Fisica classica/Potenziale elettrico: differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
aggiunta simmetria polare e alcune modifiche |
|||
Riga 125:
:<math>E_y=-\frac {\partial V}{\partial y}\ </math>;
:<math>E_z=-\frac {\partial V}{\partial z}\ </math>;
In maniera sintetica viene anche scritto che il campo elettrico è il [[w:gradiente|gradiente]] del potenziale cambiato di segno:
Ricordando che abbiamo definito <math>\vec {\nabla}</math> (detto ''Nabla'') come:▼
:<math>\vec {\nabla}=(\frac {\partial }{\partial x},\frac {\partial }{\partial y},\frac {\partial }{\partial z})\ </math>
Si ha che le equazioni precedenti si possono scrivere
:<math>\vec E=-\vec {\nabla}V\ </math>
===Gradiente in coordinate polari===
[[File:Spheric_ds.png|thumb|250px|right|Coordinate sferiche]]
Una linea in [[w:Sistema_di_riferimento#Il_sistema_sferico|coordinate polari]] cioè la congiungente i due punti in figura ha componenti
<math> \vec {dl}=(dr, rd\theta, r\sin \theta d\phi)\ </math> come si ricava dalla figura.
Cioè nelle tre direzioni <math>r,\theta, \ \phi\ </math>.
In questo sistema di coordinate essendo <math>V(r,\theta,\phi)\ </math> il suo differenziale è:
:<math>
Ma anche
:<math>dV
=- \vec E\cdot \vec {dl}=-E_rdr-E_{\theta} rd\theta-E_{\phi} r\sin \theta d\phi\ </math>
Quindi in coordinate polari:
:<math>
:<math>E_{\theta} =-\frac 1r\frac {\partial V}{\partial \theta}\ </math>
:<math>
Quindi le componenti del gradiente, non solo per il potenziale elettrico ma per qualsiasi campo scalre, in coordinate polari sono:
:<math>grad_r=\frac {\partial }{\partial r},\qquad grad_{\theta}=\frac 1r\frac {\partial }{\partial \theta},\qquad grad_{\phi}=\frac 1{r\sin \theta}\frac {\partial }{\partial \phi}\ </math>
==Il dipolo elettrico==
[[Image:Potenziale_dipolo_elettrico.png|thumb|250px|right|Un dipolo elettrico]]
Si chiama dipolo elettrico un insieme di due cariche eguali ed opposte:<math>+q\ </math> e <math>-q\ </math>, poste come nella figura a fianco a distanza <math>2a\ </math>. Un sistema di questo genere viene chiamato dipolo elettrico ed è caratterizzato dal suo momento di dipolo elettrico <math>\vec p\ </math>:
▲<math>\vec p=2q \vec a\ </math>
Orientato dalla carica negativa a quella positiva. Il dipolo elettrico è tra le più semplici distribuzioni di cariche, solo la carica puntiforme è più semplice. Mentre in natura le cariche elementari non sono quasi mai isolate, in quanto la materia è neutra, esistono a livello elementare dipoli molecolari.
Il calcolo del potenziale elettrico di un dipolo a distanza molto maggiore della separazione tra le cariche è una espressione molto utile. Il potenziale elettrico (supposta nulla la d.d.p. rispetto all'infinito ) in un punto <math>P\ </math> distante <math>r\ </math> dall'asse del dipolo posto nell'origini delle coordinate lungo un asse cartesiano (vedi figura a fianco) vale:
:<math>V(\vec r)=\frac 1{4\pi \varepsilon_o}\left( \frac q{r_1}-\frac q{r_2}\right)=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} q\frac {r_2-r_1}{r_1r_2}\ </math>▼
▲<math>V(\vec r)=\frac 1{4\pi \varepsilon_o}\left( \frac q{r_1}-\frac q{r_2}\right)=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} q\frac {r_2-r_1}{r_1r_2}\ </math>
Se <math>r_1\ </math> ed <math>r_2\ </math> (moduli delle distanze) sono molto maggiori della distanza tra le cariche <math>2a\ </math>, e se indichiamo con <math>\theta\ </math> l'angolo formato tra l'asse del dipolo con la direzione <math>\vec r\ </math>, si può scrivere:
:<math>r_2-r_1\approx 2a\cos \theta\ </math>▼
▲<math>r_2-r_1\approx 2a\cos \theta\ </math>
ed anche:
:<math>r_1r_2\approx r^2\ </math>
▲<math>r_1r_2\approx r^2\ </math>
Quindi possiamo riscrivere l'equazione precedente come:
:<math>V(\vec r)=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {2aq}{r^2}\cos \theta▼
▲<math>V(\vec r)=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {2aq}{r^2}\cos \theta
\ </math>
Dalla definizione del momento di dipolo elettrico come vettore potremo scrivere in maniera compatta:
:<math>V(\vec
▲<math>V(\vec r)=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {\vec p\cdot \vec r}{r^3}\ </math>
Tale espressione è valida solo per punti a distanza grande rispetto alla separazione delle cariche, nei punti vicini bisogna usare l'espressione esatta.
Line 167 ⟶ 173:
Da tale espressione esplicita è possibile calcolare le tre componenti del campo elettrico secondo i tre assi cartesiani, sempre nell'approssimazione di distanza grande rispetto alle dimensioni del dipolo stesso:
:<math>E_x=-\frac {\partial V}{\partial x}=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {3pzx}{r^5}\ </math>
:<math>
:<math>E_z=-\frac {\partial V}{\partial z}=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {p}{r^5}(3z^2-r^2)\ </math>
▲<math>E_y=-\frac {\partial V}{\partial y}=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {3pzy}{r^5}\ </math>
▲<math>E_z=-\frac {\partial V}{\partial z}=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {p}{r^5}(3z^2-r^2)\ </math>
Nella figura accanto sono mostrate le linee del campo elettrico di un dipolo.
È possibile scrivere una espressione del campo elettrico in forma più generale che non dipende dall'avere orientato il dipolo secondo l'asse delle z:
:<math>\vec E=\frac 1{4\pi \varepsilon_o r^5}\left[ 3(\vec p\cdot \vec r)\vec r-r^2\vec p\right]\ </math>
===Il dipolo elettrico in coordinate polari===
Se si sceglie l'asse delle z coincidente con la direzione del dipolo possiamo riscrivere il potenziale a grande distanza dal dipolo come:
:<math>V(r,\theta,\phi)=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {p\cos \theta}{r^2}\ </math>
quindi in cooordinate polari:
:<math>E_r=-grad_rV=-\frac {\partial V}{\partial r}=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {2p\cos \theta}{r^3}\ </math>
:<math>E_{\theta}=- grad_{\theta}=-\frac 1r\frac {\partial V }{\partial \theta}=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {p\sin \theta}{r^3}\ </math>
:<math>E_{\phi}=- grad_{\phi}=\frac 1{r\sin \theta}\frac {\partial V}{\partial \phi}\ </math>
Quindi il campo in coordinate polari non ha componenti nella direzione zenitale (<math>\phi\ </math>
▲<math>\vec E=\frac 1{4\pi \varepsilon_o r^5}\left[ 3(\vec p\cdot \vec r)\vec r-r^2\vec p\right]\ </math>
Due esercizi uno sulla [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica#5. Dipoli_differenza_di_potenziale|differenza di potenziale di un dipolo]] e l'altro sul [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica#9. Un_dipolo|campo elettrico]] possono servire a chiarire il concetto di dipolo. Infine anche distribuzioni continue come quella di [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica#18. Anello con distribuzione dipolare|un anello con distribuzione dipolare]] sono a grande distanza assimilabili a semplici dipoli.
| |||