Esercizi di fisica con soluzioni/Urti: differenze tra le versioni
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===10. Urto elastico tra punto materiale e corpo vincolato ===
[[File:Urto elastico pm e corpo rigido.png|right|100px]]
Un punto materiale di massa <math>m_{0}=0.7\,kg</math> urta elasticamente nel punto <math>A</math> un pendolo composto formato da una sbarretta di lunghezza <math>l=16\,cm</math> e massa <math>m_{1}</math> al cui estremo è fissata rigidamente una sfera <math>S</math> di massa <math>m_{0}</math> e raggio <math>R=4\,cm</math>. Il sistema composto è incernierato in <math>B</math> ed è libero di ruotare intorno a un asse ivi passante e perpendicolare al foglio.
Il momento d'inerzia rispetto a tale asse è <math>I_{p}=0.05\,kg\cdot m^{2}</math>. Subito dopo l'urto, il
pendolo composto acquista una velocità angolare <math>\omega=8.0\,rad/s</math>.
Calcolare:
a)la massa della sbarretta; b) la velocità <math>v_{1}</math> del punto materiale prima dell'urto
e la sua velocità <math>v_{2}</math> subito dopo l'urto; c) la distanza da <math>B</math> del centro di massa;
d)l'angolo massimo <math>\phi_{max}</math> raggiunto dal pendolo composto.
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== Soluzioni ==
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:<math>x=\frac 75\ </math>
===10. Urto elastico tra punto materiale e corpo vincolato===
<span class="noprint">[[#10. Urto elastico tra punto materiale e corpo vincolato|→ Vai alla traccia]]</span>
a)
Il momento d'inerzia dell'asta rispetto a B è:
:<math>I_{Asta}=\frac{m_{1}l^{2}}{3}\ </math>
mentre quello della sfera $S è:
:<math>I_{S}=\frac{2}{5}m_{0}R^{2}+m_{0}\left(l+R\right)^{2}=0.028\,kg\cdot m^{2}\ </math>
Il momento di inerzia del pendolo composto è quindi:
:<math>I_{P}=I_{Asta}+I_{S}\ </math>
e, invertendo
:<math>m_{1}=\frac{3\left(I_{P}-I_{S}\right)}{l^{2}}=2.5\,kg\ </math>
b)
Per la conservazione dell'energia
:<math>\frac{1}{2}m_{0}v_{1}^{2}=\frac{1}{2}m_{0}v_{2}^{2}+\frac{1}{2}I_{P}\omega^{2}\ </math>
mentre, imponendo la conservazione del momento angolare, si ottiene
:<math>m_{0}v_{1}\left(l+R\right)=m_{0}v_{2}\left(l+R\right)+I_{P}\omega\ </math>
combinando queste due equazioni:
:<math>m_{0}\left(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}\right) = m_{0}\left(v_{1}-v_{2}\right)\left(v_{1}+v_{2}\right)=I_{P}\omega^{2}\ </math>
:<math>m_{0}\left(l+R\right)\left(v_{1}-v_{2}\right) = I_{P}\omega\ </math>
:<math>\frac{I_{P}\omega\left(v_{1}+v_{2}\right)}{l+R}=I_{P}\omega^{2}\ </math>
:<math>v_{1}+v_{2} = \omega\left(l+R\right)\ </math>
:<math>v_{1}-v_{2} = \frac{I_{P}\omega}{m_{0}(l+R)}\ </math>
:<math>v_{1} = \frac{\omega\left(l+R\right)}{2}+\frac{I_{P}\omega}{2m_{0}(l+R)}=\omega\frac{m_{0}\left(l+R\right)^{2}+I_{P}}{2m_{0}(l+R)}=2.2\,m/s\ </math>
:<math>v_{2} = \frac{\omega\left(l+R\right)}{2}-\frac{I_{P}\omega}{2m_{0}(l+R)}=\omega\frac{m_{0}\left(l+R\right)^{2}-I_{P}}{2m_{0}(l+R)}=-0.6\,m/s\ </math>
c)La distanza del centro di massa da <math>B</math> è:
:<math>l_{CM}=\frac{m_1l/2+m_0(l+R)}{m_0+m_1}=11\,cm\ </math>
d)Dopo l'urto il pendolo trasforma l'energia cinetica guadagnata in
energia potenziale:
:<math>\frac{1}{2}I_{P}\omega^{2}=\left(m_{0}+m_{1}\right)gl_{CM}(1-\cos\phi_{max})\ </math>
:<math>I_{P}\omega^{2}=g\left[m_{1}l+2m_{0}(l+R)\right](1-\cos\phi_{max})\ </math>
:<math>\cos\phi_{max}=1-\frac{I_{P}\omega^{2}}{g\left[m_{1}l+2m_{0}(l+R)\right]}\ </math>
:<math>\phi_{max}=58{^o}\ </math>
[[Categoria:Esercizi di fisica con soluzioni|Urti]]
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