Esercizi di fisica con soluzioni/Elettrostatica nella materia: differenze tra le versioni

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(dati del problema <math>R_1=30\ cm</math>, <math>R_2=40\ cm</math>, <math>V_o=45\ kV</math>)
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===8. Una sfera metallica con dielettrico ===
[[Immagine:Es15p137.png|350px|right]]
Una sfera metallica di raggio <math>r_a=5\ cm\ </math> è circondata da un dielettrico di spessore <math>d = 10\ cm\ </math> e costante dielettrica <math>\epsilon_r = (\frac{r}{r_a})^n\ </math>. La sfera metallica è caricata con una carica <math>Q=0.5\ \mu C\ </math>.
Calcolare: a) il campo elettrico in tutto lo spazio; b) il valore di <math>n\ </math> che rende il campo elettrico costante nel dielettrico.
 
Una particella di massa <math>m= 10^{-8}\ kg\ </math> e carica <math>q= 1\ nC\ </math> viene inviata con velocità <math>v\ </math> lungo un diametro della sfera da una distanza infinita.
c) Calcolare il valore di <math>v\ </math> affinchè la carica <math>q\ </math> arrivi ferma sulla superficie della sfera metallica nel caso in cui sia <math>n=3\ </math> e nell'ipotesi in cui essa non venga rallentata nell'attraversare il dielettrico.
 
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== Soluzioni ==
 
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Posta una carica <math>Q\ </math> nel guscio interno di raggio <math>R_1\ </math> a causa del teorema di Gauss nell'interspazio tra i gusci il campo elettrico è radiale e vale:
:<math>|E|=\frac Q{4\pi \varepsilon_o r^2}\ </math>
Quindi la differenza di potenziale tra i due gusci vale:
:<math>V_o=\int_{R_1}^{R_2}\frac Q{4\pi \varepsilon_o r^2}dr=
\frac Q{4\pi \varepsilon_o }\frac {R_2-R_1}{R_1R_2}\ </math>
Da cui:
:<math>Q=V_o4\pi \varepsilon_o\frac {R_1R_2}{R_2-R_1}=60\ \mu C\ </math>
Dal teorema di Coulomb la massima densità di carica è sulla armatura interna e vale:
:<math>\sigma_{max}=E_{max}\varepsilon_o\ </math>
Quindi:
:<math>E_{max}=\frac Q{\varepsilon_o 4\pi R_1^2}=0.6\ MV/m\ </math>
la capacità vale:
:<math>C=4\pi \varepsilon_o\frac {R_1R_2}{R_2-R_1}=133\ pF </math>
quindi l' energia immagazzinata vale:
:<math>U=\frac 12 CV_o^2=0.135\ J\ </math>
 
<math>|E|=\frac Q{4\pi \varepsilon_o r^2}\ </math>
 
===8. Una sfera metallica con dielettrico ===
Quindi la differenza di potenziale tra i due gusci vale:
<span class="noprint">[[#8. Una sfera metallica con dielettrico|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
a) Applichiamo il teorema di Gauss.
<math>V_o=\int_{R_1}^{R_2}\frac Q{4\pi \varepsilon_o r^2}dr=
\frac Q{4\pi \varepsilon_o }\frac {R_2-R_1}{R_1R_2}\ </math>
 
Per <math>r \le r_a\ </math>, <math>E(r) =0\ </math>
Da cui:
 
Per <math> r_a \le r \le r_a + d\ </math> applichiamo il teorema di Gauss al vettore spostamente dielettrico <math>\vec D(\vec r) = \varepsilon_o\varepsilon_r \vec E(\vec r) \ </math>:
<math>Q=V_o4\pi \varepsilon_o\frac {R_1R_2}{R_2-R_1}=60\ \mu C\ </math>
:<math>\int {\vec D} \cdot \vec {dS} = Q\ </math>
da cui
:<math>|D| =\frac{Q}{4\pi r^2}\ </math>
Quindi:
:<math>|E(r)|= \frac{|D(r)|}{\epsilon_0 \epsilon_r(r)} = \frac{Q r_a^n}{4 \pi \epsilon_0 r^{n+2}}\ </math>
per <math>r \ge r_a +d \ </math>
:<math>E(r) = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2}\ </math>
 
b)
Dal teorema di Coulomb la massima densità di carica è sulla armatura interna e vale:
 
Per avere <math>E(r) = costante \ </math> nel dielettrico deve essere che:
<math>\sigma_{max}=E_{max}\varepsilon_o\ </math>
:<math>E(r) = \frac{Q r_a^n}{4 \pi \epsilon_0 r^{n+2}} = costante\ </math>
da cui segue che <math> n= -2\ </math>
 
ed:
Quindi:
:<math>E(r) = 1.8\cdot 10^6\ V/m\ </math>
 
c)
<math>E_{max}=\frac Q{\varepsilon_o 4\pi R_1^2}=0.6\ MV/m\ </math>
 
Poichè il sistema è isolato e conservativo possiamo utilizzare la conservazione dell'energia:
la capacità vale:
:<math>E_{iniziale} = E_{finale}\ </math> con <math>E_{iniziale} = \frac{1}{2}mv^2\ </math> e
<math> E_{finale} = q V(r_a)\ </math>
 
Dobbiamo quindi calcolare il potenziale sulla superficie della sfera metallica considerando n=3.
<math>C=4\pi \varepsilon_o\frac {R_1R_2}{R_2-R_1}=133\ pF </math>
 
Dalla definizione di potenziale abbiamo, considerando che <math>V(\infty) = 0\ </math>:
quindi l' energia immagazzinata vale:
 
<math>U=\frac 12 CV_o^2=0.135\ J\ </math>
 
:<math> V(r_a) - V(\infty) = -\int_{\infty}^{r_a} {\vec E}\cdot \vec {dr} =-\int_{\infty}^{r_a+d} {\vec E}\cdot \vec {dr} \ - \int_{r_a+d}^{r_a} \vec E\cdot \vec {dr}= -\int_{\infty}^{r_a+d}\frac{Q}{4\pi \varepsilon_o r^2}dr \ - \int_{r_a+d}^{r_a} \frac{Q r_a^3}{4 \pi \varepsilon_o r^{3+2}}dr\ </math>
 
 
Quindi:
:<math>V(r_a) = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0} \left[\frac{1}{r_a+d} + \frac{1}{4r_a} - \frac{r_a^3}{4(r_a+d)^4}\right]\ </math>
:<math>V(r_a) = 5.2 \times 10^4 V\ </math>
 
per cui <math>v = \sqrt{\frac{2qV(r_a)}{m}} = 102\ m/s\ </math>
 
[[Categoria:Esercizi di fisica con soluzioni|Elettrostatica nei conduttori]]
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