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La matematica è sempre stata insegnata come insieme di definizioni precise ma incomprensibili ("si limite di un valore x0 quel numero tale che, per x tendente a x0... ) o come tecniche da applicare per risolvere degli esercizi scritti (la cubica si risolve con Cardano, la forma 0/0 si semplifica con Ruffini, i sistemi si risolvono per confronto...). In realtà la matematica è un'insieme di tecniche e simboli per analizzare, descrivere e manipolare situazioni ed elementi reali ed astratti. Per sua natura l'essere umano usa, consciamente o inconsciamente, processi logico-matematici per capire, ricordare e rielaborare le esperienze di vita e le proprie idee, e spesso si ritrova ad usare simboli (disegni, frasi, oggetti) per facilitare alla propria mente il compito di ragionare e di ricordare. <br />
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Questo libro vuole insegnare ad usare il pensiero logico-matematico, la geometria e la simbologia matematica per risolvere problemi nell'ambito logico e scientifico, rendendo il lettore pienamente consapevole di ciò che sta scrivendo, pensando o della tecnica che sta utilizzando, rendendolo in grado di capire e usare la matematica per imparare, ragionare e creare.
*Il libro deve comprendere un capitolo relativo all'intelligenza logico-matematica, al QI e a tutte le informazioni necessarie a far capire al lettore come e perché un matematico o uno scienziato ragiona o scrive in un certo modo, a che livello di abilità logico-matematiche si trova e come potenziarle in maniera "personalizzata".
==Leggi di Faraday==
*Il libro deve contenere uno o più capitoli relativi al funzionamento della scrittura matematica: il significato di ogni simbolo e di ogni operazione, le regole grafiche (porto a destra, a sinistra, a numeratore, a denominatore, semplifico...) ecc.
Nei primi anni seguenti la scoperta dell'elettrolisi, lo scienziato [[w:Michael Faraday|Michael Faraday]] eseguì una serie di misurazioni riguardanti la quantità di corrente che passava attraverso gli elettrodi, e gli effetti che questa produceva, scoprendo che:
*In capitoli separati vanno spiegate e dimostrate le proprietà di alcune funzioni: quello che fa ogni libro di matematica, ma in maniera chiara, semplice, completa e dimostrata con esempi, metafore e applicazioni.
*Sarebbe utilissimo nel libro un capitolo che insegna ad ''usare'' una formula matematica senza capirne il vero significato. Ogni formula matematica è infatti una specie di dispositivo con un certo numero di entrate ed una sola uscita. Agli "scienziati amatoriali", cioè a chi si diverte a praticare la scienza o a giocare ai test relativi alla propria materia d'interesse, spesso fa comodo trovare un solo dato in un problema (per esempio, capire la pressione che schiaccia una bolla d'aria in una bottiglia, capire quanto calore genera la combustione di un grammo di polvere pirica ecc.), senza ulteriori rielaborazioni, visto che il problema è già stato analizzato dalla loro mente. Per farlo, basta che inseriscano nella formula un dato per ogni entrata, meno un termine (e non più di uno!) che deve rimanere vuoto, poiché è quello da cui deve "uscire il risultato". I dati vanno raccolti tramite misurazioni o tabelle, ed è una legenda a dirci al posto di quali termini vanno sostituiti i dati che abbiamo raccolto.
'''''La massa di una sostanza prodotta in corrispondenza di un elettrodo durante l'elettrolisi è direttamente proporzionale alla quantità di carica trasferita a quell'elettrodo.'''''
*Ovviamente non possono mancare dei link dove applicare le nozioni apprese ed impararne di nuove: libri che propongono attività di logica, esperimenti scientifici, test dell'intelligenza e di problemi di matematica sono perfetti per farsi le ossa ed applicare le proprie tecniche di logica.
Significa che aumentando la quantità di corrente elettrica aumenta anche la quantità di sostanza che si deposita agli elettrodi.<br />
Analizzò gli effetti dell'elettrolisi su sali diversi e scoprì che sali diversi necessitavano di correnti diverse per depositarsi in un certo tempo:
'''''La medesima quantità di carica elettrica, fatta passare attraverso più soluzioni di elettroliti diversi, produce, o fa consumare, un ugual numero di equivalenti chimici (moli) di questi elettroliti.'''''
Col tempo questi principi vennero analizzati nel loro aspetto quantitativo, riassumendone i dati nella seguente formula generale:
<div style="float:center; width:95%; padding:15px; background: #f5f8ff; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:center">
<math>m = \frac{M\;Q}{z\;F}</math> <br />
<small>''Dove:''</small><br />
<math>m</math> è la quantità di sostanza depositata all'elettrodo.<br />
<math>M</math> è la massa molecolare dello ione.<br />
<math>Q</math> è il totale delle cariche elettriche degli ioni che arrivano all'elettrodo.<br />
<math>z</math> è la valenza degli ioni.<br />
<math>F</math> è la [[w:Costante di Faraday|costante di Faraday]] = 96.485,339 C/mol.
</div>
[[Immagine:Faraday Cochran Pickersgill.jpg|thumb|right|300px|Michael Faraday da giovane.]]
;Risoluzioni dell'equazione
Prendiamo come esempio l'elettrolisi del cloruro di sodio. Inseriamo nell'equazione i dati numerici (con relative unità di misura) al posto delle lettere:
* <math>m</math> = X g
* <math>M</math> = 58,443 u.m.a.
* <math>Q</math> = 6,02214129·10<sup>23</sup> x 1,602 176 53·10<sup>-19</sup> C = 96.485,339 C
* <math>z</math> = ±1
* <math>F</math> = 96.485,339 C/mol.
<math>X\;g = \frac{58,443\;uma\times\;96485,339\;C}{1\times\;96485,339{C\over mol}}</math>
Eseguendo i calcoli e le semplificazioni si giunge a questo punto intermedio:
<math>X\;g = 58,443\;uma\times 1\;mol</math>
Risolvendo quest'ultimo passaggio, che è una semplice conversione stechiometrica da mol a grammi, si ottiene che:
<math>X = 58,443\;g </math>
;Tempo impiegato
Per questo esempio useremo una batteria che fornisce meno di 1 F di energia (96.485,339 C = 96.485,339 A·s) alla soluzione, e sostituiamo a C (coulomb) le unità del SI da cui deriva: A·s (ampere × secondo).
* <math>m</math> = 58,443 g
* <math>M</math> = 58,443 u.m.a.
* <math>Q</math> = 6,02214129·10<sup>23</sup> x 1,602 176 53·10<sup>-19</sup> C = 96.485,339 A·s
* <math>z</math> = ±1
* <math>F</math> = 6 A·s/mol.
<math>58,443\;g = \frac{58,443\;uma\times\;96485,339\;A\!\cdot\!s}{1\times\;6\;{A\;\cdot\;s\over mol}}</math>
Non c'è bisogno di eseguire tutti i calcoli, basterà fare una proporzione tra il tempo che intercorre utilizzando 96485,334 A·s/mol e 6 A·s, riformulandola in questo modo:<br />
''"Se 96485,339 A sprigionano 1 mol in 1 s, 6 A sprigionano 1 mol in quanti secondi?"''
<math>96485,339\;A\!\cdot\!s\;:\;1\;mol = 6\;A\!\cdot\!s\;:\;X\;mol</math>
Qui risulta che in 1 s somministrando 6 A vengono rilasciate solo 0,0006219 mol.
Facendo il rapporto 1: 6,219·10<sup>-5</sup> = 16080,89 volte più lento.
16080,89 s = 268,014 min.
;Valenza ionica maggiore.
Mantenendo costanti i dati originali, aumentiamo invece lo stato di ossidazione degli ioni:
* <math>m</math> = X g
* <math>M</math> = 58,443 u.m.a.
* <math>Q</math> = 6,02214129·10<sup>23</sup> x 1,602 176 53·10<sup>-19</sup> C = 96.485,339 C
* <math>z</math> = ±1, ±2, ±3, ...
* <math>F</math> = 96.485,339 C/mol.
Eseguendo l'equazione si noterà che il tempo raddoppia o triplica al raddoppiare, triplicare ecc. dello stato di ossidazione dello ione, mentre la quantità in grammi (tenendo invece il tempo costante) diminuirà.
Il principio appena spiegato si applica anche per composti che in soluzione rilasciano ioni con valenze diverse:
:<math>
Na_2SO_4 \quad
\begin{matrix} {\longleftarrow} \\ {\longrightarrow} \end{matrix}
\quad 2\;Na^+ + SO_4^{-2}
</math>
Al catodo si raddoppierà la quantità di portatori di carica, mentre all'anodo raddoppierà la valenza degli ioni. Inserendo i dati nella tabella, verrà fuori:
<math>X\;g = \frac{142,04\;uma\times\;192970,678\;C}{1\times\;96485,339{C\over mol}}</math>
Se si desidera calcolare la reazione catodica (raddoppiando quindi il numero di ioni che arrivano al catodo e quindi la quantità di corrente da loro trasportata) oppure:
<math>X\;g = \frac{142,04\;uma\times\;96485,339\;C}{2\times\;96485,339{C\over mol}}</math>
Se si desidera calcolare la reazione anodica, ovvero lo scambio di energia che avviene al catodo (che dev'essere doppia, dato che è doppio il numero di elettroni richiesti dallo ione per diventare specie chimica neutra).
==Leggi di Ohm==
[[Immagine:Ohm3.gif|thumb|right|200px|[[w:Georg Ohm|Georg Simon Ohm]].]]
Nel 1800 il chimico Antony Carlise si accorse che immergendo gli elettrodi di una pila di Volta nell'acqua si generavano due gas. Il fisico e chimico tedesco [[w:Johann Wilhem Ritter|Johann Wilhem Ritter]] volle riprodurre l'esperimento, facendo le prime esperienze sull'elettrochimica. Fece numerose altre ricerche sull'elettricità e mise a punto la prima [[w:Cella elettrolitica|cella elettrolitica]] della storia.<br />
Durante le sue esperienze si accorse che la quantità di materia depositata agli elettrodi aumentava al diminuire della distanza fra i due elettrodi, ma non riuscì mai a spiegare perché.
Ogni materiale conduttore, eccezion fatta per i cosidetti [[w:Superconduttività|superconduttori]] offre una certa resistenza al passaggio della corrente, che varia da materiale a materiale.<br />
Questa resistenza è data da leggere impurezze e dalla disposizione degli atomi che compongono il metallo, ma anche le dimensioni del cavo che l'elettricità percorre influiscono su quanta ne passa alla volta.
La formula per calcolare la quantità di corrente che passa in un cavo in un'unità di tempo e ad un determinato voltaggio è definita dalle due [[w:Legge di Ohm|leggi di Ohm]], riassunte in questa formula:
<div style="float:center; width:95%; padding:15px; background: #f5f8ff; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:center">
<math> R = \Omega \frac{l}{S}</math>
<small>''Dove:''</small><br />
<math>R</math> è la resistenza elettrica totale.<br />
<math>\Omega</math> è la resistività del metallo di cui è fatto l'elettrodo.<br />
<math>l</math> è la lunghezza del cavo.<br />
<math>S</math> è la sezione del cavo.
</div>
La resistività è la quantità di energia che il metallo trattiene. Questa è misurata in Ohm e simboleggiata con la [[w:Alfabeto greco|lettera greca]] Ω ([[w:Omega (lettera)|omega]]), in onore del fisico Georg Ohm che attorno alla metà del XIX secolo compì molti esperimenti, che contribuirono allo sviluppo dell'elettrotecnica.
La resistività è calcolata in volt/ampere:
<math> \Omega = \frac{V}{A}</math>
Che significa "quanti volt servono per attirare attraverso un conduttore (di misura standard) una carica elettrica di 1A".
;Esempio:
Per un'elettrolisi viene utilizzato come anodo un filo di stagno (resistività 9,17·10<sup>-4</sup> Ω/cm) lungo 5 cm, da 2 mm di diametro e viene collegato ad una batteria da 12 V.<br />
Adesso possiamo calcolare la quantità di corrente che arriverà in soluzione, inserendo i dati nella formula generale:
<math> R = 9,17\cdot\;10^4\;Omega/cm \frac{5\;cm}{0,2\;cm}</math>
Per calcolare senza tabelle la resistività del materiale basta collegare l'elettrodo ad un amperometro, e sostituire il valore segnato ad A nella formula della prima legge di Ohm, in questo modo:
<math> \Omega = \frac{6\;V}{0,3\;A}</math>
In questo caso l'amperometro segna 0,3 ampere su 6 volt, che significa 19,6 Ω.
Disponendo di tutte i dati necessari si potrà iniziare a trovare le incognite risolvendo l'equazione, sostituendo le cifre (con le rispettive unità di misura) alle lettere dell'equazione:
<math> R = 19,6 \Omega \frac{5\;cm}{0,2\;cm}</math>
La la resistività dell'elettrodo di stagno risulta <math>R</math> risulta 490 V/A.
;L' induttanza
La [[w:Induttanza|induttanza]] è il contrario della resistività, è cioè la quantità di corrente che il filamento lascia passare, l'inverso degli ohm: si indica in mho, con segno <math>\mho</math>.
<math>1 \mho = \frac{1}{\Omega}</math>
E l' ohm essendo in V/A, il mho sarà A/V (Detto esplicitamente: "quanti ampere passano con 1 volt"):
<math>3 V/A = \frac{1\;A}{3\;V}</math>
Nel caso precedente, l'induttanza dell'elettrodo è uguale a <math>\frac{1}{490}</math>, cioè si rilascia 1 A aumentando il voltaggio a 490 V. Dato che la batteria ha una carica di 6 V, rilascerà solamente 0,012 A.
;Formule invrse
''O_O Forse dovrei ricontrollare i calcoli...''
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