Differenze tra le versioni di "Fisica classica/Potenziale elettrico"

aggiunte le equazioni di Laplace e Poisson
(aggiunte le equazioni di Laplace e Poisson)
Questa è la relazione locale del campo elettrostatico.
 
==Le equazioni di Poisson e Laplace==
Le due equazioni di Maxwell in forma locale che descrivono il comportamento del campo elettrico sono quindi:
:<math>\nabla \cdot \vec E = {\rho \over \varepsilon_0} </math>
:<math> \nabla \times \vec E =0</math>
dove la seconda equazione, per il fatto che il [[w:Rotore (matematica)|rotore]] del [[w:gradiente|gradiente]] è nullo, può essere scritta come:
:<math>\vec E = - \nabla V(\vec r) </math>
 
In altre parole, il campo elettrico è definito come il gradiente di una funzione scalare <math>V(\vec r)</math>. Trovare <math>V(\vec r)</math> è il modo usuale per trovare il potenziale elettrico a partire da una data distribuzione di cariche. Essendo il potenziale elettrico una funzione scalare è molto più semplice avere a che fare con una funzione scalare, piuttosto che con una vettoriale come il campo elettrico. Sostituendo l'espressione del campo elettrico nella prima delle due equazioni di Maxwell sopra citate si ottiene l'equazione di Poisson, che ha la forma:
:<math>{\nabla}^2 V(\vec r) = - {\rho \over \varepsilon_0}</math>
In particolare in coordinate cartesiane assume la forma:
 
:<math>{\nabla}^2 V= \frac {\partial^2 V}{\partial x^2}+\frac {\partial^2 V}{\partial y^2}+\frac {\partial^2 V}{\partial z^2}=- {\rho \over \varepsilon_0}</math>
Se la regione di spazio considerata non ha sorgenti, cioè per <math>\rho =0</math> , l'equazione di Poisson si riduce all'equazione di Laplace:
:<math>{\nabla}^2 V(\vec r) = 0</math>
In genere in elettrostatica si determina la soluzione dell'equazione di Laplace in una regione in cui non siano presenti cariche e di conseguenza si trova la soluzione dell'equazione di Poisson.
=== Unicità della soluzione dell'equazione di Poisson===
Il teorema di unicità per l'equazione di Poisson afferma che se si conoscono i valori di <math>V(\vec r)</math> sul contorno di una certa regione, la soluzione dell'equazione di Poisson esiste ed è unica. Di conseguenza anche campo elettrico è univocamente determinato.
 
Immaginiamo di avere una regione di spazio in cui la densità di carica è nota e continua ed è delimitata dalla superficie di contorno <math>S</math> al volume <math>\tau </math> in cui il potenziale vale <math>f_S</math>. Il teorema afferma che esiste una unica soluzione.
La dimostrazione si fa per assurdo immaginando che vi siano invece due soluzioni diverse: <math>f_1</math> e <math>f_2</math> che entrambe assumono il valore <math>f_S</math> sulla superficie.
:<math>{\nabla}^2 f_1 = - {\rho \over \varepsilon_0}\qquad f_1=f_S \ su S</math>
:<math>{\nabla}^2 f_2 = - {\rho \over \varepsilon_0}\qquad f_2=f_S \ su S</math>
Se definisco:
:<math>f=f_2-f_1</math>
:<math>{\nabla}^2 f={\nabla}^2 (f_2-f_1)=0 \qquad f=0 \ su S</math>
Quindi la funzione <math>f</math> soddisfa l'equazione di Laplace ma è anche identicamente nulla.
Infatti se consideriamo l'integrale della quantità e lo sviluppiamo:
:<math>\int_{\tau}\vec \nabla \cdot (f\vec \nabla f)d\tau=\int_{\tau}f{\nabla}^2 f+\int_{\tau}(\vec \nabla f)^2d\tau</math>
il primo termine è nullo.
Ma tale espressione è anche eguale per il [[Fisica_classica/Equazioni_di_Maxwell#Teorema_della_divergenza|teorema della divergenza]] a
:<math>\int_{\tau}\vec \nabla \cdot (f\vec \nabla f)d\tau=\int_{\tau}(\vec \nabla f)^2d\tau=\int_Sf\vec \nabla f\cdot \vec {dS}</math>
Ma l'integrale di superficie è nullo in quanto <math>f=0 \ su S</math>
Quindi in definitiva si ha che:
:<math>\int_{\tau}(\vec \nabla f)^2d\tau=0</math>
La funzione integranda è continua (come la densità di carica), non è mai negativa (essendo un quadrato) e quindi perché l'integrale nella regione
<math>\tau </math> sia nullo occorre che anche <math>\vec \nabla f =0</math> in <math>\tau </math>, quindi che la funzione <math>f </math> debba essere una costante nel volume, ma essendo nulla sul contorno deve essere nulla da per tutto. Quindi le due funzioni <math>f_1</math> e <math>f_2</math> sono identiche e quindi la soluzione è unica.
 
==Bibliografia==
* {{cita libro | cognome= Mencuccini | nome= Corrado | coautore= Vittorio Silvestrini | titolo= Fisica II | editore= Liguori | città= | ed= 3 | anno= 1999 | id= ISBN 978-88-207-1633-2 }}
[[Fisica_classica/Conduttori| Argomento seguente: Conduttori]]