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==I principi del calcolo combinatorio==
Before we can delve into the properties of probability and odds, we need to understand the '''Counting Principle'''. We use the Counting Principle to determine how many different ways one can choose/do certain events. It is easier to define the Principle through examples:
Prima di poter approfondire le proprietà delle probabilità e le probabilità stesse, abbiamo bisogno di capire i '''Principi del calcolo combinatorio'''. Noi usiamo questi ultimi per determinare in quanti modi diversi si possono scegliere/fare determinati eventi. È più semplice definire questo principio attraverso alcuni esempi:
===Independent Events===
Let's say that John is at a deli sub restaurant. There are 3 different breads, 3 different cheeses, 3 different condiments, and 3 different vegetables he can place on his sandwich, assuming that he can only place one from each category on to his sandwich. How many different ways can he set up his sandwich?
===Eventi Indipendenti===
Since choosing a cheese doesn't affect the amount of choices of vegetables, condiments, or bread, these events are called '''independent events'''. For this problem, we will multiply 3 by 3 by 3 by 3, so <math>3^4</math>, which is 81. So there are 81 different possible combinations to form this sandwich.
Diciamo che John è al ristorante. Ci sono 3 diversi tipi di pane, 3 diversi formaggi, 3 diversi condimenti e 3 diverse verdure che può mettere nel suo panino. Supponendo che può mettere solo una cosa per ogni categoria, in quanti modi diversi John può creare il suo panino ?
Dal momento che la scelta di un formaggio non influenza la quantità della scelta di verdure, condimenti, o pane, questi eventi sono chiamati '''eventi indipendenti'''. Per questo problema, noi moltiplicheremo 3 per 3 per 3 per 3, quindi <math>3^4</math>, cioè 81. In conclusione ci sono 81 diverse possibili combinazioni per creare un panino.
====Practice Problems====
====Problemi pratici====
1) Thomas goes to a McDonalds' restaurant and chooses to create his own burger. He has 2 different kinds of cheese, 3 different breads, and 3 different sauces he can choose from, but he can only choose one of each category. How many different ways can he create this burger?
1) Thomas va al McDonalds e sceglie di creare il suo panino. Lui ha 2 tipi diversi di formaggio, 3 tipi diversi di pane e 3 diverse salse tra cui può scegliere, ma ne può scegliere soltanto una per ogni categoria. In quanti modi diversi Thomas può creare il suo panino?
2) Diane is ordering pizza for her family. There are 4 different possible sizes of the pizza. Also, she has to choose one of 5 toppings to place on the pizza and one of 3 different types of cheese for the pizza. In addition, she must choose one of 3 different kinds of crust. How many different ways can she have her pizza?
2) Diane sta ordinando la pizza per la sua famiglia. Ci sono 4 diverse possibili dimensioni di pizza. Inoltre, deve scegliere uno dei 5 ingredienti da mettere sulla pizza, uno dei 3 diversi tipi di formaggio e uno dei 3 diversi tipi di crosta. In quanti modi diversi può ottenere la sua pizza?
3)a) How many 3-digit numbers can be formed from the digits 2, 3, 4, 5, 7 and 9?
3)a) Quanti numeri a 3 cifre possono essere formati dalle cifre 2, 3, 4, 5, 7 e 9?
b) How many of these numbers are less than 400?
b) Quanti di questi numeri sono inferiori a 400?
====AnswersRisposte====
1) <math>(2)(3)(3) = 18</math>
2) <math>(4)(5)(3)(3) = 180</math>
3) a) SinceDal theremomento areche sixci availablesono digitssei cifre disponibili, thela answerrisposta isè <math> (6)(6)(6) = 216 </math>
b) ForPer thequanto valueriguarda ofil theproblema dei numeri a 3-digit numbercifre toche bedevono lessessere thaninferiori a 400, weabbiamo onlysolo havedue twoscelte choicesper forla theprima first digitcifra, namelyovvero 2 or o 3. AfterDopo thatdi weche canpossiamo choosescegliere thele otheraltre twodue digitscifre freelyliberamente. TheLa risposta answerè isquindi thus <math> (2)(6)(6) = 72 </math>.
===DependentEventi EventsDipendenti===
Supponiamo che adesso John stia lavorando in una libreria. Deve mettere 5 libri su uno scaffale in ordine sparso. In quanti modi diversi può ordinare i libri? A differenza degli eventi indipendenti, quando John mette un libro, ne elimina uno dalle rimanenti opzioni di libri da mettere poi sullo scaffale; questi sono indicati come '''eventi dipendenti'''.In un primo momento, si hanno 5 scelte diverse, così il primo risultato nel problema di moltiplicazione sarà 5. Ora che ne manca uno, il numero è ridotto a 4.Successivamente, cala a 3, e così via. Quindi, il problema sarà
Assume that John is now working at a library. He must put 5 books on a shelf in any order. How many different ways can he order the books on the shelf? Unlike the independent events, when John puts a book on the shelf, that eliminates one book from the remaining choices of books to put next on the shelf; thus these are referred to as '''dependent events'''. At first, he has 5 different choices, so our first number in the multiplication problem will be 5. Now that one is missing, the number is reduced to 4. Next, it's down to 3, and so on. So, the problem will be
<math>(5)(4)(3)(2)(1)</math>
HoweverTuttavia,vi thereè isun asimbolo symbolper forriassumere thisquanto very ideafatto. AUn ''!'' representsrappresenta theil termtermine ''factorialfattoriale''. SoQuindi,per for exampleesempio, <math>3! = (3)(2)(1)</math>. FactorialsI arefattoriali verysono usefulmolto usati sia in statisticsstatistica andche in probabilityprobabilità.
ThereforePertanto, theil problemproblema canpuò beessere rewrittenriscritto ascome 5!, whichche endsfinisce upper beingessere equalpari toa 120.
Però non tutti gli eventi dipendenti sono così semplici. Immaginiamo ora che ci sono 10 cani a una competizione canina. In quanti modi diversi si può selezionare il campione e il secondo classificato? Questo problema potrebbe effettivamente essere considerato più semplice dell'ultimo, ma non riguarda i fattoriali. Quindi,in quanti diversi modi il giudice può determinare il campione? Visto che ci sono 10 cani diversi, ci saranno 10 diversi modi per determinarlo. Quanti cani rimangono tra cui selezionare il secondo classificato? Siccome ne hai rimosso uno, il numero è sceso a 9. Invece di mettere un fattoriale dovrai solo moltiplicare 10 per 9,che risulta 90.
However, not all dependent event problems are that simple. Let's say that there are 10 dogs at a dog competition. How many different ways can one select the Champion AND the Runner-Up? This problem could actually be considered simpler than the last one, but it doesn't involve a factorial. So, how many different ways can the judge determine the Champion? Of course, there are 10 different dogs, so 10 different ways. Next, how many dogs are left to select the Runner-Up from? Well, you removed one, so it's down to 9. Instead of placing a factorial, though, you will only multiply 10 and 9, resulting in 90.
===IndependentIndipendente Oro DependentDipendente?===
Per aiutarti a distinguere se un evento è dipendente o indipendente, noi faremo alcuni esempi, ma dovremo deciderlo prima di risolvere il problema.
To help you differentiate between the two, we will do a few more examples, but we will have to decide if it is dependent or independent before solving the problem.
Let's say that you are creating a 5-digit garage door opener code (the digits would include 0-9). If there were absolutely no restrictions, would the events be independent of each other or dependent on each other? Of course, there are no restrictions, since you could have five 4's for the code, so to solve the problem, you multiply 10 by itself 5 times, resulting in 100000.
Stai creando un codice a 5 cifre per l'apertura della porta del garage(le cifre includono 0-9). Se non ci fossero assolutamente restrizioni, gli eventi sarebbero indipendenti l'uno dall'altro o dipendenti l'uno dall'altro?Naturalmente, non ci sono restrizioni: dal momento che si potrebbero avere cinque 4 per il codice, per risolvere il problema si moltiplica 10 per se stesso 5 volte, con conseguente 100000.
Alternatively, suppose that the first number of the code cannot be 0, and that there can be no repeated numbers whatsoever. Obviously these events are dependent on each other, because there cannot be any repetitions. Let's look at this problem one number at a time.
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