Fisica classica/Conduttori: differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
m corretti errori su condensatore cilindrico |
aggiunto la carica immagine |
||
Riga 1:
{{capitolo
|Libro=Fisica classica
|NomeLibro=Fisica classica
|CapitoloPrecedente=Potenziale elettrico
|NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Potenziale_elettrico
|CapitoloSuccessivo=Dielettrici
|NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Dielettrici
}}
Tutta la trattazione finora eseguita escludeva la presenza di materia. L'aria con buona approssimazione è equiparabile al vuoto per quanto riguarda l'elettrostatica, quindi la trattazione fatta finora si applica bene a un mezzo a cui siamo abituati. La materia modifica sostanzialmente il comportamento dei campi elettrici, esiste una quantità che definiremo nel seguito detta [[w:Resistivit%C3%A0_elettrica|resistività elettrica]] che varia di oltre 20 ordini di grandezza andando da un conduttore ideale (i metalli in generale) ad un isolante ideale (che chiameremo anche dielettrico). Qui limitiamo la nostra trattazione ad un conduttore ideale. Ovviamente, come spesso avviene in natura, la distinzione tra i conduttori e gli isolanti non è così netta: un caso tipico è l'acqua che nella forma naturale è un discreto conduttore, ma una volta privata dei sali in essa disciolti e quindi deionizzata rappresenta un buon isolante. Ma sicuramente i metalli, le leghe sono tutti dei conduttori per cui valgono le leggi che stiamo per descrivere.
Line 273 ⟶ 279:
Tale valore concide con l'espressione dell'[[Fisica_classica/Potenziale_elettrico#Energia_associata_al_campo_elettrostatico|energia per unità di volume]] calcolato in maniera più generale nella [[Fisica_classica/Potenziale_elettrico|parte precedente]].
==Metodo della carica immagine==
Il metodo della carica immagine è un metodo di risoluzione di problemi di elettrostatica nei conduttori. La validità di tale teorema è un corollario del [[Fisica_classica/Potenziale_elettrico#Unicit.C3.A0_della_soluzione_dell.27equazione_di_Poisson|teorema di unicità]], che stabilisce che il potenziale elettrico in un volume è unicamente determinato se il valore del potenziale è specificato in tutto il contorno quindi ponendo sorgenti
fittizie che producono lo stesso potenziale nel contorno si possono determinare grandezze di interesse.
=== Una carica di fronte ad un piano conduttore a massa===
[[File:methodofimages1.png|thumb||300px|Sistema reale]]
[[File:methodofimages32.png|thumb|300px|Sistema e la sua immagine]]
L'esempio più semplice dell'applicazione del metodo è quello di una carica puntiforme '''q''', posizionate nel punto <math>(0,a,0)</math> sopra un piano infinito conduttore [[w:Messa_a_terra|messo a terra]] (cioè: <math>V=0</math>) nel piano ''xz''. Per semplificare il problema, rimpiazziamo il piano equipotenziale con una carica –'''q''', posta in <math>(0,-a,0)</math>. Questa disposizione produrrà lo stesso campo elettrico ad ogni punto per cui <math>y>0</math> (cioè sopra il piano conduttore) e soddisfa la condizioni al contorno sul potenziale lungo il piano in quanto il potenziale elettrico sul piano è nullo (come è nullo nei punti equidistanti dalle due cariche costituenti un dipolo). Questa situazione è equivalente alla situazione iniziale, ma determinare la forza sulla carica '''q''', il campo elettrico in tutti i punti dello spazio sopra il piano conduttore e le relative differenze di potenziale diventa un problema di sue sole cariche.
Il potenziale in ogni punto dello spazio, dovuto a queste due cariche puntiformi +'''q''' in +'''a''' e -'''q''' in -'''a''' sull'asse '''y''' è dato da:
:<math>V\left(x,y,z\right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{\sqrt{x^2+z^2 + \left(y-a \right)^2}} + \frac{-q}{\sqrt{x^2 +z^2+ \left(y+a \right)^2}} \right) \,</math>
La componente del campo elettrico normale alla superficie del piano conduttore vale:
:<math>E_y=-\frac{\partial V}{\partial y}\Bigg|_{y=0}= \frac{-q a}{2 \pi \varepsilon_0\left(x^2+z^2 + a^2\right)^{3/2} }</math>
è facile verificare come le componenti tangenziali alla superficie siano nulle.
Quindi la densità indotta sul piano vale (dal [[Fisica_classica/Conduttori#Teorema_di_Coulomb|teorema di Colomb]]:
:<math>\sigma =\varepsilon_0E_y=\frac{-q a}{2 \pi \left(x^2+z^2 + a^2\right)^{3/2} }</math>
Quindi la carica totale indotta sul piano conduttore sarà l'integrale della densità di carica sull'intero piano:
: <math>Q_t = \int_S \sigma dS</math>
Se definisco la distanza dalla congiunte le due cariche: <math>r=\sqrt{x^2+z^2}</math>, l'elemento di superficie sarà <math>dS=2\pi rdr</math>
quindi l'integrale di superficie diventa un integrale di una sola variabile:
: <math>Q_t =-q a\int_0^{\infty}\frac 1{\left(r^2 + a^2\right)^{3/2}} r dr</math>
Facendo un cambio di variabile <math>s^2=r^2 + a^2</math>:
: <math>Q_t =-q a\int_a^{\infty}\frac {ds}{s^2}=-q a \left[-\frac 1s\right]_a^{\infty}=-q</math>
Infine la forza con cui il piano conduttore attrae la carica vale:
:<math>F=\frac {q^2}{4 \pi \varepsilon_0(2a)^2}=\frac {q^2}{16 \pi \varepsilon_0a^2}</math>
Poichè il campo elettrico nel vuoto soddisfa il principio [[Fisica_classica/Carica_elettrica#Sovrapposizione_delle_forze_elettriche|di sovrapposizione delle forze]], per un piano conduttore sotto un insieme di cariche puntiformi può ripetersi il ragionamento per ogni carica individualmente.
=== Una carica di fronte ad una sfera conduttrice a massa===
[[File:Carica e sfera conduttrice.png|thumb|400px|Una carica di fronte a una sfera conduttrice]]
Studiamo il problema di una carica puntiforme ''q'' a distanza ''a'' dal centro di una sfera conduttrice di raggio ''R'' posta a massa.
La carica indurrà sulla superficie del conduttore una carica indotta tale da annullare il potenziale nel volume della sfera, e quindi anche sulla sua superficie.
[[File:Carica immagine di sfera conduttrice a massa.png|thumb|400px|Distribuzione di carica che genera un campo equivalente a quello di una carica d fronte a una sfera conduttrice a massa]]
In realtà due cariche puntiformi '''q''' e '''q'''' se di segno opposto generano un potenziale elettrico (assunto nullo il potenziale all'infinito) che si annulla lungo una sfera, con una opportuna scelta quindi della carica '''q'''' e della sua posizione spaziale si crea un sistema immagine che riproduce all'esterno della sfera conduttrice lo stesso problema fisico.
Facendo riferimento alla figura immagine bisogna imporre che il potenziale sulla superficie della sfera sia nullo cioè che:
:<math>V_S= \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[\frac q{\sqrt{R^2\sin^2\theta +(a-R\cos \theta)^2}}+\frac {q'}{\sqrt{R^2\sin^2\theta +(b-R\cos \theta)^2}}\right]=0</math>
quindi deve essere:
:<math> \left[\frac q{\sqrt{R^2+a^2-2aR\cos \theta}}+
\frac {q'}{\sqrt{R^2+b^2-2bR\cos \theta}}\right]=0</math>
Necessariamente la carica di '''q''' è opposta a quella di '''q'''. Fatta questa considerazione possiamo fare il quadrato delle due espressioni
e trasformare l'equazione in:
:<math>q^2(R^2+b^2-2bR\cos \theta)=q'^2(R^2+a^2-2aR\cos \theta)</math>
Per essere nulla per qualsiasi angolo <math>\theta </math> occorre che:
:<math>q^22bR\cos \theta=q'^22aR\cos \theta</math>
e quindi il valore della carica immagine è (tenendo conto del segno):
:<math>q'=-q\frac Ra</math>
Ma anche:
:<math>q^2(R^2+b^2)=q'^2(R^2+a^2)=q^2\frac {R^2}{a^2}(R^2+a^2)</math>
:<math>a^2(R^2+b^2)-R^2(R^2+a^2)=0</math>
Che può essere trasformato nel prodotto di due polinomi:
:<math>(R^2-ab)(a-b)=0</math>
Tale espressione si annulla per la soluzione banale (nessuna carica presente) <math>b=a</math>, ma anche per la soluzione cercata
:<math>R^2=ab</math>
:<math>b=\frac {R^2}a</math>
[[File:Carica immagine di sfera conduttrice isolata.png|thumb|400px|Distribuzione di carica che genera un campo equivalente a quellodi una carica d fronte a una sfera conduttrice isolata]]
Quindi a questo punto è facile determinare il campo elettrico nel vari punti dello spazio, e in particolare la forza attrattiva
esercitata dalla sfera conduttrice:
:<math>F=\frac {qq'}{4 \pi \varepsilon_0(a-b)^2}=\frac {q^2R}{4 \pi \varepsilon_0a(a-b)^2}</math>
=== Una carica di fronte ad una sfera conduttrice isolata===
Se la sfera conduttrice è isolata, chiaramente la carica totale immagine deve essere nulla in quanto per il teorema di Gauss il flusso del campo elettrico sulla sfera gaussiana costituita della superficie della sfera conduttrice deve essere nulla quindi per creare il sistema immagine assiema alla carica '''q'''' ci deve essere all'interno della sfera '''R''' una carica '''q''''. Che però deve produrre un potenziale elettrico (rispetto all'infinito) equale in tutti i punti della superficie quindi la carica '''q'''' è posta al centro. Quiindi il sistema immagine è composto di tre cariche puntiformi poste come indicato in figura.
Il potenziale a cui di porta la sfera è quindi non più nullo, ma pari a:
:<math>V_S=-\frac {q'}{4 \pi \varepsilon_0 R}=\frac {qR}{4 \pi \varepsilon_0 aR}=\frac {q}{4 \pi \varepsilon_0 a}</math>
==Bibliografia==
* {{cita libro | cognome= Mencuccini | nome= Corrado | coautore= Vittorio Silvestrini | titolo= Fisica II | editore= Liguori | città= | ed= 3 | anno= 1999 | id= ISBN 978-88-207-1633-2 }}
[[Fisica_classica/Dielettrici| Argomento seguente: Dielettrici]]
| |||