Fisica classica/Potenziale elettrico: differenze tra le versioni
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Il teorema di unicità per l'equazione di Poisson afferma che se si conoscono i valori di <math>V(\vec r)</math> sul [[w:Frontiera_(topologia)|contorno di una certa regione]], la soluzione dell'equazione di Poisson esiste ed è unica. Di conseguenza anche il campo elettrico è univocamente determinato.
Immaginiamo di avere una regione di spazio in cui la densità di carica è nota e continua ed è delimitata dalla superficie di contorno <math>S</math> al volume <math>T\
La dimostrazione si fa per assurdo immaginando che vi siano invece due soluzioni diverse: <math>f_1</math> e <math>f_2</math> che entrambe assumono il valore <math>f_S</math> sulla superficie.
:<math>{\nabla}^2 f_1 = - {\rho \over \varepsilon_0}\qquad f_1=f_S \ su S</math>
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Quindi la funzione <math>f</math> soddisfa l'equazione di Laplace ma è anche identicamente nulla.
Infatti se consideriamo l'integrale della quantità e lo sviluppiamo:
:<math>\int_{
il primo termine dello sviluppo è nullo in quanto <math>{\nabla}^2 f=0</math>.
:<math>\int_{
Ma l'integrale di superficie è nullo in quanto <math>f=0 \ </math> su <math>S\ </math>.
Quindi in definitiva si ha che:
:<math>\int_{
La funzione integranda è continua (come la densità di carica), non è mai negativa (essendo un quadrato) e quindi perché l'integrale nella regione
<math>T\
==Bibliografia==
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