\R_{S}=\sum \R_{i}\ </math>
Mentre per quelle in parallelo:
:<math>\frac 1{\R_{p}}=\frac 1{\sum \R_{i}}\ </math>
 
Anche l'aria se limitata allo spazio di un traferro (G), piccola interruzione in aria del circuito magnetico, come mostrato nella figura accanto ha la sua riluttanza (molto elevata) ma pari
a:
:<math>\R_{G}=\frac{d}{\mu_o S}\ </math>
Quindi aprire uno piccolo taglio in un circuito magnetico corrisponde ad aumentare di molto la riluttanza, riducendo grandemente il campo magnetico prodotto. Nella figura accanto è mostrato anche il circuito equivalente elettrico del circuito magnetico. Essendoci due traferri ciascuno è indicato con il suo <math>\R_{G}\ </math>, mentre la riluttanza totale del circuito ferromagnetico vale <math>\R_{c}\ </math>, mentre è stato indicato con <math>F\ </math> il generatore di f.e.m. equivalente: NI.
==Diamagnetismo==
Si chiama diamagnetismo la proprietà di alcune sostanze di essere respinte dal campo magnetico. Il fatto che viene respinto è consegueza del fatto che la magnetizzazione <math>\vec M\ </math> che si crea all'interno del materiale si oppone al vettore campo magnetico
<math>\vec H\ </math>. Si tratta sempre di valori di sucettività, <math>\chi\ </math> e il massimo valore si ha nel [[w:Bismuto|Bismuto]] in cui <math>\chi_{Bi}=-0.00017\ </math>.
 
{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto;width:200px;text-align: center;float:right;"
|+Alcune sostanze diamagnetiche
|-
! Sostanza
! Suscettività <math>\chi\ </math>
|-
| Idrogeno
| <math>-2.3\cdot 10^{-9} \ </math>
|-
| Acqua
| <math>-9.1\cdot 10^{-6} \ </math>
|-
| [[w:Rame|Rame]]
| <math>-9.7\cdot 10^{-6} \ </math>
|-
| [[w:Piombo|Piombo]]
| <math>-1.6\cdot 10^{-5} \ </math>
|-
| [[w:Mercurio|Mercurio]]
| <math>-2.1\cdot 10^{-5} \ </math>
|-
| [[w:Bismuto|Bismuto]]
| <math>-1.7\cdot 10^{-4} \ </math>
|-
|}
[[File:Präzession2.png|thumb|170px|Moto di precessione di un elettrone. La freccia più grande indica il campo magnetico esterno, mentre il la freccia piccola è la normale al piano.]]
 
L'applicazione del campo <math>\vec B\ </math> fa sì che sugli elettroni del materiale, che si muovono da un punto di vista classico
in orbite circolari intorno al nucleo, agisca un momento della forza che determina una [[w:Precessione|precessione]] del piano (normale freccia piccola della figura) del loro moto di rotazione intorno alla direzione del campo (freccia grande della figura). Un elettrone in moto nella sua orbita equivale ad una corrente media di valore:
:<math>I=\frac {e\omega_o}{2\pi}\ </math>
in verso contrario al moto (l'elettrone ha una carica negativa), avendo indicato con <math>\omega_o\ </math> la velocità angolare. Il momento di dipolo magnetico di questa spira di corrente è:
:<math>\vec m=-\frac {e}{2\pi}\pi r^2\omega_o\hat n=-\frac {er^2}{2}\omega_o\hat n=-\frac {e}{2m_e}\vec L\ </math>
Dove <math>\vec L\ </math> è il momento angolare dell'elettrone. Il [[Fisica_classica/Leggi_di_Laplace#Azione_del_campo_magnetico_su_circuiti_percorsi_da_corrente|momento della forza]] che agisce su un momento di dipolo magnetico (si usa il simbolo <math>\vec \tau\ </math> per il momento della forza per evitare confusione) vale:
:<math>\vec \tau=\vec m \times \vec B\ </math>
Quindi applicando la [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda_equazione_cardinale|seconda equazione cardinale]] della meccanica:
:<math>\vec \tau=\frac {d\vec L}{dt}=\vec m \times \vec B=\frac {e}{2m_e}\vec B \times \vec L \ </math>
Questa equazione descrive quello che si chiama un moto di [[w:Precessione|precessione]], che formalmente non differisce molto da quanto descritto dsl moto di un vettore in [[Fisica_classica/Cinematica#Velocit.C3.A0_angolare_-_Notazione_vettoriale|notazione vettoriale]]:
:<math>\frac {d\vec r}{dt} = \vec \omega \times \vec r</math>
Questa equazione descrive in effetti la rotazione di <math>\vec L\ </math> attorno a <math>\vec B\ </math> alla [[w:Precessione_di_Larmor|frequenza di Larmor]]:
:<math>\omega_L=\frac {e}{2m_e}|\vec B| \ </math>
Per valori del campo possibili da raggiungere sulla terra si ha che <math>\omega_L\ll \omega_o \ </math>.
Il fenomeno della precessione è del tutto generale e quindi tutte le sostanza in qualche misura sono diamagnetiche. Normalmente gli atomi hanno orientamento casuale e quindi il loro momento magnetico è nullo. Se però si applica un campo esterno tutti gli elettroni orbitanti, indipendentemente dal loro momento magnetico, compiono lo stesso moto di precessione da cui deriva la magnetizzazione che riduce il campo all'interno del materiale.
Il fenomeno non dipende dalla temperatura. Non esiste un equivalente elettrostatico al diamagnetismo.
Per spiegare in maniera rigorosa il fenomeno bisogna fare ricorso alla meccanica quantistica.
 
==Paramagnetismo==
[[Image:Paramagnetic probe without magnetic field.svg|thumb|Semplice illustrazione di un materiale paramagnetico fatto di minuscoli magneti permanenti orientati in maniera casuale.]]
[[Image:Paramagnetic probe with weak magnetic field.svg|thumb|Semplice illustrazione di un materiale paramagnetico fatto di minuscoli magneti permanenti orientati in debole campo magnetico.]]
{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto;width:250px;text-align: left;float:left;"
|+Alcune sostanze paramagnetiche
|-
! Sostanza
! Suscettività <math>\chi\ </math>
|-
| Ossigeno liquido
| <math>3.46\cdot 10^{-3} \ </math>
|-
| [[w:Palladio|Palladio]]
| <math>8\cdot 10^{-4} \ </math>
|-
| [[w:Platino|Rame]]
| <math>2.1\cdot 10^{-5} \ </math>
|-
| Aria
| <math>4\cdot 10^{-7} \ </math>
|-
|}
 
[[Image:Paramagnetic probe with strong magnetic field.svg|thumb|Semplice illustrazione di un materiale paramagnetico fatto di minuscoli magneti permanenti orientati in forte campo magnetico.]]
Il paramagnetismo è l'equivalente magnetostatico della [[Fisica_classica/Dielettrici#Polarizzazione_per_orientamento|polarizzazione per orientamento]].
 
Molti atomi hanno un numero dispari di elettroni e importanti asimmetrie nella struttura elettronica. Poiché ad un orbitale da un punto di vista classico corrisponde una corrente circolante e quindi un momento magnetico. Se un atomo ha un numero dispari di elettroni ha un momento magnetico orbitale. La cosa è più complicata in quanto oltre al momento orbitale, vi è momento magnetico intrinseco associato all'elettrone stesso dovuto alla quantizzazione del momento angolare ([[w:Spin|spin]]).
Il momento magnetico degli atomi dovuto al momento angolare orbitale o allo spin degli elettroni sono trattati nella meccanica quentistica: ma vale la pena di accennare che il loro ordine di grandezza è dell'ordine del cosiddetto [[w:Magnetone_di_Bohr|magnetone di Bohr]]
:<math>\mu_B=\frac {eh}{4\pi m_e}\approx 9.27\cdot 10^{-24}\ J/T \ </math>
che è definito a partire da grandezze fondamentali (massa e carica dell'elettrone, costante di Planck).
 
Quindi gli atomi, che non hanno mai un dipolo elettrico, possono avere un dipolo magnetico <math>N\mu_B \ </math>, introducendo una grandezza adimensionale N che rappresenta il numero di magnetoni di Bohr dell'atomo considerato (un numero che si discosta di poco dall'unità). Se non vi nessun campo magnetico i singoli dipoli sono orientati casualmente e il momento totale del sistema macroscopico è nullo. Se è presente un campo magnetico esterno, i momenti di dipolo magnetico si orientano parallelamente ad esso e il suo valore medio è quindi diverso da zero come mostrato nella figura. Se l'intensità del campo magnetico è bassa la differenza di energia tra un dipolo orientato nella direzione del campo magnetico o nella direzione opposta <math>DU=2N\mu_B|B| \ </math> è molto più bassa alla energia media termica <math>k_BT\ </math>. Il momento di dipolo medio dipende dall'intensità del campo, ma solo una piccola percentuale si orienta nella direzione del campo (come mostrato nella seconda figura). Ma aumentando il campo sempre più dipoli si allinearanno con il campo, ma il numero disposti casualmente continua a rimanere molto elevato. Il calcolo analitico va fatto considerando la [[w:Distribuzione di Boltzmann|distribuzione di Boltzmann]], ed è un tipico calcolo
di [[w:Meccanica_statistica|meccanica statistica]] con tale calcolo si dimostra che:
:<math>\langle \vec m \rangle = N\frac {\mu_{B}^{2} \vec B} {3k_BT}\ </math>
dove <math>k_B\ </math> è la [[w:costante di Boltzmann|costante di Boltzmann]], <math>T\ </math> è la temperatura assoluta.
 
Ma mentre un dipolo elettrico orientandosi nel campo elettrico ne riduce l'intensità, un dipolo magnetico, non essendo costituito da due monopoli magnetici, aumenta l'intensità del campo magnetico per questo la suscettività magnetica dei materiali paramagnetici è maggiore di 1.
 
Poichè la magnetizzazione è proporzionale alla densità del materiale e al momento di dipolo magnetico medio dei singolo atomi segue che la suscettività magnetica dela sostanze paramagnetiche è una funzione della temperatura:
:<math>\chi = \frac {CB}T\ </math>
Che va sotto il nome di [[w|Legge_di_Curie|Legge di Curie]].
 
Ma al contrario della polarizzabilità, la magnetizzazione di sostanze paramagnetiche può manifestare fenomeni di saturazione quando, come succede a bassa temperatura, <math>N\mu_B|B|\ </math> (energia necessaria ad allineare i dipoli magnetici) diventa dello stesso ordine di grandezza di <math>k_BT \ </math> (l'energia media termica). Cioè avviene un fenomeno simile a quanto mostrato nell'ultima figura. La Magnetizzazione raggiunge un valore di saturazione non è più linearmente dipendente dal campo magnetico. Questo effetto viene utilizzato per raggiungere temperature molto basse con criostati a [[w:Demagnetizzazione_adiabatica|demagnetizzazione adiabatica]].
 
 
== I [[w:Superconduttore|superconduttori]] ==
I superconduttori, sono dei solidi che in genere funzionano a temperature molto basse, oltre ad avere una resistenza elettrica
nulla, godono della proprietà di essere dei diamagneti perfetti cioè <math>\vec B=0\ </math> al loro interno (i superconduttori sono per il campo magnetico l'analogo dei conduttori per il campo elettrico): con essi si realizzano degli schermi magnetici perfetti (con una forte analogia con le gabbie di Faraday per quanto riguarda i campi elettrici).
== Riepilogo proprietà elettriche e magnetiche==
 
{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto;width: auto;text-align: center;"
|+Riepilogo corrispondenze (differenze e analogie) elettrostatica e magnetostatica
|-
! Elettrostatica
! Magnetostatica
|-
| Campo elettrico <math>\vec E\ </math>
| Induzione magnetica <math>\vec B\ </math>
|-
| costante dielettrica del vuoto <math>\varepsilon_o\ </math>
| permeabilità del vuoto <math>\mu_o\ </math>
|-
| Dipolo elettrico <math>\vec p\ </math>
| Dipolo magnetico <math>\vec m\ </math>
|-
| Densità di carica volumetrica <math>\rho\ </math>
| Densità di corrente <math>\vec J\ </math>
|-
| <math>\vec \nabla \cdot \vec E=\frac {\rho}{\varepsilon_o}\ </math>
| <math>\vec \nabla \times \vec B=\mu_o\vec J\ </math>
|-
| <math>\vec \nabla \times \vec E=0\ </math>
| <math>\vec \nabla \cdot \vec B=0\ </math>
|-
| Densità di carica superficiale <math>\sigma\ </math>
| Densità di corrente per unità di lunghezza <math>\vec J_l\ </math>
|-
| Campo elettrico in un condensatore a facce piane e parallele <math>\vec E=\frac {\sigma}{\varepsilon_o}\hat n\ </math>
| Campo di induzione magnetica in un solenoide ideale <math>\vec B=\mu_o\hat r \times \vec J_l\ </math>
|-
| costante dielettrica relativa <math>\varepsilon_r\ </math>
| permeabilità relativa <math>\mu_r\ </math>
|-
| Polarizzazione <math>\vec P\ </math>
| Magnetizzazione <math>\vec M\ </math>
|-
| Densità volumetrica di polarizzazione <math>\rho_{pol}\ </math>, <math>\rho_{pol}=-\vec \nabla \cdot \vec P\ </math>,
| Densità di corrente di magnetizzazione <math>\vec J_{mv}\ </math>, <math>\vec J_{mv}=\vec \nabla \times \vec M </math>
|-
| Spostamento elettrico <math>\vec D\ </math>; <math>\vec D=\varepsilon_o\vec E+\vec P\ </math>
| Campo magnetico <math>\vec H\ </math>; <math>\vec H=\frac {\vec B}{\mu_o}-\vec M\ </math>
|-
| Suscettività elettrica <math>\chi=\varepsilon_r-1\ </math>, <math>\vec P=\varepsilon_o\chi \vec E\ </math>
| Suscettività magnetica <math>\chi=\mu_r-1\ </math>, <math>\vec M=\chi \vec H\ </math>
|-
| <math>\vec \nabla \cdot \vec D=\rho_{lib}\ </math>
| <math>\vec \nabla \times \vec H=\vec J_i\ </math>
|-
| Densità superficiale di polarizzazione <math>\sigma_{pol}\ </math>
| Densità lineare di corrente di magnetizzazione <math>\vec J_{ml}\ </math>
|-
| passaggio tra due dielettrici <math>E_{t1}=E_{t2}\ </math>, <math>D_{n1}=D_{n2}\ </math>
| passaggio tra due materiali magnetici <math>H_{t1}=H_{t2}\ </math>, <math>B_{n1}=B_{n2}\ </math>
|-
| Resistenza <math>R= \int_L\frac {\rho(\ell) d\ell}{S(\ell)}\ </math>
| Riluttanza <math>\R=\int_L\frac {d\ell}{\mu_o \mu_r (\ell) S(\ell)}\ </math>
|-
| Legge di Ohm generalizzata <math>f.e.m=IR\ </math>
| Legge di Hopkins <math>NI=\Phi \R \ </math>
|-
|}
==Note==
<references />
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[[Fisica_classica/Induzione e legge di Faraday| Argomento seguente: Induzione e legge di Faraday]]
[[Categoria:Fisica classica|Magnetismo della materia]]
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