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Fisica classica/Leggi di Laplace: differenze tra le versioni

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:<math>\overrightarrow{dF}=I\overrightarrow{dl}\times \overrightarrow{B}\ </math>
 
La così detta regola della mano destra può essere di aiuto nel calcolo della direzione della forza agente. Infatti, se la direzione della corrente è quella dell'indice della mano destra e quella del campo magnetico è il medio, la direzione della forza è data dalla direzione del pollice.
 
Il campo magnetico terrestre può dare un'idea dell'intensità tipiche: alla nostra latitudine (<math>42^o\ </math>) vale circa <math>6\times 10^{-5}\ T</math>. Il campo magnetico prodotto da un magnete permanente tradizionale difficilmente supera il valore di <math>1\ T\ </math>. Campi magnetici più intensi si raggiungono mediante magneti superconduttori, ma difficilmente in condizioni statiche si riescono ad avere intensità maggiori di <math>25\ T</math>. Esistono delle stelle di neutroni dette [[w:Magnetar|magnetar]] con campi magnetici particolarmente intensi superiori a {{M|10<sup>11</sup>||T}}.
 
===[[w:Motore_lineare|Il motore lineare]]===
[[Immagine:MOTOLIN.png|thumb|350px|left|Schema di un motore lineare]]
 
L'applicazione più semplice della II seconda equazione di Laplace è il motore lineare. Cioè due rotaie percorse da una corrente <math>I\ </math> come in figura, in cui il vagone conduttore chiude la corrente circolante. Un campo magnetico uniforme viene applicato nella direzione normale al piano delle rotaie. Sul vagone agisce una forza di trascinamento proporzionale all'intensità del campo, alla corrente ed alla distanza tra le rotaie.
 
Questa tecnica è impiegata in sistemi di trasporto a levitazione magnetica, come i treni [[w:maglev|maglev]] installati a Shanghai (il primo nato), a Vancouver e Toronto in Canada, all'[[w:Aeroporto Internazionale John F. Kennedy|aeroporto JFK]] di New York e a Kuala Lampur in Malesia. Il sistema è usato anche in alcune [[w:Montagne russe|montagne russe]] ed è stato proposto in esecuzione verticale come ascensore per i pozzi delle miniere.
 
I motori elettrici in generale, che funzionano sull'estensione a geometrie più complesse dei principi di funzionamento del motore lineare, sono basati sulla conversione della energia prodotta dai generatori di f.e.m. in energia meccanica: notare che il campo magnetico non fa lavoro, ma solo il generatore di f.e.m..
 
===[[w:Forza_di_Lorentz|Forza di Lorentz]]===
L'espressione della seconda legge di Laplace ci permette di trovare la forza agente su una singola carica in moto.
 
Dal modello microscopico sappiamo che il prodotto di una corrente elettrica per il tratto di filo elementare interagendo con i campi elettro magnetici sia terrestre che i flussi magnetici che dallo spazio si incanalano verso la terra
<math>\overrightarrow{dl}\ </math> in cui scorre, può essere scritta come:
 
:<math>I\overrightarrow{dl}=\overrightarrow{J} \cdot \overrightarrow{S} \overrightarrow{dl}=nq\overrightarrow{v} |S||dl| = dNq\overrightarrow{v} \ </math>
 
dove <math>\overrightarrow{J}\ </math> è la densità di corrente, <math>\overrightarrow{S}\ </math> è un vettore normale
alla sezione del filo di modulo pari alla sezione stessa, <math>n\ </math> è il numero dei portatori di carica per unità di volume, <math>\overrightarrow{v}\ </math> la loro velocità, <math>q\ </math> la loro carica ed in infine <math>dN\Delta N=nSdl\ </math> il loro numero nel volume <math>Sdl\ </math>.
 
Sostituendo questa equazione nella seconda legge di Laplace, troviamo che la forza che agisce su una singola carica <math>q\ </math> che si muova con velocità <math>\overrightarrow{v}\ </math> in un campo di induzione magnetica <math>\overrightarrow{B}\ </math> sia:
 
:<math>\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}\ </math>
 
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[[Immagine:Parcar.png|thumb|350px|left|Moto di una carica in un campo magnetico]]
 
Supponiamo di avere una regione di spazio, dove <math>\overrightarrow{B}\ </math> è costante, se in essa si trova una particella di massa <math>m\ </math>, carica <math>q\ </math> (positiva) e con velocità <math>v\ </math> normale alla direzione 0didi <math>\overrightarrow{B}\ </math> (entrante nel piano della figura). A causa della forza di Lorentz agirà su di essa una forza normale alla traiettoria, che non compie lavoro, quindiin quanto centripeta. In condizioni di equilibrio dinamico essendo l'accelerazione centripeta costante il moto nel piano normale al campo sarà un moto circolare uniforme con raggio di curvatura <math>R\ </math> facilmente ricavabile dalla relazione:
 
:<math>qvB=\frac {mv^2}R\ </math>
 
da cui:
 
:<math>R=\frac {mv}{qB}\ </math>
la velocità angolare è quindi pari a:▼
 
▲la velocità angolare è:
 
:<math>\omega=\frac {v}R=\frac {qB}m</math>
 
Al cambiare di segno della carica il raggio di curvatura cambia di segno e il moto, se era anti orario, diventa orario. Anche al
cambiare del segno di <math>\overrightarrow{B}\ </math> il verso del moto si inverte.
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La velocità angolare del moto non dipende dalla velocità della particella e la frequenza associata prende il nome di frequenza di ciclotrone. Gran parte delle conoscenze sulle particelle elementari dipende dallo studio del loro moto in presenza di campi elettrici e magnetici.
 
I raggi cosmici non raggiungono alle nostre latitudini la superficie della terra grazie all'esistenza del campo magnetico terrestre che ne incurva la traiettoria. Nei televisori a tubi catodici, oramai superati tecnologicamente, la deflessione del fascio di elettroni che produce la scansione dell'immagine secondo righe e colonne viene fatta utilizzando dei campi magnetici perpendicolari alla traiettoria iniziale degli elettroni.
 
Se la velocità iniziale della particella ha una componente nella direzione di <math>\vec B\ </math> solo sulla componente di <math>\vec v\ </math> perpendicolare a <math>\vec B\ </math> agisce la forza di Lorentz, l'altra componente è non modificata, per cui il moto all'equilibrio diventa un moto elicoidale con asse la direzione di <math>\vec B\ </math>. La forza di Lorentz può essere nulla se:
 
:<math>\vec E+\vec v\times \vec B=0\ </math>
 
Cioè se <math>\vec E\ </math> è normale alla direzione di <math>\vec v\ </math> e di <math>\vec B\ </math> e inoltre
in modulo:
 
:<math>v=\frac {|E|}{|B|}\ </math>
 
Basato su questo principio si riescono a selezionare con estrema precisione ioni di massa qualsiasi in funzione della loro velocità. Infatti solo gli ioni che viaggiano su una traiettoria rettilinea riescono ad attraversare delle strette fenditure allineate.
 
L'esempio di [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Magnetismo#Un_elettrone_in_un_campo_magnetico1._Un_elettrone_in_un_campo_magnetico|un elettrone in moto]] dentro un campo magnetico chiarisce meglio quanto detto.
 
=== [[w:Effetto_Hall|Effetto Hall]]===
[[Immagine:Hall.png|thumb|350px|left|Schema della misura mediante l'effetto Hall.]]
 
Sperimentalmente si ha che in ununa lastra di metallo o meglio indi un [[w:Semiconduttore|semiconduttore]] immerso immersa in un campo magnetico, se viene percorsopercorsa da una corrente nella direzione perpendicolare al campo magnetico, sulla faccia perpendicolare alla direzione sia della corrente che del campo magnetico si sviluppa una differenza di potenziale. La forza di Lorentz spiega in maniera semplice tale effetto.
 
Per semplicità consideriamo una caso di facile studio, una lastrina di metallo o semiconduttore di spessore <math>h\ </math>, larghezza <math>w\ </math> e lunghezza <math>l\ </math> (la lunghezza non è mostrata nella figura a fianco) attraversata nella direzione <math>x\ </math> da una corrente elettrica (caratterizzata per quanto abbiamo visto in elettrodinamica da una velocità di drift <math>\vec v_d\ </math>). Se nella direzione dello spessore della lastra applichiamo un campo magnetico, questo tende a deviare la traiettoria degli elettroni aumentando la loro densità nella direzione della lastrina non visibile in figura. Tale processo di accumulo di cariche genera nella direzione <math>y\ </math> un campo elettrico che si oppone alla forza di Lorentz; si raggiunge la condizione di equilibrio dinamico quando:
:<math>E_y-v_dB_z=0\ </math>
Il segno <math>-\ </math> in <math>\vec v_d\ </math> tiene conto del fatto che gli elettroni essendo di carica negativa hanno una velocità di drift opposta alla direzione della corrente elettrica.
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Ma la densità di corrente è pari a: <math>J_x=I/(wh)\ </math>. Quindi:
:<math>V_y=-\frac {IB_z}{h ne}\ </math>
Dalla conoscenza del campo magnetico, dalla misura della differenza di potenziale e dalla corrente che scorre all'interno della piastrina è possibile misurare la quantità microscopica <math>1/(ne)\ </math>. Tale quantità viene chiamata costante di Hall <math>R_H\ </math> ed in maniera algebricaalgebricamente è pari a:
è pari a:
:<math>R_H=\frac {V_yh}{IB_z}=-\frac 1{ne}\ </math>
La costante di Hall dipende dal segno dei portatori di carica e nel caso dei semiconduttori l'effetto Hall, a causa del numero ridotto di portatori di carica l'effetto, è particolarmente vistoso: cioè con correnti relativamente piccole e in presenza di campi magnetici abbastanza deboli le differenze di potenziale che si sviluppano possono essere facilmente misurate. Al contrario nei metalli l'effetto è poco visibile, anche se storicamente a metà dell'800 è stata trovato in lastre sottilissime di oro. L'effetto Hall oltre ad essere una misura di routine per determinare il [[w:drogaggio|drogaggio]] dei semiconduttori, viene usato per fabbricare semplici ed economici magnetometri che prendono il nome di [[w:Magnetometro#Sonda_di_Hall|sonde di Hall]].
 
===Azione del campo magnetico su circuiti percorsi da corrente===
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Sui due lati della spira di lunghezza <math>L_x\ </math> non agisce nessuna forza essendo paralleli al campo magnetico. Viceversa sugli altri due lati agiscono due forze eguali e contrarie dirette lungo l'asse <math>z\ </math> sul lato in alto:
 
:<math>F_z=IBL_y\ </math>
 
sul lato opposto agisce una forza pari a:
 
:<math>F_z=-IBL_y\ </math>
 
Quindi, la risultante è nulla, ma sul centro del sistema rigido agisce una coppia di momento:
 
:<math>M_y=IBL_y\frac {L_x}2 +IBL_y\frac {L_x}2=IL_xL_yB\ </math>
 
Tale momento fa ruotare il sistema intorno all'asse <math>y\ </math>. Se infattila definiamospira aveva una orientazione diversa dobbiamo considerare l'angolo con <math>\theta\ </math> l'angolo che la normale al piano della spira forma con la direzione del campo magnetico. L'espressione del momento della forza diviene (il braccio diminuisce via via che la spira ruota e l'asse della spira si allinea con il campo magnetico):
 
:<math>|M|= I|B|L_xL_y\sin \theta\ </math>
Notiamo come sui lati diretti in direzione perpendicolare alla direzione dell'asse di rotazione, la forza che agisce è nulla solo quando tali assi sono paralleli al campo. La forza risultante che si ha su detti lati è nella direzione del piano della spira: se la spira è rigida non hanno alcun effetto sulla dinamica. Se si definisce momento di dipolo di una spira percorsa dalla corrente <math>I\ </math> il vettore:
 
Sui lati inizialmente paralleli all'asse dell <math>x\ </math> agiranno delle forze che tendono a deformare la spira ed a cui si oppone la rigidità della spira: tali forze sono piano della spira e quindi essendo la spira rigida il loro effetto è nullo. Se si definisce momento di dipolo di una spira percorsa dalla corrente <math>I\ </math> il vettore:
 
:<math>\vec m=IL_xL_y\vec n=IS \vec n\ </math>
 
Dove <math>S\ </math> è la superfice della spira ed <math>\vec n\ </math> è la normale ad essa. La regola della mano destra ci può aiutare nel definire la direzione del dipolo magnetico. Se infatti la corrente elettrica si avvolge come fanno le dita della mano destra, la direzione di <math>\vec m\ </math> è quella del pollice della mano stessa. Ovviamente se il verso è opposto opposta sarà la direzione del dipolo magnetico.
 
Le dimensioni del momento di dipolo magnetico sono quindi quelle di:
 
:<math>[corrente][superficie]\ </math>
 
quindi nel sistema SI:
 
:<math>[A]\cdot [m]^2\ </math>
 
La coppia di forze che agisce su una spira rettangolare è quindi esprimibile come, il prodotto vettoriale di <math>\vec m\ </math> con il vettore induzione magnetica <math>\vec B\ </math>:
 
:<math>\vec M=\vec m \times \vec B\ </math>
 
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Una spira di momento di dipolo magnetico <math>\vec m\ </math>, immersa in un campo magnetico uniforme <math>\vec B\ </math> è quindi soggetta ad una coppia di forze di momento <math>\vec M=\vec m \times \vec B\ </math>.
===Motore in corrente continua===
L'applicazione più importante di tale proprietà è il motore in corrente continua, che permette di trasformretrasformare l'energia elettrica in energia meccanica.
[[Immagine:Schema_macchina_elettrica.png|thumb|150px|left|Principio di funzionamento di un motore in corrente continua]]
La corrente elettrica passa in un avvolgimento di spire che si trova nel [[w:Rotore_(elettrotecnica)|rotore]]. Si definisce rotore l'insieme delle parti rotanti, libere di ruotare attorno ad un asse comune, il rotore comprende una bobina di fili conduttori detta comunemente avvolgimento. Una corrente elettrica continua alimenta l'avvolgimento. Il rotore
è immerso in un campo magnetico creato dallo [[w:Statore|statore]]: l'insieme delle parti fisse. Lo statore contiene le espansioni polari o di un magnete permanente con due o più poli o una elettromagnete.
[[Immagine:Electric motor cycle 3.png|thumb|right|150px|Un motore elettrico in corrente continua]]
Se il momento magnetico dell'avvolgimento del rotore non è diretto inizialmente nella direzione del campo magnetico dello statore, su di esso agirà una coppia di forze tale da farlo ruotare nel verso che corrisponde all'allineamento del momento magnetico dell'avvolgimento con il campo magnetico dello statore. Grazie alle spazzole, vedio dopo,una commutazione elettronica ad ogni mezzo giro il verso della corrente circolante nell'avvolgimento cambia di verso, e quindi si ha continuità nella rotazione.
L'inversione di polarità è garantita dal particolare disegno dell'avvolgimento che è in contatto
mobile con i contatti fissi sullo statore: le cosidettecosiddette spazzole.
La coppia agente sul rotore dipende dalla sua posizione angolare, ma il momento di inerzia del rotore media in qualche maniera il momento motore variabile. Un motore in corrente continua non può iniziare a ruotare se l'avvolgimento del rotore si trova in una posizione angolare non opportuna
(punto morto). Ma vi sono accorgimenti tecnici per ovviare a tale inconveniente.
Estratto da "https://it.wikibooks.org/wiki/Fisica_classica/Leggi_di_Laplace"