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Probabilità/Calcolo combinatorio: differenze tra le versioni

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Figure 14
Figure 14 Il numero di oggetti nel primo sottoinsieme corrisponde al numero delle sfere prima del primo marcatore. Analogamente, il numero di oggetti nel sottoinsieme p-esimo è uguale al numero di palline tra il marcatore p-esimo e quello precedente. Infine, il numero di oggetti nell'ultimo sottoinsieme è semplicemente il numero di palline dopo l'ultimo marcatore. Nella figura, l'assegnazione intera è
The number of objects in the first subset corresponds to the number balls before the first
marker. Similarly, the number of objects in the p-th subset is equal to the number of balls
between the p-th marker and the preceding one. Finally, the number of objects in the
Due marker consecutivi implicano che il corrispondente sottoinsieme sia vuoto. C'è una biiezione naturale tra un'assegnazione intera e la rappresentazione grafica raffigurata sopra. Per contare il numero di possibili assegnazioni intere, è sufficiente quindi calcolare il numero di modi per posizionare i marcatori e le palle. In particolare, ci sono n + r - 1 posizioni, n palle, e r - 1 marcatori. Il numero di modi per assegnare i marcatori è uguale al numero di n-combinazioni di n + r - 1 elementi,
last subset is simply the number of balls after the last marker. In the figure, the integer
assignment is
(n1,n2,n3) = (0,2,3).
Figure 15
Esempio - campionamento con sostituzione, senza ordine: Un'urna contiene r palle numerate da uno a r. Una palla viene presa dalla urna e viene registrato il suo numero. La palla viene quindi rimessa nell'urna. Questa procedura viene ripetuta per un totale di n volte. Il risultato di questo esperimento è una tabella che contiene il numero di volte ogni sfera è venuto in vista. Siamo interessati a calcolare il numero di risultati distinti. Ciò equivale a contare i modi in cui un insieme con n elementi può essere suddivisa in sottoinsiemi r. Il numero di possibili risultati è quindi dato da
Two consecutive markers imply that the corresponding subset is empty. There is a natural
bijection between an integer assignment and the graphical representation depicted above.
 
To count the number of possible integer assignments, it then suffices to compute the number
of ways to position the markers and the balls. In particular, there are n + r - 1 positions, n
balls, and r - 1 markers. The number of ways to assign the markers is equal to the number
of n-combinations of n + r - 1 elements,
(n+r−1)!
n!(r−1)! .
36Computing Probabilities
Example - Sampling with Replacement, without Ordering: An urn contains r balls
numbered one through r. A ball is drawn from the urn and its number is recorded. The ball
is then returned to the urn. This procedure is repeated a total of n times. The outcome of
this experiment is a table that contains the number of times each ball has come in sight. We
are interested in computing the number of distinct outcomes. This is equivalent to counting
the ways a set with n elements can be partitioned into r subsets. The number of possible
outcomes is therefore given by
(n+r−1)!
n!(r−1)! .
 
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