Fisica classica/Dinamica del corpo rigido: differenze tra le versioni
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:<math>\rho(\vec r)=\frac {dm}{dV}\ </math>
Cioè la densità è il rapporto tra la massa infinitesima (dm) ed il volume (dV) da essa occupata. La densità è una grandezza che dipende dalla posizione e viene definita non solo per i corpi rigidi. La massa totale m di un corpo rigido di volume V vale:
Se la densità non varia all'interno del corpo, cioè <math>\rho(\vec r)=costante \ </math>, il corpo si dice omogeneo.
In questo caso:
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Nel [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|sistema internazionale]] la densità si misura in kg/m<sup>3</sup>, anche se è più comune l'uso nel linguaggio comune dell'unità di misura del [[w:sistema CGS|sistema cgs]], cioè il g/cm³. La definizione di densità vale sia per i solidi come i fluidi.
La densità dell'acqua è alla temperatura di 4 <sup>o</sup>C circa 1 g/cm<sup>3</sup> o 1000 kg/m<sup>3</sup>, tra gli elementi l'[[w:Osmio|Osmio]] (un metallo nobile simile al
Platino) ha la massima densità 22.66 g/cm<sup>3</sup>.
Nei corpi unidimesionali (corde, tubi) si introduce il concetto di [[w:Densità_lineare|densità lineare]] definita come:
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:<math>\vec r_{CM} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i \vec r_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i}= \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i \vec r_i}m</math>
sostituendo alla sommatoria l'integrale:
{{Equazione|eq=<math>\vec r_{CM}=\frac {\int_V\vec r\rho(\vec r)dV}m\!</math>|id=
Nei corpi omogenei e dotati di simmetria attorno ad un punto, il centro di massa coincide con il punto stesso, analogamente se vi è un asse (piano) di simmetria il centro di massa è sull'asse (piano) stesso. Il centro di massa coincide con il centro della forza peso, che detto baricentro per i corpi. Il baricentro dipende dalla forza peso e quindi è definito per i corpi si trovano sulla superficie della terra.
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== Momento di Inerzia==
Il momento di inerzia in tutti i corpi ha la dimensione di una massa per una distanza al quadrato, è una proprietà geometrica del corpo che dipende dall'asse attorno a cui avviene la rotazione, che assume nel caso della rotazione dei corpi rigidi ha una funzione simile alla massa nel caso di moto traslatorio.▼
Dato un generico corpo rigido che ruota intorno ad un asse la relazione tra la velocità e la velocità angolare <math>v=\omega r\!</math> rimane valida, anche se <math>r\!</math> è non una costante, come nel caso del guscio cilindrico, ma dispende dalla distanza del generico elemento del corpo dall'asse di rotazione.
Definiamo momento di inerzia la grandezza scalare:
dove r è la distanza dall'asse delle masse infinitesime dm di cui si compone il compone il corpo di volume V.
Il momento di inerzia gode della proprietà di additività.
▲Il momento di inerzia in tutti i corpi ha la dimensione di una massa per una distanza al quadrato, è una proprietà geometrica del corpo che dipende dall'asse attorno a cui avviene la rotazione, che assume nel caso della rotazione dei corpi rigidi ha una funzione simile alla massa nel caso di moto traslatorio.
== Momento angolare nel caso generale==
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:<math>\vec L = \int \vec r \times \vec v dm\!</math>
Senza perdere generalità si assume che l'asse attorno a cui avviene la rotazione sia parallelo all'asse delle ''z'' del sistema cartesiano di riferimento.
Il momento può essere
<math> (\vec r \times \vec v)_z dm=
e quindi, la componente del momento angolare l'asse di rotazione vale:
ed una parte ortogonale la cui direzione cambia durante il moto.
Se l'asse attorno a cui avviene la rotazione rappresenta un asse di simmetria, cioè le masse sono disposte in maniera simmetrica attorno a tale asse. La componente ortogonale del momento angolare è nulla. L'operazione di [[w:Equilibratura| equilibratura]], che viene fatta sulle ruote delle automobili, consiste proprio nel rendere simmetrico l'asse attorno a cui avviene la rotazione, impedendo che sull'asse di rotazione ([[w:Mozzo_(meccanica)|mozzo]]) agiscano momenti usuranti.
Se la componente normale all'asse di rotazione non è nulla il moto si chiama di [[w:Precessione|precessione]] che è il tipico moto di una [[w:Trottola|trottola]].
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==Moto rotatorio con asse fisso di simmetria==
Ritornando al caso particolare di <math>\vec L \ </math> parallelo a <math>\vec \omega \ </math>, cioè quando l'asse attorno a cui avviene la rotazione è un asse di simmetria del corpo. Se <math>\vec L \ </math> è variabile la [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale]] della dinamica diventa:
Dove <math>\vec \alpha \ </math> è la derivata della velocità angolare anche essa parallela all'asse di rotazione. Vi è quindi una notevole analogia in questo caso tra la II equazione della dinamica (<math>\vec F=m \vec a</math>), con la differenza che la massa inerziale rappresenta la resistenza alla variazione della traslazione di un corpo, mentre il momento di inerzia è la resistenza al moto traslatorio. Ma bisogna aggiungere che seppure il momento di inerzia è una proprietà geometria essa dipende dall'asse di rotazione.
===Legge oraria===
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:<math>\alpha =\alpha_o</math>
:<math>\omega =\omega_o+\alpha_o t</math>
Se <math>\vec M\ </math> è variabile, anche il moto circolare è variabile e la soluzione è diversa da questa-
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ha una densità superficiale di:
:<math>\sigma=\frac m{4\pi r^2} \!</math>
A causa della simmetria sferica ogni asse passante per il centro è
Possiamo ridurre il singolo elemento infinitesimo ad un anello di raggio <math> R \!</math>, che dipende dall'angolo <math> \theta \!</math> tra <math> r \!</math> e <math> z \!</math>:
:<math>R=r\sin \theta \qquad con\ 0 \le \theta \le \pi \!</math>
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== Teorema di Huygens-Steiner ==
[[File:Steiner.png|thumb|right|Il momento di inerzia di un corpo attorno ad un asse calcolato a partire da quello di un asse passante per il centro di massa e ad esso parallelo.]]
Quando l'asse di rotazione non passa dal centro di massa del corpo il calcolo del momento d'inerzia potrebbe essere complicato in quanto vengono meno le condizioni di simmetria. Ci viene in aiuto il teorema di Huygens-Steiner che ci dice che il momento d'inerzia di un corpo rispetto ad un asse parallelo che si trova ad una distanza <math>d\ </math> dal centro di massa è dato da:
:<math>I = I_c + m d^2 \,\!</math>
Dove <math>I_c\!</math> è il momento di inerzia di un asse parallelo al primo ma passante per il centro di massa.
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Sviluppando i vari termini:
:<math>I = \int (x^2 + y^2) \, dm + d^2 \int dm - 2d\int x\, dm.</math>
Il primo termine è <math>I_c\ </math>, il secondo termine è <math>md^2\ </math> e l'ultimo termine è nullo in quanto l'origine coincide con il centro di massa (l'integrale è pari alla posizione del centro di massa per la massa totale).
Quindi, l'equazione diventa come si voleva dimostrare:
:<math> I = I_c + md^2\ </math>
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