Differenze tra le versioni di "Fisica classica/Potenziale elettrico"

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Estendendo il concetto di conservatività definito per le forze ai campi è facile mostrare come il campo elettrico generato da una carica puntiforme sia conservativo, cioè con riferimento alla figura a fianco, l'integrale di linea per andare da un punto a ad un punto b:
:<math>
 
<math>
\int_a^b \vec E\cdot d\vec l\ </math>
 
non dipende dal percorso seguito, ma solo dagli estremi di integrazione. Questa è una conseguenza del fatto che la forza elettrica è [[w:Forza_centrale|centrale]] e a simmetria sferica. Quindi, analogamente all'energia potenziale, possiamo definire la '''differenza di potenziale elettrico''' (''d.d.p'') <math>V_b-V_a\ </math> presente tra i punti a e b:
:<math>
 
<math>
V_b-V_a=-\int_a^b \vec E\cdot d\vec l\ </math>
 
 
Di conseguenza l'unità di misura del campo elettrico, che ha le dimensioni di una forza divisa una carica, non è normalmente scritta come <math>N/C\ </math>, ma si preferisce indicarla in <math>V/m\ </math>.
:<math>[E]=\frac {[Forza]}{[Carica]}=\frac {[V]}{[m]}\ </math>
 
<math>[E]=\frac {[Forza]}{[Carica]}=\frac {[V]}{[m]}\ </math>
 
I campi elettrici sono estremamente difficili da misurare in quanto la presenza di materia li modifica sostanzialmente, anche se finora la trattazione fatta escludeva la presenza di materia. Campi elettrici dell'ordine di qualche <math>10^6\ V/m\ </math> nell'aria sono considerati campi molto intensi. Infatti con campi di questo ordine di grandezza l'aria cessa di essere un mezzo simile al vuoto e si comporta come un [[w:Plasma_%28fisica%29|plasma]]. I fulmini, l'effetto più appariscente dell'elettromagnetismo fin dagli albori della civiltà umana, sono una tipica manifestazione di tali campi intensi. Durante una giornata serena vi è naturalmente un campo elettrico la cui intensità al livello del mare è di circa un centinaio di V/m. Quindi un campo di questo ordine di grandezza presente naturalmente è considerato un campo elettrico di piccola intensità.
=== Carica puntiforme===
Consideriamo, un caso particolare, il campo elettrico <math>\vec E\ </math> generato da una carica puntiforme <math>Q\ </math> posta nell'origine delle coordinate, come abbiamo visto vale:
:<math>\vec E=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac Q{r^2}\hat r\ </math>
 
<math>\vec E=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac Q{r^2}\hat r\ </math>
 
Sostituendo, questa espressione, nella equazione precedente:
:<math>V_b-V_a
 
<math>V_b-V_a
=-\int_a^b \vec E\cdot d\vec l
=-\int_a^b |\vec E|\cdot |d\vec l|\cos \theta\ </math>
 
dove <math>\theta\ </math> è l'angolo compreso tra i vettori <math>\vec E\ </math> e <math>d\vec l\ </math>. Il prodotto <math>dl\cos \theta\ </math>, rappresenta la proiezione lungo <math>r\ </math> di <math>dl\ </math>, quindi <math>dl\cos \theta=dr\ </math>:
:<math>V_b-V_a
 
<math>V_b-V_a
=-\int_a^b |E|dr=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} Q\int_{r_b}^{r_a}\frac 1{r^2}dr=
\frac 1{4\pi \varepsilon_o} Q\left[\frac 1{r_b} -\frac 1{r_a} \right]\
</math>
 
Quindi:
:<math>V_b=V_a+
 
<math>V_b=V_a+
\frac 1{4\pi \varepsilon_o} Q\left[\frac 1{r_b} -\frac 1{r_a} \right]\ </math>
 
Se <math>r_a=\infty\ </math> e poniamo che <math>V(r_a)=0\ </math>:
:<math>V_b=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac Q{r_b}\ </math>
 
<math>V_b=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac Q{r_b}\ </math>
 
Quindi assunto che all'infinito il potenziale sia nullo (una scelta arbitraria) e cambiando il nome di <math>r_b\ </math> in <math>r\ </math>:
:<math>V(r)=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac Qr
 
<math>V(r)=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac Qr
\ </math>
 
(applicando il principio di sovrapposizione degli effetti) l'espressione del potenziale elettrico, nel punto individuato dal raggio
vettore <math>\overrightarrow{r}\ </math>, diventa:
:<math>V(\overrightarrow{r})=
 
<math>V(\overrightarrow{r})=
\frac 1{4\pi \varepsilon_o}
\sum_{i=1}^n\frac{Q_i}{|\vec r- \vec {r_{i}}|}\ </math>
I ragionamenti fatti si estendono al caso continuo, in particolare nel caso di distribuzione di cariche su una linea con densità lineare <math>\lambda\ </math> l'espressione del potenziale del punto posto nella posizione identificata da <math>\vec r\ </math> (assunto
nullo il potenziale all'infinito) vale:
:<math>
 
<math>
V(\overrightarrow{r})=
\frac 1{4\pi \varepsilon_o}
Con ragionamento analogo nel caso distribuzione superficiale caratterizzata dalla
densità superficiale <math>\sigma\ </math>:
:<math>V
 
<math>V
(\overrightarrow{r})=
\frac 1{4\pi \varepsilon_o}
\int_S
\frac{ \sigma ds}{|\vec r-\vec {r_s}|}\ </math>
 
infine per una distribuzione volumetrica:
:<math>V
 
<math>V
(\overrightarrow{r})=
\frac 1{4\pi \varepsilon_o}
\int_T
\frac{ \rho d\tau}{|\vec r-\vec {r_{\tau}}|}\ </math>
Queste relazioni sono analoghe alle equazioni ricavate per il campo elettrico.
 
Quindi le componenti del gradiente, non solo per il potenziale elettrico ma per qualsiasi campo scalre, in coordinate polari sono:
:<math>grad_r=\frac {\partial }{\partial r},\qquad grad_{\theta}=\frac 1r\frac {\partial }{\partial \theta},\qquad grad_{\phi}=\frac 1{r\sin \theta}\frac {\partial }{\partial \phi}\ </math>
=== Azione dei campi elettrici sulle cariche===
Una carica puntiforme di massa <math>m\ </math> e carica <math>q\ </math> posta in un campo elettrico segue la [[Fisica_classica/Dinamica#Seconda_legge_della_dinamica_.28detta_anche_II_legge_di_Newton.29|la seconda legge della dinamica cioè:
:<math>Uq\vec E= -\vec p\cdot F=m\vec E a\ </math>
In alcuni casi come l'[[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/La_legge_di_Gauss#13._Un_corpo_di_massa_m_e_carico|all'interno di una distribuzione uniforme]] tale equazione è utile per studiare la dinamica del sistema. Ma più spesso interessa non tanto la dinamica istantanea ma la velocità iniziale e finale ed essendo le forze elettriche centrali è più facile utilizzare la [[Fisica_classica/Energia_e_lavoro#Forze_conservative|la conservazione dell'energia]] come ad esempio nel [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/La_legge_di_Gauss#17._Moto_in_nuvola_cilindrica|moto in una nuvola cilindrica]].
 
==Il dipolo elettrico==
Se si ha un dipolo elettrico rigido posto in un campo elettrico esterno se vogliamo capire la dinamica bisogna calcolare la forza risultante ed il momento risultante. Se il campo elettrico è uniforme la risultante delle forze è chiaramente nulla in quanto la forza agente sulla carica positiva è esattamente eguale e contraria a quella agente sulla negativa. Mentre per quanto riguarda il momento in genere è diverso da 0. Se il dipolo ha una angolo <math>\theta\ </math> con la direzione del campo, sul sistema agirà una coppia di forze, data da due volte la forza per il braccio:
:<math>|\tau| = 2|F|(a \sin \theta ) = 2a|F|\sin \theta \,\!</math>
Il momento si è indicato con la notazione anglosassone <math>|\tau| \!</math>, per non generare confusione con grandezze che si studieranno nel magnetismo.
Poichè <math>|F|=q|E|\,\!</math> e <math>|p|=(2a)(q)\,</math>, si ha che:
:<math>|\tau| = 2aq|E |\sin \theta = pE\sin \theta \,</math>
Se si assume che l'energia potenziale è nulla per <math>{\theta }_0 \,\!</math>=90º: la scelta corrisponde ad assumere che il potenziale minimo si ha con il dipolo allineato nel verso e nella direzione del campo ed il massimo quando è allineato nella direzione del campo, ma con verso opposto.
Si ha quindi che:
:<math>U = -pE\cos \theta \,\!</math>
 
O in forma vettoriale:
<math>U = -pE\cos \theta \,\!</math>
:<math>U = -\vec p\cdot \vec E \ </math>
 
La cosidetta [[w:Carta_elettronica|carta elettronica]] utilizza la proprietà dei dipoli elettrici per orientare sullo schermo delle minuscole sferette che sono dei dipoli elettrici colorati di nero nell'elettrodo positivo e di bianco in quello negativo: tale tecnica a partire dal 1996 è utilizzata negli ''e-book''.
O in forma vettoriale
 
<math>U = -\vec p\cdot \vec E \ </math>
 
Se il campo elettrico non è uniforme la dinamica è chiaramente più complicata in quanto la risultante delle forze non è più nulla a meno che il dipolo sia orientato nella direzione in cui il campo elettrico non varia. Ma chiaramente questa non è una situazione di equilibrio in quanto
il momento sarà massimo in tale posizione e farà ruotare il dipolo allineandolo alle linee del campo. InSi generaletratta in genere di un sistema rigido soggetto contemporaneamente ad una forza risultante esterna ed a un momento quindi la dinamica è moltoquella di un [[Fisica_classica/Dinamica_del_corpo_rigido#Moto_rototraslatorio| moto complicatarototraslatorio]]. Si semplifica il comportamento dinamico se si assume che l'allineamento del dipolo con le linee del campo (dovuto al momento delle forze) avviene più rapidamente rispetto al moto di trascinamento (dovuto alla variazione spaziale del campo elettrico). In questo caso vi sarà un moto di trascinamento, in quanto se viene assunto come asse delle <math>x\ </math> la direzione locale del campo elettrico su cui si è allineato il dipolo e viene scelta l'origine sul centro del dipolo, la posizione della carica negativa sarà <math>-a\ </math>
e quella della positiva <math>a\ </math>.
La risultante della forza sarà quindi:
:<math>F_x=qE_x(a)-qE_x(-a)\ </math>
 
<math>F_x=qE_x(a)-qE_x(-a)\ </math>
 
Se la variazione di <math>E_x\ </math> non è troppo brusca:
:<math>E_x(-a)\approx E_x(0)+-\frac {\partial E_x}{\partial x}|_{x=0}a\ </math>
 
:<math>E_x(-a)\approx E_x(0)-+\frac {\partial E_x}{\partial x}|_{x=0}a\ </math>
 
<math>E_x(a)\approx E_x(0)+\frac {\partial E_x}{\partial x}|_{x=0}a\ </math>
 
Quindi:
:<math>F_x\approx 2qa\frac {\partial E_x}{\partial x}|_{x=0}=p\frac {\partial E_x}{\partial x}\ </math>
 
Cioè i dipolo sono trascinati nella regione dove più intenso è il campo elettrico. Tale forza di trascinamento viene utilizzata nelle macchine fotocopiatrici dove intensi campi elettrici trascinano il toner (dipoli) sulla carta e poi mediante un trattamento termico sono fissati su di essa.
<math>F_x\approx 2qa\frac {\partial E_x}{\partial x}|_{x=0}=p\frac {\partial E_x}{\partial x}\ </math>
 
Cioè i dipolo sono trascinati nella regione dove più intenso è il campo elettrico. Tale forza di trascinamento viene utilizzata nelle macchine fotocopiatrici dove intensi campi elettrici trascinano il toner (dipoli) sulla carta.
 
Un esempio di [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica#15. Due_dipoli|due dipoli]] che agiscono uno sull'altro possono chiarire meglio il ragionamento.