Fisica classica/Dinamica: differenze tra le versioni
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m corrette forze cantripete |
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(il problema unidimensionale permette di togliere il simbolo di vettore). La soluzione di tale equazione è:
[[File:Inclinedthrow.gif|thumb|400px|right|Traiettoria di tre diversi lanciati con lo stesso angolo (70°). La curva nera rappresenta un oggetto che si muove senza attrito la traiettoria è una parabola. La curva blu un oggetto che ha un attrito viscoso proporzionale alla velocità. La curva verde un oggetto che ha un attrito viscoso proporzionale al quadrato della velocità.]]
:<math>v(t)=v_o e^{-bt/m}=v_o\ e^{-t/\tau}</math>
Definendo la costante di tempo del moto la grandezza:<math>\tau=m/b\ </math>: è facile mostrare che ha le dimensioni fisiche di un tempo.
:<math>\ell=\int_0^{\infty}v_o\ e^{-t/\tau}dt=-v_o\tau\left[e^y\right]_0^{\infty}=v_o\tau=v_o\frac mb\ </math>
Se invece assieme all'attrito viscoso vi è una forza di trascinamento,
:<math>m\frac {d
:<math>\frac 1{\tau}\frac {dv}{dt}=g\tau - v\ </math>
Separando le variabili:
:<math>\frac {d\vec v}{v-g\tau }=-\frac {dt}{\tau}\ </math>
:<math>\frac {d\vec v}{v-v_{\ell}}=-\frac {dt}{\tau}\ </math>
Detta la grandezza <math>g\tau=v_{\ell}\ </math> avendo le dimensioni di una velocità.
Se la velocità iniziale è nulla, si integra il primo membro tra la velocità 0 e la velocità da determinare al tempo t e il secondo mebro tra 0 e t:
:<math>\int_0^{v(t)}\frac {dv'}{v'-v_{\ell} }=-\int_o^t\frac {dt'}{\tau}\ </math>
:<math>\ln \frac {v(t)-v_{\ell}}{-v_{\ell}}=-\frac t{\tau}\ </math>
:<math>v(t)=v_{\ell}\left(1-e^{-t/\tau}\right)\ </math>
Quando il tempo è molto maggiore della costante di tempo <math>\tau\ </math>, il corpo cade con velocità limite:
<math>v_{\ell}\ </math>. Se vogliamo vedere cosa succede durante la caduta inizialmente la forza peso domina (ll'attrito viscoso è trascurabile), via via che aumenta la velocità aumenta l'attrito viscoso fino a compensare completamente la forza peso, il moto a questo punto diventa rettilineo uniforme in quanto la risultante delle forze diviene nulla. La forza di attrito viscoso è molto importante sulla superficie della terra, in cui vi è l'atmosfera ed è la ragione per cui qualsiasi moto sulla terra pure in presenza di una forza costante diventa un moto rettilineo uniforme.
Se '''Re''' è
:<math>\vec F=-bv^2\hat v\ </math>
La costante b in questo caso ha le dimensioni di una massa divisa una lunghezza
:<math>v_{\ell}=\sqrt {\frac {mg}b}\ </math>
In questo caso l'effetto rallentante della forza d'attrito è maggiore, come si vede dalla traiettoria in verde della figura.
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