Fisica classica/Dinamica del corpo rigido: differenze tra le versioni

Esaminiamo il caso di un moto solo traslatorio. In questo caso tutti i punti del corpo rigido descrivono traiettorie eguali come nella figura a fianco, quindi la velocità di ogni singolo punto del corpo coincide istante per istante con la velocità del centro di massa. Il moto è descritto in maniera analoga a quanto avviene per un punto materiale. Le grandezze fisiche di maggiore interesse sono l'energia cinetica e la quantità di moto totale del sistema. L'unicaLa equazionedinamica chedel descrivecorpo ilè motodeterminata èda solamente la prima equazione cardinale: della dinamica.

IlLa quantità di moto totale del sistema <math>\vec P=m\vec v_{CM}\ </math> e il momento angolare totale rispetto ad un assepolo passanteche perdista il<math>\vec r_{CM}\ </math> dal centro di massa èsono identicamentegrandezze nullocollegate. Infatti si mostra che

Se si considera un asse che dista <math>r_{CM}\ </math> dal centro di massa per il [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Teoremi di König|primo teorema di König]] il momento angolare rispetto a tale asse si riduce:

:<math> \bar L = m \vec r_{CM} \times \barvec v_{CM}P\ </math>

Ma <math> m \barvec v_{CM}\P </math> è la quantità di moto del sistema che dipende dalla sola [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Prima equazione cardinale|prima equazione cardinale]] della meccanica. Quindi la [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale| seconda equazione cardinale]]:

:<math>\vec M=\frac{d\vec L}{dt}=\vec r_{CM} \times \frac {d\vec P}{dt}=vec r_{CM}\times \vec R</math>

non aggiunge alcuna informazione alla conoscenza della dinamica del corpo rigido, se il moto è puramente traslatorio.

Esaminiamo il caso di un moto rotatorio attorno ad un asse fisso. In questo caso tutte le parti del corpo compiono delle orbite circolari attorno all'asse di rotazione e quindi si muovono con velocità istantanea tanto maggiore quanto sono distanti dall'asse di rotazione. Nella figura a fianco muovendosi l'asta con velocità angolare <math>\vec \omega\ </math> (senso antiorario, verso uscente dal piano di rotazione), la velocità dei singoli punti distanti <math>\vec R\ </math> da O, valgono <math>\vec R\omega \times \vec \omega R\ </math>.

Ma anche se il centro di massa non si trova sull'asse di rotazione, come nella figura, il suo moto sarà una orbita circolare esattamente con tutti gli altri elementi, e quindi in media la forza risultante sarà nulla, quindi la prima equazione cardinale non aggiunge nulla alle informazioni della seconda equazione cardinale.

Il momento di inerzia in tutti i corpi rigidi ha la dimensione di una massa per una distanza al quadrato, è una proprietà geometrica del corpo che dipende dall'asse attorno a cui avviene la rotazione, che nel caso della rotazione dei corpi rigidi ha una funzione simile alla massa nel caso di moto traslatorio. Il momento di inerzia è uno scalare, anche se dipende dall'asse attorno a cui viene calcolato.

Notiamo che se <math>\theta<0\ </math> e <math>M/(mRR)=-Ig\sin \theta/(R^2)\ </math> il valore di f è nullo: cioè è possibile un moto di puro rotolamento anche in assenza di attrito, se poi sempre in discesa <math>M/(mR)<-Ig\sin \theta/(R^2)\ </math> la forza di attrito cambia segno rispetto a quanto indicato nella figura. Anche in questo caso si hanno delle condizioni sul momento massimo applicabile in funzione della pendenza.

La giusticazione che viene data è che esiste un attrito dovuto alla deformazione locale del piano di appoggio (il corpo rigido è indeformabile per definizione, ma nella pratica è deformabile anche esso). Il coefficiente di attrito volvente produce un moemntomomento frenante pari a :