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Informatica 5 Liceo Scientifico Scienze Applicate/Jacobi Risoluzione Sistemi Lineari: differenze tra le versioni

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Interessante data una matrice A e' sapere prima di procedere con jacobi se ci sara' convergenza , ci sono alcune dimostrazioni che dicono c'e' convergenza se la matrice A e' una matrice diagonale dominante per righe, un'altra dimostrazione dice c'e' convergenza se l'autovalore max di inv(D)*N e' minore in modulo di 1 (raggio spettrale minore di uno).<br />
 
Altra cosa interessante da sapere e' la velocita' di convergenza del metodo, cioe' quante iterazioni dobbiamo fare. Oltre alla tecnica di Jacobi c'e'ce ne sono altre similari (Gauss-Siedel ,SOR etc) che partono da una scomposizione della matrice A diversa da quella operata da Jacobi e che assicurano la convergenza in casi in cui non c'e con il metodo di Jacobi e altre volte garantiscono una velocita' di convergenza maggiore di Jacobi. Non tutti i sistemi di equazioni lineari convergono con questi metodi iterativi.<br />
In generale se la matrice e' densa e di dimensione contenuta si usano i metodi diretti (Cramer , eliminazione di Gauss) che consentono la risoluzione esatta del sistema di equazioni e non presentano problemi di convergenza e terminano in un numero finito di passi; se la matrice e' sparsa o di grandi dimensioni si usano quelli indiretti (Jacobi, Gauss-Siedel , del Sovrarilassamento SOR etc ) che sono piu' veloci computazionalmente ma che possono presentare problemi di convergenza.
 
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