Probabilità/Calcolo combinatorio: differenze tra le versioni
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Nuova pagina: Spesso, in esperimenti con spazi campionari finiti, i risultati sono equiprobabili. In tali casi, la probabilità di un evento ammonta al numero di risultati comprendenti questo eve... |
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dove <math>\phi = (1 + \sqrt{5}) / 2</math> è il ''rapporto aureo''. Può anche essere ottenuto ricorsivamente attraverso la relazione di ricorrenza di ''Fibonacci''.
Calcolare il numero dei modi in cui certi modelli possono essere formati fa parte del campo del calcolo combinatorio. In questa sezione, introduciamo utili tecniche di conto che possono essere applicate a situazioni pertinenti alla teoria della probabilità.
== Il principio di conteggio ==
'''La Regola Fondamentale di Conteggio''' : Se da una serie di scelte o prove T1, T2, T3, . . . , Tk, potrebbero derivare, rispettivamente, n1, n2, n3, . . . ,nk possibili risultati, l'intera serie di k scelte o prove ha n1 × n2 × n3 × . . . × nk possibili risultati. (I numeri n1, n2, n3, . . . , nk non possono dipendere dal risultato che si verifica realmente).
Dalla Regola Fondamentale di Conteggio, il numero totale delle possibili sequenze di scelte è 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 sequenze. Ogni sequenza è chiamata permutazione di cinque elementi. Una permutazione di elementi è un ordinamento degli elementi. Più generalmente dalla Regola Fondamentale di Conteggio, nell'ordinamento di n cose, ci sono n scelte per la prima, (n-1) scelte per la seconda, etc., quindi il numero totale dei modi di ordinamento di un totale di n cose è n × (n-1) × (n-2) × . . . × 1. Questo prodotto, n×(n-1)×(n-2)× . . . ×1, è anche scritto n!, che si legge "n fattoriale." Per convenzione, 0! = 1
Il principio di conteggio è la regola guida anche per il calcolo del numero di elementi di un prodotto cartesiano.
<math>
S \times T = \{ (x, y) | x \in S \wedge y \in T \} .
</math>
Il numero degli elementi nel prodotto cartesiano S x T è uguale ad mn. Notiamo che il numero totale di risultati non dipendono dall'ordine nel quale gli esperimenti sono realizzati.
[[File:Countingprincipale.png|senza_cornice|centro]]
'''Figura 9'''
'''Esempio''': Consideriamo un esperimento che consiste nel lancio di una moneta e nel lancio di un dado. Ci sono due possibilità per la moneta, testa e croce, mentre il dado ha sei facce. Il numero totale dei risultati per questo esperimento è 2 x 6 = 12. Così è, ci sono dodici risultati per il lancio del dado seguito dal lancio in aria di una moneta: 1H, 1T, 2H, 2T, 3H, 3T, 4H, 4T, 5H, 5T, 6H, 6T.
Il principio di conteggio può essere esteso per calcolare il numero di elementi nel prodotto cartesiano di serie multiple. Consideriamo le serie finite S1,S2, . . . ,Sr e il loro prodotto cartesiano
<math>
S_1 \times S_2 \times \cdots \times S_r
= \left\{ (s_1, s_2, \ldots, s_r) | s_p \in S_p \right\} .
</math>
Se noi indichiamo la cardinalità di <math>S_p</math> by <math>n_p = | S_p |</math>, allora il numero di r-tuple in ordine distinto delle forme <math>(s_1, s_2, \ldots, s_r)</math> è <math>n = n_1 n_2 \cdots n_r</math>.
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