Probabilità/Spazi di probabilità: differenze tra le versioni

:Se <math>X</math> è una variabile casuale a valori reali ed a è un numero allora l'evento <math>{X ≤ a }</math> è l'insieme dei risultati corrispondenti a <math>X</math> essendo minore o uguale ad <math>a</math>. Poiché si tratta di insiemi di risultati che hanno probabilità, è sensato fare riferimento a eventi di questo tipo essendo indipendenti da altri eventi di questo tipo.

Perché <math>p</math> e <math>q</math> nel problema delle prove ripetute ( o Problema di Bernoulli) sono moltiplicati insieme nella formula binomiale?

La probabilità di un evento può essere espressa come probabilità binomiale se i suoi risultati possono essere suddivisi in due probabilità <math>p</math> e <math>q</math>, dove <math>p</math> e <math>q</math> sono complementari (cioè <math>p + q = 1</math>). La probabilità binomiale si occupa in genere della probabilità di diverse decisioni successive, ognuna delle quali ha due possibili esiti. La distribuzione binomiale è la distribuzione di probabilità discreta del numero di successi in una sequenza di n esperimenti indipendenti con esito o positivo o negativo, ciascuno dei quali produce un successo con probabilità <math>p</math>. Tale esperimento di successo o insuccesso è anche chiamato esperimento o di prova Bernoulli. Infatti, quando <math>n = 1</math>, la distribuzione binomiale è una distribuzione Bernoulli. Il processo di Bernoulli è un processo stocastico discreto costituito da una sequenza di variabili casuali indipendenti che assumono valori su due simboli (per esempio si/no). Per esempio Un processo di Bernoulli può essere considerato come una sequenza infinita di lanci di una moneta (non truccata). Ogni singolo lancio è detto prova di Bernoulli. Una variabile in una sequenza di questo tipo può essere chiamata una variabile di Bernoulli. In altre parole, un processo di Bernoulli è una sequenza di prove di Bernoulli indipendenti e identicamente distribuite. L'indipendenza di prove di Bernoulli implica come proprietà la mancanza di memoria: studi passati non forniscono tutte le informazioni riguardanti i risultati futuri, in altre parole i risultati ottenuti precedentemente non influiscono con i risultati futuri. Da un dato momento le prove future sono un processo Bernoulli indipendente dal passato (struttura fresh-start). Una sequenza o un altro insieme di variabili casuali è indipendente e identicamente distribuita (i.i.d) se ogni variabile casuale ha la stessa distribuzione di probabilità di tutti gli altri eventi questi sono reciprocamente indipendenti. Due eventi A e B sono indipendenti se e solo se <math>Pr (A ∩\cap B) = Pr (A) Pr (B)</math>. In questo caso <math>A ∩\cap B</math> è l'intersezione di <math>A</math> e <math>B</math>, cioè, è il caso  in cui si verifichino due eventi <math>A</math> e <math>B</math>. Questa è chiamata la regola degli eventi indipendenti.