Fisica classica/Gravitazione: differenze tra le versioni
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[[File:Cavendish_Experiment.png|thumb|250px|Esperimento di Cavendish]]
La legge di gravitazione universale stabilisce che dati ogni [[w:Punto_materiale|punto materiale]] attrae ogni altro punto materiale con una forza che è dietta lungo la congiungente i due punti. La forza è proporzionale
al prodotto delle due masse e inversamente proporzionale all'inverso della distanza tra di loro.
[[w:Isaac_Newton|Newton]] quando fece questa affermazione dimostrò che che grandi masse e con [[w:Simmetria_(fisica)|simmetria sferica]] si comportano come se le loro masse fossero concentrate nel loro [[w:Teorema_del_guscio_sferico|centro]]. Questa è una legge universale derivata da osservazioni sperimentali su corpi celesti.
Ma il primo test della legge tra masse in laboratorio è dovuto a [[w:Esperimento_di_Cavendish|Cavendish]]
nel 1798 cioè 111 anni dopo la pubblicazione dei ''Principia'' di Newton.
La legge di Newton è stata superata dalla teoria della [[w:Relatività_generale|relatività generale]] di [[w:Albert_Einstein|A. Einstein]], ma continua ad essere una eccellente approssimazione nella maggior parte delle applicazioni. Solo quando è necessaria estrema precisione, o quando si è in presenza di campi gravitazionali particolarmente intensi o per orbite di pianeti molto vicine alle stelle come quella di [[w:Mercurio_(astronomia)|Mercurio]].
== La legge di Gravitazione Universale==
Ogni punto materiale attrae ogni altro punto materiale con una forza lungo la congiungente entrami i punti.
La forza è proporzionale al prodotto delle due masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra di essi.
[[File:NewtonsLawOfUniversalGravitation.svg|200px|Schema sull'attrazione di due masse]]
: <math>
\mathbf{F}_{12} =
- G {m_1 m_2 \over {\vert \mathbf{r}_{12} \vert}^2}
\, \mathbf{\hat{r}}_{12}
</math>
<br/>dove:
* '''F'''<sub>12</sub> è la forza tra le masse;
* ''G'' è la [[w:Costante_di_gravitazione_universale|costante gravitazionale]](6.673×10<sup>−11</sup> N '''·''' (m/kg)<sup>2</sup>);
* ''m''<sub>1</sub> è la prima massa;
* ''m''<sub>2</sub> è la seconda massa;
* |'''r'''<sub>12</sub>| = |'''r'''<sub>2</sub> − '''r'''<sub>1</sub>| è la distanza tra i due punti materiali.
* <math> \mathbf{\hat{r}}_{12} = \frac{\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1}{\vert\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1\vert} </math> è il versore tra i due punti.
== Le leggi di Keplero==
Le [[w:Leggi_di_Keplero|leggi di Keplero]] derivate dalle precise osservazioni di [[w:Tycho_Brahe|Tycho Brahe]] sono le seguenti:
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I pianeti girano intorno al sole formando orbite [[w:Ellisse|ellittiche]] e il sole occupa uno dei due fuochi.Il pianeta girando intorno al sole si troverà in un punto più vicino al sole detto perielio, in un punto più lontano detto afelio.
====Dimostrazione====
[[File:Potenziale efficace Keplero.svg|thumb|302x302px|Grafico del potenziale efficace kepleriano in funzione del raggio. Per valori di eccentricità minori di uno, il potenziale presenta due punti di inversione in corrispondenza dei valori <math>r_\text{min}</math> e <math>r_\text{max}</math>. Pertanto l'orbita nello spazio delle coordinate è limitata alla corona circolare delimitata dalle circonferenze di tali raggi. In particolare, la traiettoria è tangente a ciascuna circonferenza in punti distanti tra loro <math>\pi</math>: si tratta pertanto di ellissi.
Per <math>r = r_*</math>, in corrispondenza del minimo del potenziale, l'eccentricità è nulla, nello spazio delle fasi l'orbita si riduce al punto ellittico e la traiettoria del corpo è circolare.
]]
Innanzitutto il problema bidimensionale del moto in campo centrale può essere facilmente ridotto a un caso unidimensionale utilizzando la definizione del [[w:potenziale efficace|potenziale efficace]].
Le equazioni del moto, infatti, possono essere riscritte considerando la forma
:<math>V_\text{eff} = \frac{L^2}{2r^2} + V(r) = \frac{L^2}{2r^2} - \frac{k}{r}</math>
In un moto in campo centrale, la relazione tra l'angolo <math>\theta</math> e la distanza dall'origine <math>r</math> è data dall'integrale:
:<math>\theta = \int \frac{L/r^2\, \mathrm{d}r}{\sqrt{2(E-V_\text{eff}(r))}} = \int \frac{L/r^2\, \mathrm{d}r}{\sqrt{2(E-V_\text{eff}(r))}} = \arccos \frac{L/r - k/L}{\sqrt{(2E + k^2/L^2)}}</math>
dove la costante integrativa è stata posta uguale a zero. Ciò significa che l'integrale viene calcolato a partire dal [[w:Argomento_del_pericentro|pericentro]] dell'orbita.
Definendo ora le quantità:
:<math>p = L^2/k, \qquad e = \sqrt{1 + 2EL^2/k^2}</math>
e invertendo opportunamente l'espressione di <math>\theta</math> si giunge all'equazione
:<math>r = \frac{p}{1+e\cos\theta} </math>.
Questa altro non è che l'espressione di una qualunque [[w:sezione conica|conica]] in coordinate polari centrata in un fuoco.
Se <math>e<1 , </math> questa rappresenta un'ellisse con [[w:Eccentricità (matematica)|eccentricità]] <math>e</math> e semilato retto <math>p</math>.
In particolare, è possibile ottenere i valori dei semiassi <math>a</math> e <math>b</math>:
<math>a = \frac{p}{1-e^2} = \frac{L^2/k}{1-1-2EL^2/k^2} = -\frac{k}{2|E|}</math>
<math>b= \frac{p}{\sqrt{1-e^2}} = \frac{L^2/k}{\sqrt{1-1-2EL^2/k^2}} = \frac{L}{2|E|} </math>
=== Seconda Legge di Keplero ===
La velocità areolare con cui il raggio vettore spazza l'orbita è costante. La velocità areolare, in questo caso, è la derivata temporale della superficie spazzata dal raggio vettore che congiunge il sole con un pianeta.
====Dimostrazione====
Introducendo un sistema di [[w:coordinate polari|coordinate polari]] <math>(r, \theta) </math>, con i rispettivi [[w:versore|versori]] <math>(\mathbf\hat{r}, \mathbf\hat{\theta}) </math> si ha, banalmente <math>\mathbf{r} = r\mathbf\hat{r} </math>.
Derivando tale quantità rispetto al tempo, si ottiene (applicando la regola della derivazione del prodotto e ricordando che: :<math>\mathbf\dot\hat{r} = \dot{\theta}\mathbf\hat{\theta} </math>, <math>\mathbf\dot\hat{\theta} = - \dot{\theta}\mathbf\hat{r} </math>
:<math>\mathbf\dot{r} = \dot{r}\mathbf\hat{r} + r\dot{\theta}\mathbf\hat{\theta} </math>
Ora, considerando per semplicità la massa unitaria, il [[w:momento angolare|momento angolare]] <math>\mathbf{L} </math> vale (sfruttando le proprietà del [[w:prodotto vettoriale|prodotto vettoriale]])
:<math>\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf\dot{r} = \mathbf{r} \times \dot{r}\mathbf\hat{r} + \mathbf{r} \times r\dot{\theta}\mathbf\hat{\theta} = r\dot{\theta}(\mathbf{r}\times\mathbf\hat\theta) = r^2 \dot\theta (\mathbf\hat{r} \times \mathbf\hat\theta) = r^2 \dot\theta </math>
diretto ortogonalmente al piano in cui si svolge il moto.
Per la legge di conservazione del momento angolare, segue che la quantità <math> r^2 \dot\theta </math> è un integrale del moto.
Considerando la velocità areolare <math>C </math> come derivata temporale dell'area spazzata dal raggio vettore, si ha:
:<math>\mathrm{d}S = \frac{1}{2}r^2\dot\theta\mathrm{d}t </math>
Infatti, considerando un angolo <math>\mathrm{d}\theta = \dot\theta \mathrm{d}t </math>, l'area spazzata nell'intervallo temporale infinitesimo, l'elemento d'area è data dalla metà del quadrato di <math>r </math> per l'angolo al centro.
Eseguendo la derivata, <math>C = \frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{2} r^2 \dot\theta = \frac{1}{2}L </math>.
Pertanto la velocità areolare è un integrale del moto.<ref name=":0">{{Cita libro|autore = Vladimir Igorevič Arnold|titolo = Metodi matematici della meccanica classica|anno = 2010|editore = Editori Riuniti University Press|città = Roma|wkautore = Vladimir Igorevič Arnol'd|pp = 36-44}}</ref>
Si può notare come la validità della seconda legge sia del tutto indipendente dall'espressione del potenziale considerato, essa infatti è una proprietà di tutti i potenziali centrali.
=== Terza Legge di Keplero ===
Il quadrato del periodo di rivoluzione è proporzionale al cubo del semiasse maggiore dell'orbita
:<math>T^2=kr^3 \,\!</math> ====Dimostrazione====
Nelle espressioni di <math>a</math> e <math>b</math> ricavate dalla prima legge di Keplero, si può notare come il semiasse maggiore <math>a</math> sia dipendente solo dall'energia totale del sistema, mentre il semiasse minore sia anche funzione del momento angolare. Poiché il periodo di rotazione, nel moto in campo centrale, è funzione della sola energia, questo fatto permette di inferire per il periodo una relazione solo riguardante il semiasse maggiore dell'ellisse.
In particolare, si avrà (essendo <math>\pi a b</math> l'area dell'ellisse e <math>C</math> la velocità areolare, il cui valore è costante e uguale a <math>L/2</math>).
<math>T(E) = \frac{\pi a b}{C} = \pi \frac{k}{2|E|} \frac{L}{\sqrt{2|E|}}\frac{2}{L} = \pi k \frac{\sqrt2}{2}|E|^{-3/2} </math>
Ora, recuperando l'espressione di <math>a </math> in funzione dell'energia si ha <math>|E| = \frac{k}{2a} </math>, sostituendo tale valore nell'equazione precedente si ottiene
<math>T(E) = \pi k \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{2a}{k}\right)^{3/2} </math>
da cui si deduce che <math>T^2 \propto a^3 </math> come afferma appunto la terza legge di Keplero.
== Campo gravitazionale ==
Il campo gravitazionale è un [[w:Campo_vettoriale|campo vettoriale]] che descrve la forza gravitazionale che sarebbe applicata su un corpo di massa unitaria in ogni dato punto dello spazio. E' pari alla [[w:Accelerazione_di_gravità|accelerazione di gravità]] in quel punto.
E' una generalizzazione della forma vettoriale, che diventa particolarmente utile se più di sue oggetti sono coinvolti (ad esempio per un razzo tra la terra e la luna. Per 2 oggetti (ad esempio oggetto 2 il razzo, oggetto 1 la terra), si scrive semplicemente '''r''' invece di '''r'''<sub>12</sub> ed ''m'' invece of ''m''<sub>2</sub> e definiamo il campo gravitazionale '''g'''('''r''') come:
: <math>\mathbf g(\mathbf r) =
- G {m_1 \over {{\vert \mathbf{r} \vert}^2}}
\, \mathbf{\hat{r}}
</math>
Così che si può scrivere:
: <math>\mathbf{F}( \mathbf r) = m \mathbf g(\mathbf r). </math>
Questa formulazione dipende dagli oggetti che danno origine al campo. Le dimensioni difiche del campo sono quelle di una accelerazione e nel [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|Sistema Internazionale]] si misura in m/s<sup>2</sup>.
Il campo gravitazionale è un [[w:Campo_vettoriale_conservativo|campo conservativo]]; questo significa che il lavoro fatto dalla gravità
da un posizione ad un altra è indipendente dal percorso seguito. Di conseguenza esiste un potenziale gravitazionale ''V''('''r''')
tale che:
:<math> \mathbf{g}(\mathbf{r}) = - \nabla V( \mathbf r).</math>
Se ''m''<sub>1</sub> è una massa puntiforme o la massa di una sfera con densità che dipende solo dalla distanza ''r'' dal centro della sfera (un corpo a simmetria radiale, il campo gravitazionale '''g'''('''r''') all'interno come all'esterno il campo gravitazionale dipende solo dalla distanza ''r''.
In particolare all'esterno della sfera:
: <math> V(r) = -G\frac{m_1}{r}. </math>
Applicando la [[w:Teorema_del_flusso#Campo_gravitazionale|legge di Gauss]] nel caso gravitazionale ad un corpo simmetrico radialmente , il campo gravitazionale si ricava dalla equazione:
:<math> \int_{A}\,\,\mathbf{g(r)}\cdot d\mathbf{A} = -4\pi G M_{int} </math>
Dove <math>A</math> è una superficie chiusa e <math> M_{int}</math> è la massa all'interno della superficie.
Perciò, per una sfera vuota di raggio <math>R</math> e massa totale <math>M</math>
:<math>|\mathbf{g(r)}| = \begin{cases}
0, & \mbox{if } r < R \\
\\
\dfrac{GM}{r^2}, & \mbox{if } r \ge R
\end{cases}
</math>
Per una sfera piena uniforme di raggio <math>R</math> e massa totale <math>M</math>:
:<math>|\mathbf{g(r)}| = \begin{cases}
\dfrac{GM r}{R^3}, & \mbox{if } r < R \\
\\
\dfrac{GM}{r^2}, & \mbox{if } r \ge R
\end{cases}
</math>
== Lavoro della forza gravitazionale ==
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:<math>\vec G= -\vec{\operatorname{grad}}\, V = - \nabla V</math>
come ci si doveva aspettare in presenza di un campo conservativo.
==Note==
<references/>
[[Categoria:Fisica classica|Gravitazione]]
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