Differenze tra le versioni di "Fisica classica/Moti relativi"

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= Formulazione analitica=
[[Image:Moving coordinate system.PNG|thumb|400px|| Un oggetto in '''x'''<sub>A</sub> nel sistema di riferimento inerziale ''A'' ha una posizione '''x'''<sub>B</sub> nel sistema accelerato ''B''. L'origine di ''B'' è in '''X'''<sub>AB</sub> nel sistema ''A''. Le orientazioni del sistema ''B'' è determinato dai versori lungo i suoi assi delle coordinate '''u'''<sub>j</sub> con ''j'' = (1, 2, 3). Usando questi assi, le coordinate dell'oggetto nel sistema ''B'' sono '''x'''<sub>B</sub> = ( '''''x'''''<sub>1</sub>, '''''x'''''<sub>2</sub>, '''''x'''''<sub>3</sub></font> )]]
 
[[Image:Moving coordinate system.PNG|thumb|400px|| Un oggetto in '''x'''<sub>A</sub> ha una nel sistema di riferimento inerziale '''A''' ha una posizione '''x'''<sub>B</sub> nel sistema acceleratonon inerziale '''B'''. L'origine di '''B''' è in '''X'''<sub>AB</sub> nel sistema '''A'''. Le orientazioni del sistema '''B''' èsono determinatodeterminate dai versori lungo i suoi assi delle coordinate '''u''''<sub>j</sub> con ''j'' = (1, 2, 3) (i versori del sistema non inerziale nella figura sono in blu). Usando questi assi, le coordinate dell'oggetto nel sistema '''B''' sono '''x'''<sub>B</sub> = ( '''''x'''''<sub>1</sub>, '''''x'''''<sub>2</sub>, '''''x'''''<sub>3</sub></font> ).]]
La figura serve per fare una formulazione analitica dei moti relativi. Un punto materiale di massa ''m'' e posizione '''x'''<sub>A</sub>(''t'') in un sistema di riferimento inerziale A. Consideriamo
un sistema di riferimento non inerziale B la cui origine è in '''X'''<sub>AB</sub> nel sistema ''A''. Nel sistema B la posizione del punto materiale è '''x'''<sub>B</sub>(''t''). Vogliamo determinare le forze agenti nel sistema di riferimento B sul punto materiale.
Gli assi delle coordinate nel riferimento B sono identificati dai versori '''u'''<sub>j</sub> con ''j'' {&thinsp;1,&thinsp;2,&thinsp;3&thinsp;} per i tre assi delle coordinate.
 
La figura a fianco è un aiuto per una formulazione analitica dei moti relativi.
Quindi la posizione del punto materiale secondo il sistema B è:
 
:<math> \mathbf{x}_\mathrm{B} = \sum_{j=1}^3 x_j \mathbf{u}_j \ . </math>
La figura serve per fare una formulazione analitica dei moti relativi. Un punto materiale di massa ''m'' e posizione '''x'''<sub>A</sub>(''t'') in un sistema di riferimento inerziale '''A'''. Consideriamo
Mentre nel sistema A la posizione è:
un sistema di riferimento non inerziale '''B''' la cui origine è innella posizione '''X'''<sub>AB</sub> nel sistema di riferimento inerziale '''A'''. Nel sistema '''B''' la posizione del punto materiale è '''x'''<sub>B</sub>(''t''). VogliamoLo scopo del ragionamento è determinare le forze apparenti agenti nel sistema di riferimento '''B''' sul punto materiale.
:<math>\mathbf{x}_\mathrm{A} =\mathbf{X}_\mathrm{AB} + \sum_{j=1}^3 x_j \mathbf{u}_j \ . </math>
 
Gli assi delle coordinate nel riferimento '''B''' sono identificati dai versori '''u''''<sub>j</sub> con ''j'' = {&thinsp;(1,&thinsp; 2,&thinsp; 3&thinsp;}) per i tre assi delle coordinate. Quindi la posizione del punto materiale secondo il sistema '''B''' è:
:<math> \mathbf{x}_\mathrm{B} = \sum_{j=1}^3 x_jx'_j \mathbf{u'}_{j}_j \ . </math>
Mentre nel sistema A la sua posizione è:
:{{Equazione|eq=<math>\mathbf{x}_\mathrm{A} =\mathbf{X}_\mathrm{AB} + \sum_{j=1}^3 x_jx'_j \mathbf{u'}_j \ . </math>|id=1}}
La derivata temporale dei versori &thinsp;'''u''''<sub>''j''</sub>&thinsp; non è nulla se il sistema '''B''' ruota. Inoltre il vettore '''X'''<sub>AB</sub> fornisce la posizione dell'origine di '''B''' rispetto ad '''A''', ema non include la rotazione del sistema '''B''', in quanto la eventuale ruotazionerotazione del sistema è determinata solamente dai versori.
 
== Velocità relativa==
 
Quindi facendo la derivatederivata temporalitemporale della posizione istantanea, (1) si ha la velocità del punto materiale:
:<math> \frac {d \mathbf{x}_\mathrm{A}}{dt} =\frac{d \mathbf{X}_\mathrm{AB}}{dt} + \sum_{j=1}^3 \frac{dx_jdx'_j}{dt} \mathbf{u'}_j + \sum_{j=1}^3 x_jx'_j \frac{d \mathbf{u'}_j}{dt} \ . </math>
Il primo termine è la velocità con cui si sposta l'origine di B ('''v'''<sub>AB</sub>). Il secondo termine è la velocità del punto materiale, cioè '''v''''<sub>B</sub> nel sistema di riferimento B, quindi possiamo scrivere:
{{Equazione|eq=<math> \frac {d \mathbf{x}_\mathrm{A}}{dt} =\mathbf{v}_\mathrm{AB}+ \mathbf{v'}_\mathrm{B} + \sum_{j=1}^3 x_j \frac{d \mathbf{u'}_j}{dt} </math>|id=12}}
L'interpretazione di questa equazione è che la velocità del punto materiale vista dall'osservatore in '''A''' consiste di quella che l'osservatore in '''B''' chiama velocità, cioè '''v''''<sub>B</sub>, più due termini aggiuntivi uno dovuto alla velocità dell'origine
e l'altro dovuto alla rotazione del sistema di riferimento, l'effetto di quest'ultimo termine, che si ha se il sistema non inerziale ruota, è tanto più grande quanto il punto materiale è lontano dall'origine in '''B''' .
== Accelerazione relativa ==
Per ottenere l'accelerazione bisogna fare una ulteriore derivata nel tempo:
:<math> \frac {d^2 \mathbf{x}_\mathrm{A}}{dt^2} = \mathbf{a}_\mathrm{AB}+\frac {d\mathbf{v'}_\mathrm{B}}{dt} + \sum_{j=1}^3 \frac {dx_jdx'_j}{dt} \frac{d \mathbf{u'}_j}{dt} + \sum_{j=1}^3 x_jx'_j \frac{d^2 \mathbf{u'}_j}{dt^2}=\mathbf{a}_\mathrm{AB}+\frac {d\mathbf{v'}_\mathrm{B}}{dt} + \sum_{j=1}^3 v_jv'_j \frac{d \mathbf{u'}_j}{dt} + \sum_{j=1}^3 x_jx'_j \frac{d^2 \mathbf{u'}_j}{dt^2}. </math>
 
Usando la stessa formula già usata per la derivata temporale di '''x'''<sub>B</sub>, le derivata della velocità ('''v'''<sub>B</sub>) in forma esplicita diviene:
 
:<math>\frac {d\mathbf{v'}_\mathrm{B}}{dt} =\sum_{j=1}^3 \frac{d v_jv'_j}{dt} \mathbf{u'}_j+ \sum_{j=1}^3 v_jv'_j \frac{d \mathbf{u'}_j}{dt} =\mathbf{a'}_\mathrm{B} + \sum_{j=1}^3 v_jv'_j \frac{d \mathbf{u'}_j}{dt}</math>
Di conseguenza:
{{Equazione|eq=<math> \frac {d^2 \mathbf{x}_\mathrm{A}}{dt^2}=\mathbf{a}_\mathrm{AB}+\mathbf{a'}_\mathrm{B} + 2\ \sum_{j=1}^3 v_jv'_j \frac{d \mathbf{u'}_j}{dt} + \sum_{j=1}^3 x_jx'_j \frac{d^2 \mathbf{u'}_j}{dt^2}</math>|id=23}}
= Forze apparenti=
Moltiplicando per la massa si ha che:
{{Equazione|eq=<math>\mathbf{F}_\mathrm{A} = m\mathbf{Fa}_\mathrm{BAB} + m\mathbf{aF'}_\mathrm{ABB}+ 2m \sum_{j=1}^3 v_jv'_j \frac{d \mathbf{u'}_j}{dt} + m \sum_{j=1}^3 x_jx'_j \frac{d^2 \mathbf{u'}_j}{dt^2}</math>|id=34}}
La forza osservata nel riferimento '''B''', '''F'''<sub>B</sub> = ''m'''''a'''<sub>B</sub> è dovuta alla forza reale , '''F'''<sub>A</sub>, da:
 
:<math>\mathbf{F'}_\mathrm{B} = \mathbf{F}_\mathrm{A} + \mathbf{F'}_{\mbox{apparenti}},</math>
 
dove:
 
{{Equazione|eq=<math> \mathbf{F'}_{\mbox{apparenti}} = -m\mathbf{a}_\mathrm{AB} - 2m\sum_{j=1}^3 v_jv'_j \frac{d \mathbf{u'}_j}{dt} - m \sum_{j=1}^3 x_jx'_j \frac{d^2 \mathbf{u'}_j}{dt^2}\ . </math>|id=45}}
La prima forza apparente è dovuta all'accelerazione dell'origine di B;
il secondo termine è la cosidettacosiddetta accelerazione di Coriolis (il fattore due deriva da due contributi diversi come ricavato con la derivazione analitica);
il terzo termine contiene sia la accelerazione centrifuga che l'eventuale accelerazione angolare.
 
==Sistema di riferimento accelerato su una traiettoria rettilinea==
Se la traiettoria è rettilinea l'espressione delle forza apparente diventa:
{{Equazione|eq=<math>\mathbf{F'}_{\mbox{apparenti}} = -m\mathbf{a}_\mathrm{AB} \ . </math>|id=56}}
Questo è il caso ad esempio di un ascensore che accelera verso l'alto con accelerazione <math>a_{asc}\ </math>; la forza che sentono i passeggeri è quindi:
:<math>\mathbf{F'}_{B} = -mg-ma_{asc}</math>
A cui si oppone la reazione vincolare del pavimento, ma se ponessimo una bilancia vedremmo, che mentre l'ascensore è in accelerazione in salitàsalita il peso aumenta. Nella fase di accelerazione in discesa si ha la cosa opposta, diminuisce la forza peso, al limite se la accelerazione è pari alla forza peso (l'ascensore in caduta libera) non sentiremmo nessuna forza peso. Tre esercizi chiariscono meglio quello di cui si parla:
[[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Moti_relativi#1._Vagone|Vagone di un treno]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Moti_relativi#2._Ascensore|Ascensore]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Moti_relativi##4._Luce|Luce che cade]].
 
==Sistema di riferimento ruotante==
Una situazione comune è quando il sistema di riferimento ruota. A causa di tale rotazione il sistema di riferimento '''B''' non è inerziale, dovuto al fatto che per avere rotazione è necessaria una accelerazione, quindi in questo caso se ci si mette nel riferimento in rotazione sono sempre presenti forze apparenti.
 
Per derivare l'espressione delle forze apparenti, è necessario esplicitare le derivate dei versori delle coordinate del sistema in rotazione. Se la rotazione del sistema ''B'' è rappresentata da un vettore '''Ω''' che punta lungo l'asse di rotazione con direzione determinata dalla [[w:Regola_della_mano_destra|regola della mano destra]] e con ampiezza data da:
:<math> |\boldsymbol{\Omega} | = \frac {d \theta }{dt} = \omega (t), </math>
Allora la derivata prima temporale dei tre versori che descrivono il sistema '''B''' è:
:<math> \frac {d \mathbf{u'}_j (t)}{dt} = \boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{u'}_j (t), </math>
La derivata seconda temporale è:
:<math>\frac {d^2 \mathbf{u'}_j (t)}{dt^2}= \frac{d\boldsymbol{\Omega}}{dt} \times \mathbf{u'}_j +\boldsymbol{\Omega} \times \frac{d \mathbf{u'}_j (t)}{dt} = \frac{d\boldsymbol{\Omega}}{dt} \times \mathbf{u'}_j+ \boldsymbol{\Omega} \times \left[ \boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{u'}_j (t) \right], </math>
abbiamo usato le regole del prodotto vettoriale. Queste derivate sono sostituite
nella espressione finale della [[Fisica_classica/Moti_relativi#Accelerazione_relativa|accelerazione relativa]] ponendo '''a'''<sub>AB</sub> = 0 (escludendo traslazione dell'origine e ponendo l'accento sulla sola rotazione):
:<math> \frac {d^2 \mathbf{x}_\mathrm{A}}{dt^2}=\mathbf{a'}_\mathrm{B} + 2\sum_{j=1}^3 v_jv'_j \ \frac{d \mathbf{u'}_j}{dt} + \sum_{j=1}^3 x_jx'_j \frac{d^2 \mathbf{u'}_j}{dt^2},</math>
:<math>\mathbf{a}_\mathrm{A} = \mathbf{a'}_\mathrm{B} +\ 2\sum_{j=1}^3 v_jv'_j \boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{u'}_j (t) + \sum_{j=1}^3 x_j \frac{d\boldsymbol{\Omega}}{dt} \times \mathbf{u'}_j \ + \sum_{j=1}^3 x_jx'_j \boldsymbol{\Omega} \times \left[ \boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{u'}_j (t) \right]</math>
:<math>=\mathbf{a'}_\mathrm{B} + 2 \boldsymbol{\Omega} \times\sum_{j=1}^3 v_jv'_j \mathbf{u'}_j (t) + \frac{d\boldsymbol{\Omega}}{dt} \times \sum_{j=1}^3 x_jx'_j \mathbf{u'}_j + \boldsymbol{\Omega} \times \left[\boldsymbol{\Omega} \times \sum_{j=1}^3 x_jx'_j \mathbf{u'}_j (t) \right].</math>
Riunendo i termini, ed esprimendo in funzione di '''a''''<sub>B</sub>, si ha che:
{{Equazione|eq=<math>\mathbf{a'}_B=\mathbf{a}_A - 2\boldsymbol{\Omega} \times\mathbf{v'}_\mathrm{B} - \frac{d\boldsymbol{\Omega}}{dt} \times \mathbf{x'}_\mathrm{B} - \boldsymbol{\Omega} \times \left(\boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{x'}_B \right)\ .</math>|id=67}}
L'accelerazione '''a'''<sub>A</sub> è quella che si osserva nel sistema inerziale A ed è dovuta alle forze esterne reali, mentre l'accelerazione '''a''''<sub>B</sub> vista nel sistema ruotante '''B''' ha parecchi termini aggiuntivi oltre a questo
:<math> -2\boldsymbol{\Omega} \times\mathbf{v'}_\mathrm{B}\ </math> è l'accelerazione di Coriolis normale alla direzione di <math> \boldsymbol{\Omega} </math> (velocità angolare del sistema B) e di <math> \mathbf{v'}_\mathrm{B}\ </math> (velocità del punto materiale nel sistema B). La forza di Coriolis quindi è una forza che fa deviare dalla traiettoria rettilinea che non fa lavoro e la cui azione è tanto maggiore quanto maggiore è <math> \mathbf{v'}_\mathrm{B} </math>.
 
:<math> - \frac{d\boldsymbol{\Omega}}{dt} \times \mathbf{x'}_\mathrm{B} \ .</math> è nella stessa direzione del moto e dipende dalla variazione nel tempo della velocità angolare del sistema di riferimento ruotante. Se la velocità angolare è costante, come nel moto dei pianeti intorno al proprio asse, tale termine è nullo.
 
:<math>-\boldsymbol{\Omega} \times \left(\boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{x}_B \right)\ .</math> è la cosidetta accelerazione centrifuga, infatti sviluppando i prodotti vettoriali, si può far vedere come sia sul piano passante per il centro di rotazione ma diretta verso l'esterno.
 
La forza netta sul punto materiale secondo gli osservatori sul sistema ruotante '''F'''<sub>B</sub> = ''m'''''a'''<sub>B</sub>. Se le loro osservazione sono il risultato dell'applicazione della seconda legge della dinamica, debbono considerare che la forza addizionale '''F'''<sub>app</sub> è presente, così che alla fine '''F'''<sub>B</sub> = '''F'''<sub>A</sub> + '''F'''<sub>app</sub>. In poche parole, le forze apparenti dagli osservatori nel sistema B per fornire il comportamento previsto dalle leggi della dinamica è:
 
:<math>-\boldsymbol{\Omega} \times \left(\boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{x'}_B \right)\ .</math> è la cosidettacosiddetta accelerazione centrifuga, infatti sviluppando i prodotti vettoriali, si può far vedere come sia sul piano passante per il centro di rotazione ma diretta verso l'esterno.
 
La forza netta sul punto materiale secondo gli osservatori sul sistema ruotante vale '''F''''<sub>B</sub> = ''m'''''a''''<sub>B</sub>. Se le loro osservazioneosservazioni sono il risultato dell'applicazione della seconda legge della dinamica, debbono considerare che la forza addizionale '''F''''<sub>app</sub> è presente, così che alla fine '''F''''<sub>B</sub> = '''F'''<sub>A</sub> + '''F''''<sub>app</sub>. In poche parole, le forze apparenti dagli osservatori nel sistema '''B''' per fornire il comportamento previsto dalle leggi della dinamica è:
{{Equazione|eq=<math>
\mathbf{F'}_{\mathrm{app}} = - 2 m \boldsymbol\Omega \times \mathbf{v'}_\mathrm{B} - m \boldsymbol\Omega \times (\boldsymbol\Omega \times \mathbf{x'}_\mathrm{B}) - m \frac{d \boldsymbol\Omega}{dt} \times \mathbf{x'}_\mathrm{B}.
</math>|id=78}}
La terra è un sistema di riferimento ruotante con velocità angolare <math> \boldsymbol\Omega =7.292116\cdot 10^{-5}\ rad/s</math> che può essere considerata costante
 
essendo la sua derivata temporale <math>\frac{d \boldsymbol\Omega}{dt}=-6.47\cdot 10^{-22}\ rad/s^2</math>. Sulla terra quindi non vi è nessun effetto misurabile dovuto alla
variazione della velocità angolare, ma invece la forza apparente centrifuga è evidente in quanto apparentemente la forza peso è inferiore
all'equatore rispetto ai poli (l'effetto non è molto vistoso a causa della non perfetta sfericità della terra che è schiacciata ai poli).
La forza di Coriolis è molto evidente quando si hanno oggetti con velocità relativa molto alta rispetto alla terra in direzione perpendicolare
all'asse di rotazione.
 
== Sistema di riferimento orbitante==
In questo esempio, supponiamo che il sistema di coordinate mobile ''B'' ruota su un cerchio di raggio ''R'' attorno all'origine del sistema inerziale fisso ''A'', ma mantiene i suoi assi delle coordinate fissi in orientazione come mostrato nella figura a fianco. L'accelerazione di un punto materiale è quindi:
 
:<math> \frac {d^2 \mathbf{x}_{A}}{dt^2}=\mathbf{a}_{AB}+\mathbf{a'}_{B} + 2\ \sum_{j=1}^3 v_jv'_j \ \frac{d \mathbf{u'}_j}{dt} </math>&ensp;<math>+ \sum_{j=1}^3 x_jx'_j \ \frac{d^2 \mathbf{u'}_j}{dt^2}\ . </math>
::<math>=\mathbf{a}_{AB}\ +\mathbf{a'}_B\ , </math>
Le sommatorie sono nulle in quanto i versori non hanno dipendenza dal tempo
 
:<math>\mathbf{a}_{AB} = \frac{d^2}{dt^2} \mathbf{X}_{AB} </math>&ensp;<math>= \mathbf{ \Omega \ \times } \left( \mathbf{ \Omega \times X}_{AB}\right) </math>&ensp;<math>= - \omega^2 \mathbf{X}_{AB} \ .</math>
Quindi nel sistema di riferimento ''B'' deve essere introdotta una forza apparente, che è diretta radialmente in fuori dal centro di rotazione:
:<math>\mathbf{F'}_{\mathrm{app}} = m \omega^2 \mathbf{X}_{AB} \ , </math>
di ampiezza:
:<math>|\mathbf{F'}_{\mathrm{app}}| = m \omega^2 R \ . </math>
Nel caso del sistema ruotante la forza centrifuga dipendeva dalla distanza delle varie parti dall'origine di '''B''', nel sistema orbitante questa forza apparente dipende dalla distanza del centro di '''B''' dal suo centro di rotazione. Quindi oggetti diversi che si trovano nel sistema orbitante '''B''' sentono la stessa forza centrifuga.
''B'', nel sistema orbitante questa forza apparente dipende dalla distanza del centro di ''B'' dal suo centro di rotazione. Quindi oggetti diversi che si trovano nel sistema orbitante ''B'' sentono la stessa forza centrifuga.
=Bibliografia=
* {{cita libro||P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci|Elementi di Fisica (Meccanica e Termodinamica)|2007|Edises|ISBN 978-88-7959-418-9|ed=2}}
*{{cita libro|{{en}} K. R. Lang|Astrophysical Data: Planets and Stars|1992|Springler-Verlag}}
 
[[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali| Argomento seguente: Dinamica dei sistemi di punti materiali]]
 
[[Categoria:Fisica classica|Moti relativi]]
{{Avanzamento|100%|430 GennaioAgosto 2015}}