Esercizi di fisica con soluzioni/Elettrostatica nella materia: differenze tra le versioni

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===10. Condensatore sferico===
Un condensatore sferico ha armature di raggi <math>R_1=10\ cm\ </math> ed <math>R_2=20\ cm\ </math> e lo spazio tra le due armature è riempito con un dielettrico liquido (omogeneo ed isotropo) di costante dielettrica relativa <math>\epsilon_r=2.5\ </math>. L'armatura centrale viene portata ad una differenza di potenziale <math>V_0 = 20\ V\ </math> rispetto a quella esterna (quindi una carica positiva va sull'armatura interna e una negativa eguale e contraria in quella esterna). Dopo che il condensatore è carico (viene rimosso il generatore di carica) il dielettrico viene rimosso. Determinare:
a) la carica sulle armature del condensatore;
b) la densità delle cariche di polarizzazione di superficie, con i rispettivi segni, presenti nel sistema dopo che è stato caricato a regime, ma prima che il dielettrico venga estratto;
c) la differenza di potenziale tra le armature del condensatore dopo l'estrazione del dielettrico.
 
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== Soluzioni ==
 
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segue che la forza attrattiva è pari a:
:<math>F=\frac {Q^2}{2\varepsilon_oS}=0.011\ N\ </math>
 
===10. Condensatore sferico===
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a)
 
Il campo elettrico tra le armature si calcola con il teorema di Gauss:
:<math>\int_S \vec D\cdot \vec {dS}=Q\ </math>
da cui
:<math>\vec D =\frac{Q}{4\pi r^2}\hat r\ </math>
La differenza di potenziale tra le 2 armature, essendo <math>{\vec D} = \varepsilon_o \varepsilon_r {\vec E}\ </math>, si calcola dalla definizione di potenziale
:<math>V(R_1) - V(R_2) = \int_{R_1}^{R_2} {\vec E}\cdot \vec {dr} = \frac{Q (R_2 - R_1)}{4 \pi \varepsilon_o \varepsilon_r R_1 R_2}\ </math>
e quindi:
:<math> C = \frac{Q}{V} = \frac{ 4 \pi \varepsilon_o \varepsilon_r R_1 R_2}{ (R_2 - R_1)} = 55.6\ pF \ </math>
per cui la carica sul condensatore collegato sarà data da:
:<math> Q_0 = C V_0 = \frac{ 4 \pi \varepsilon_o \varepsilon_r R_1 R_2}{ (R_2 - R_1)}V_0 = 1.1\ nC\ </math>
 
b)
 
Le densità superficiali di carica di polarizzazione sul dielettrico in prossimità delle armature sono date da: <math>\sigma_P = \vec P \cdot \vec n\ </math> e quindi
:<math> \sigma (R_1) = - \varepsilon_o (\varepsilon_r -1) \frac{Q_0}{4 \pi \varepsilon_o \varepsilon_r} (\frac{1}{R_1})^2 = - 5.3 \ nC m^{-2}\ </math>
:<math>\sigma (R_2) = \varepsilon_o (\varepsilon_r -1) \frac{Q_0}{4 \pi \varepsilon_o \varepsilon_r} (\frac{1}{R_2})^2 = 1.3 \ nC m^{-2}\ </math>
 
c)
 
Una volta caricato e staccato dal generatore, il capacitore mantiene la carica iniziale <math>Q_0\ </math>, ma, dopo la rimozione del dielettrico, la sua capacità diventa:
:<math>C' = \frac{ 4 \pi \epsilon_0 R_1 R_2}{ (R_2 - R_1)} = \frac{C}{\epsilon_r} = 22.2\ pF\ </math>
per cui la nuova differenza di potenziale ai suoi capi è:
:<math> V' = \frac{Q_0}{C'} = \epsilon_r V_0 = 50\ V\ </math>
 
 
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