Differenze tra le versioni di "Fisica classica/Potenziale elettrico"

migliorato il testo su teorema di unicità
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(migliorato il testo su teorema di unicità)
Il teorema di unicità per l'equazione di Poisson afferma che se si conoscono i valori di <math>V(\vec r)</math> sul [[w:Frontiera_(topologia)|contorno di una certa regione]], la soluzione dell'equazione di Poisson esiste ed è unica. Di conseguenza anche il campo elettrico è univocamente determinato.
 
Immaginiamo di avere una regione di spazio in cui la densità di carica è nota e continua ed è delimitata dalla superficie di contorno <math>S</math> al volume <math>T\tau </math> in cui il potenziale vale <math>f_S</math>. Il teorema afferma che esiste una unica soluzione.
La dimostrazione si fa per assurdo immaginando che vi siano invece due soluzioni diverse: <math>f_1</math> e <math>f_2</math> che entrambe assumono il valore <math>f_S</math> sulla superficie.
:<math>{\nabla}^2 f_1 = - {\rho \over \varepsilon_0}\qquad f_1=f_S \ su S</math>
Quindi la funzione <math>f</math> soddisfa l'equazione di Laplace ma è anche identicamente nulla.
Infatti se consideriamo l'integrale della quantità e lo sviluppiamo:
:<math>\int_{\tauT}\vec \nabla \cdot (f\vec \nabla f)d\tau=\int_{\tauT}f{\nabla}^2 fd\tau+\int_{\tauT}(\vec \nabla f)^2d\tau</math>
il primo termine dello sviluppo è nullo in quanto <math>{\nabla}^2 f=0</math>.
MaL'espressione, taleprima espressionedi essere sviluppta è anche eguale per il [[Fisica_classica/Equazioni_di_Maxwell#Teorema_della_divergenza|teorema della divergenza]] a
:<math>\int_{\tauT}\vec \nabla \cdot (f\vec \nabla f)d\tau=\int_{\tauT}(\vec \nabla f)^2d\tau=\int_Sf\vec \nabla f\cdot \vec {dS}</math>
Ma l'integrale di superficie è nullo in quanto <math>f=0 \ </math> su <math>S\ </math>.
Quindi in definitiva si ha che:
:<math>\int_{\tauT}(\vec \nabla f)^2d\tau=0</math>
La funzione integranda è continua (come la densità di carica), non è mai negativa (essendo un quadrato) e quindi perché l'integrale nella regione
<math>T\tau </math> sia nullo occorre che anche <math>\vec \nabla f =0</math> in tutto il <math>\tauT </math> che ha come contorno la regione <math>S </math>, quindi che la funzione <math>f </math> debba essere una costante nel volume, ma essendo nulla sul contorno deve essere nulla da per tutto. Quindi le due funzioni <math>f_1</math> e <math>f_2</math> sono identiche e(a meno di una costante, ma il potenziale è definito a meno di una costante: quindi come si voleva dimostrare la soluzione è unica.
 
==Bibliografia==