Differenze tra le versioni di "Esercizi di fisica con soluzioni/La corrente elettrica"

aggiunto esercizio 19
(aggiunto esercizio 19)
 
<span class="noprint">[[#18. Una nuvola di pioggia_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
===19. Due generatori di f.e.m. con condensatore ===
[[Immagine:Es16p68.png|300px|right]]
 
Nel circuito mostrato in figura l'interruttore è inizialmente aperto per un tempo molto lungo. Poi viene chiuso e trascorso di nuovo molto tempo la corrente che scorre nelle resistenze diviene <math>I_f=0.5\ A\ </math> in senso orario. Determinare a) il valore del generatore <math>f_1\ </math>, b) la carica iniziale e finale del condensatore; c) la costante di tempo del processo di carica (dopo la chiusura dell'interruttore) d) il tempo <math>t\ </math> per cui la corrente di carica del condensatore eguaglia la corrente <math>I_f\ </math>.
(Dati del problema <math>f_2=9\ V\ </math>, <math>R_1=6\ \Omega\ </math>, <math>R_2=8\ \Omega\ </math>, <math>C=800\ nF\ </math> e <math>I_f=0.5\ A\ </math>)
 
<span class="noprint">[[#19. Due generatori di f.e.m. con condensatore_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
== Soluzioni ==
 
La densità di corrente è massima sulla sezione minore:
:<math>J_{max}=\frac I{\pi a^2}=8\cdot 10^5\ A/m^2</math>
 
<math>J_{max}=\frac I{\pi a^2}=8\cdot 10^5\ A/m^2</math>
 
minima in quella maggiore:
:<math>J_{min}=\frac I{\pi b^2}=2\cdot 10^5\ A/m^2</math>
 
<math>J_{min}=\frac I{\pi b^2}=2\cdot 10^5\ A/m^2</math>
 
Applicando la legge di Ohm in forma locale, di conseguenza il campo elettrico vale:
:<math>E_{max}=\rho_{Cu}J_{max}=1.35\cdot 10^{-2}\ V/m</math>
 
:<math>E_{maxmin}=\rho_{Cu}J_{maxmin}=13.355\cdot 10^{-23}\ V/m</math>
 
<math>E_{min}=\rho_{Cu}J_{min}=3.5\cdot 10^{-3}\ V/m</math>
 
2)
 
Il raggio del filo seguevaria con la distanza con la leggefunzione:
:<math>r=a+(b-a)\frac xl\qquad \ 0<x<l</math>
 
<math>r=a+(b-a)\frac xl\qquad \ 0<x<l</math>
 
La resistenza vale:
:<math>R=\int_0^l\rho_{Cu}\frac {dx}{\pi r^2}=
 
<math>R=\int_0^l\rho_{Cu}\frac {dx}{\pi r^2}=
\frac {\rho_{Cu}}{\pi}\int_0^l\frac {dx}{\left[ a+(b-a)\frac xl
\right]^2}</math>
 
Facendo il cambiamento di variabile:
:<math>y=a+(b-a)\frac xl</math>
 
<math>y=a+(b-a)\frac xl</math>
 
segue che:
:<math>R=\frac {\rho_{Cu}l}{\pi(b-a)}\int_a^b \frac {dy}{y^2}=
 
<math>R=\frac {\rho_{Cu}l}{\pi(b-a)}\int_a^b \frac {dy}{y^2}=
\frac {\rho_{Cu}l}{\pi ab}=0.068 \Omega</math>
 
 
Imponendo che:
:<math>\rho |J_{max}|^2\le P_{max}</math>
 
:<math>\rho |J_{max}|^2=\lesqrt {\frac {P_{max}}{\rho}}</math>
 
<math>|J_{max}|=\sqrt {\frac {P_{max}}{\rho}}</math>
 
Quindi essendo la massima densità di corrente sulla sezione più piccola:
:<math>I_{max}=|J_{max}|\pi a^2=\sqrt {\frac {P_{max}}{\rho}}\pi a^2=99\ A</math>}}
 
<math>I_{max}=|J_{max}|\pi a^2=\sqrt {\frac {P_{max}}{\rho}}\pi a^2=99\ A</math>}}
 
 
 
Ovviamente:
:<math>R=\rho \frac l{\pi r^2}=2.16\ \Omega</math>
 
<math>R=\rho \frac l{\pi r^2}=2.16\ \Omega</math>
 
Dopo avere convertito le grandezze nell' MKSA.
:<math>
 
<math>
J_{max}=\frac {I_{max}}{\pi r^2}=6.4\cdot 10^6\ A/m^2</math>
 
Dalla legge di Joule in forma microscopica:
:<math>
 
<math>
P_u=\rho J_{max}^2=0.7\ W/cm^3</math>
:<math>|J_{max}|=\sqrt{\frac {P_u}{\rho}}=7.7\cdot 10^6\ A/m^2</math>
 
<math>|J_{max}|=\sqrt{\frac {P_u}{\rho}}=7.7\cdot 10^6\ A/m^2</math>
 
Mentre da:
:<math>|J_{max}|=nev_d\ </math>
 
<math>|J_{max}|=nev_d\ </math>
 
segue che:
:<math>
 
<math>
n=6.6\cdot 10^{28} m^{-3}</math>
 
 
===3. Un faro abbagliante ===
 
Essendo un oggetto ohmico:
:<math>R_2=\frac {V^2}P=3.6\ \Omega</math>
 
<math>R_2=\frac {V^2}P=3.6\ \Omega</math>
 
Essendo la resistività una funzione lineare della temperatura:
:<math>\rho=\rho_0(1+\alpha T)\ </math>
 
<math>\rho=\rho_0(1+\alpha T)\ </math>
 
Potrò anche scrivere, trascurando la dilatazione termica del filo:
:<math>R_1=R_o(1+\alpha T_1)\ </math>
 
:<math>R_1R_2=R_o(1+\alpha T_1T_2)\ </math>
 
<math>R_2=R_o(1+\alpha T_2)\ </math>
 
Quindi facendo il rapporto tra queste due equazioni:
:<math>\frac {R_1}{R_2}=\frac {1+\alpha T_1}{1+\alpha T_2}\ </math>
 
:<math>R_1(20\frac {R_1}{^oC)=R_2}=\frac {1+\alpha T_1}{1+\alpha T_2}\ </math>=0.3
 
<math>R_1(20\ ^oC)=R_2\frac {1+\alpha T_1}{1+\alpha T_2}=0.3
\ \Omega</math>
 
 
Sulle armature del I condensatore vi è una carica iniziale:
:<math>Q_0=CV_o=200\ \mu C</math>
 
<math>Q_0=CV_o=200\ \mu C</math>
 
Con una energia iniziale pari a:
:<math>E_0=\frac 12 CV_o^2=20\ mJ</math>
 
<math>E_0=\frac 12 CV_o^2=20\ mJ</math>
 
Alla fine del processo tale carica si deve conservare, quindi le cariche finali valgono:
:<math>Q_{1f}+Q_{2f}=Q_0\ </math>
 
<math>Q_{1f}+Q_{2f}=Q_0\ </math>
 
Inoltre le differenze di potenziale ai capi dei due condensatori debbono equivalersi:
:<math>\frac {Q_{1f}}C=\frac {Q_{2f}}{4C}</math>
 
<math>\frac {Q_{1f}}C=\frac {Q_{2f}}{4C}</math>
 
Cioè:
:<math>Q_{1f}=\frac {Q_o}5=40\ \mu C</math>
 
:<math>Q_{1f2f}=\frac {Q_o}545Q_o=40160\ \mu C</math>
 
<math>Q_{2f}=\frac 45Q_o=160\ \mu C</math>
 
Per cui:
:<math>E_f=\frac 12\frac {Q_{1f}^2}C+\frac 12\frac {Q_{2f}^2}{4C}=\frac 15\frac 12 \frac {Q_0^2}C</math>
 
<math>
E_f=\frac 12\frac {Q_{1f}^2}C+\frac 12\frac {Q_{2f}^2}{4C}=\frac 15\frac 12 \frac {Q_0^2}C</math>
 
Quindi l'energia dissipata vale:
:<math>\Delta E=E_0-E_f=16\ mJ</math>
 
<math>\Delta E=E_0-E_f=16\ mJ</math>
 
 
 
L'equazione della maglia:
:<math>\frac {Q_1}{C}+RI-\frac {Q_2}{4C}=0</math>
 
<math>\frac {Q_1}{C}+RI-\frac {Q_2}{4C}=0</math>
 
Con in ogni istante:
:<math>Q_1+Q_2=Q_0\ </math>
 
<math>Q_1+Q_2=Q_0\ </math>
 
Quindi:
:<math>\frac {Q_1}{C}+RI-\frac {Q_0-Q_1}{4C}=0\ </math>
 
:<math>Q_1+\frac 45RC\frac {Q_1dQ_1}{Cdt}+RI-\frac {Q_0-Q_1}{4C5}=0\ </math>
 
<math>Q_1+\frac 45RC\frac {dQ_1}{dt}-\frac {Q_0}{5}=0\ </math>
 
Quindi la costante di tempo vale:
:<math>\tau=\frac 45RC=0.8\ s</math>
 
<math>\tau=\frac 45RC=0.8\ s</math>
 
e separando le variabili:
:<math>\frac {dQ_1}{Q_1-Q_0/5}=-\frac {dt}{\tau}</math>
 
:<math>\ln \frac {dQ_1Q_1-Q_0/5}{Q_1Q_0-Q_0/5}=-\frac {dt}t{\tau}\ </math>
:<math>Q_1=\frac {Q_0}5+\frac {4Q_0}5e^{-t/\tau}\ </math>
 
<math>\ln \frac {Q_1-Q_0/5}{Q_0-Q_0/5}=-\frac t{\tau}\ </math>
 
<math>Q_1=\frac {Q_0}5+\frac {4Q_0}5e^{-t/\tau}\ </math>
 
'E facile vedere come per <math>t=0\ </math> e <math>t=\infty\ </math> assume i valori dati nel punto a).
 
Nelle resistenze <math>R_1\ </math> ed <math>R_2\ </math> scorre la stessa corrente:
:<math>I_1=I_2=\frac I2\ </math>
 
<math>I_1=I_2=\frac I2\ </math>
 
Quindi:
:<math>P_{tot}=\sum_{i=1}^3RI_i^2=\frac 32 RI^2\ </math>
 
<math>P_{tot}=\sum_{i=1}^3RI_i^2=\frac 32 RI^2\ </math>
 
Quindi la massima corrente dipende dalla massima potenza dissipabile:
 
Nel secondo caso:
:<math>f_2-f_1=I_B(r_1+r_2+R)\ </math>
 
<math>f_2-f_1=I_B(r_1+r_2+R)\ </math>
 
Facendo quindi il rapporto tra queste due equazioni:
:<math>\frac {f_2+f_1}{f_2-f_1}=\frac {I_A}{I_B}=r\ </math>
 
Detto <math>\frac {f_2+f_1}{f_2-f_1}r=\frac {I_A}{I_B}=r-5.8\ </math>
 
Detto : <math>r=\frac {I_A}{I_B}=-5.8\ </math>
Da cui:
:<math>f_2=f_1\frac {1+r}{r-1}=1.97\ V</math>
 
<math>f_2=f_1\frac {1+r}{r-1}=1.97\ V</math>
 
Con semplici passaggi dalla prima equazione:
:<math>r_2=0.28\ \Omega</math>
 
<math>r_2=0.28\ \Omega</math>
 
c)
Nel primo caso:
:<math>V_{2A}=f_2-I_Ar_2=1.55\ V</math>
 
<math>V_{2A}=f_2-I_Ar_2=1.55\ V</math>
 
Nel secondo caso:
:<math>V_{2B}=f_2-I_Br_2=2.04\ V</math>
 
<math>V_{2B}=f_2-I_Br_2=2.04\ V</math>
 
 
 
Prima della chiusura dell'interruttore la corrente che scorre nella maglia dove sono presenti entrambi i generatori vale:
:<math>i_c=\frac {2f}{2r+R}=\frac {2f}{4r}=10\ A\ </math>
 
<math>i_c=\frac {2f}{2r+R}=\frac {2f}{4r}=10\ A\ </math>
 
La tensione ai capi del condensatore vale:
:<math>V_c=f-i_cr=\frac f2=10\ V\ </math>
 
<math>V_c=f-i_cr=\frac f2=10\ V\ </math>
 
Quindi la carica iniziale vale:
:<math>Q_o=CV_c=C\frac f2=10\ \mu C\ </math>
 
<math>Q_o=CV_c=C\frac f2=10\ \mu C\ </math>
 
Mentre quella finale è:
:<math>Q_f=0\ </math>
 
<math>Q_f=0\ </math>
 
Da cui la variazione di carica sul condensatore vale:
:<math>\Delta Q=Q_o=10\ \mu C\ </math>
 
<math>\Delta Q=Q_o=10\ \mu C\ </math>
 
La costante di tempo di scarica è pari a:
:<math>\tau=rC/2=0.5\ \mu s\ </math>
 
<math>\tau=rC/2=0.5\ \mu s\ </math>
 
Quindi essendo:
:<math>Q(t)=Q_o e^{-t/\tau}\ </math>
 
:<math>QI(t)=-\frac {Q_o}{\tau}e^{-t/\tau}=\frac {f}{r}e^{-t/\tau}\ </math>
 
<math>I(t)=-\frac {Q_o}{\tau}e^{-t/\tau}=\frac {f}{r}e^{-t/\tau}\ </math>
 
Imponendo che:
:<math>I(t_x)=\frac {f}{r}e^{-t_x/\tau}=I_o\ </math>
 
<math>I(t_x)=\frac {f}{r}e^{-t_x/\tau}=I_o\ </math>
 
Si ha che:
:<math>t_x=\tau \log(20)=1.5\ \mu s\ </math>
 
<math>t_x=\tau \log(20)=1.5\ \mu s\ </math>
 
 
 
Riscrivendo nel [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|SI]]:
:<math>\Delta n=1.10\cdot 10^8\ 1/m^3\ </math>
 
<math>\Delta n=1.10\cdot 10^8\ 1/m^3\ </math>
 
Quindi la variazione di densità di carica vale:
:<math>\Delta \rho=e\Delta n=1.8\cdot 10^{11}\ C/m^3\ </math>
Quindi la carica trasferita durante una scarica vale:
:<math>\Delta Q=\Delta \rho \frac 43 \pi (d/2)^3=2 C\ </math>
La corrente vale:
:<math>I=\frac {\Delta Q}{t_o}=10\ A\ </math>
Quindi l'energia dissipata vale:
:<math>E_d=V_o\Delta Q=1\cdot 10^8\ J\ </math>
La potenza invece vale:
:<math>P=IV_o=5\cdot 10^8\ W\ </math>}}
 
<math>\Delta \rho=e\Delta n=1.8\cdot 10^{11}\ C/m^3\ </math>
 
===19. Due generatori di f.e.m. con condensatore ===
Quindi la carica trasferita durante una scarica vale:
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a) Se la corrente circola in senso orario , in condizioni stazionarie, significa che la f.e.m. del generatore di sinistra è maggiore di quello di destra.
<math>\Delta Q=\Delta \rho \frac 43 \pi (d/2)^3=2 C\ </math>
:<math>I_f=\frac {f_1-f_2}{R_1+R_2}\ </math>
 
:<math>f_1=f_2+I_f(R_1+R_2)=16\ V\ </math>
La corrente vale:
 
b) la carica iniziale vale:
<math>I=\frac {\Delta Q}{t_o}=10\ A\ </math>
 
:<math>Q_0=Cf_2=7.2\ \mu C\ </math>
Quindi l'energia dissipata vale:
mentre quella finale vale:
:<math>Q_f=C(f_2+I_f\cdot R_2)=9.6\ \mu C\ </math>
c)
 
Applicando il teorema di Thevenin ai capi del condensatore, dopo la chiusura dell'interruttore:
<math>E_d=V_o\Delta Q=1\cdot 10^8\ J\ </math>
:<math>f_{th}=f_2+I_f\cdot R_2=13\ V\ </math>
:<math>R_{th}=\frac {R_1R_2}{R_1+R_2}\ </math>
quindi
:<math>\tau =R_{th}C=2.7\ \mu s\ </math>
 
d)
La potenza invece vale:
 
<math>P=IV_o=5\cdot 10^8\ W\ </math>}}
 
L'equazione del transitorio sul condensatore è:
:<math>f_{th}=R_{th}\frac {dQ}{dt}+\frac QC\ </math>
da cui:
:<math>\frac {dQ}{Q-f_{th}C}=-\frac {dt}{R_{th}C}\ </math>
con le definizioni già date:
:<math>\frac {dQ}{Q-Q_f}=-\frac {dt}{\tau }\ </math>
:<math>\int_{Q_o}^{Q(t)}\frac {dQ}{Q-Q_f}=-\int_0^t\frac {dt'}{\tau }\ </math>
:<math>\ln \frac {Q-Q_f}{Q_o-Q_f}=-\frac t{\tau }\ </math>
:<math>Q(t)=Q_f+(Q_o-Q_f)e^{-t/\tau}\ </math>
:<math>I(t)=\frac {Q_o-Q_f}{\tau}e^{-t/\tau}=I_ce^{-t/\tau}\ </math>
con <math>I_c=0.87\ A\ </math>
:<math>I_c{\tau}e^{-t/\tau}=I_f\ </math>
:<math>t=-\tau \ln \frac {I_f}{I_c}=1.5\ \mu s\ </math>