Fisica classica/Dinamica del corpo rigido: differenze tra le versioni

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[[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali| Argomento precedente: Dinamica dei sistemi di punti materiali]]
{{capitolo
|Libro=Fisica classica
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== Moto rotatorio==
[[File:Rotation_barre_triangle_vitesses.svg|right|250px|thumb|Movimento puramente rotatorio di un asta attorno al punto O ]]
In questo caso il corpo rigido ruota attorno ad un asse. Tutti gli eleentielementi dedel corpo rigido descrivono delle orbite circolari, e quindi si muovono con velocità istantanea tanto maggiore quanto sono distanti dall'asse di rotazione. Nella figura a fianco muovendosi l'asta con velocità angolare <math>\omega\ </math>, la velocità dei singoli punti distanti <math>R\ </math> da O, valgono <math>\vec R\times \vec \omega \ </math>.
Se l'asse di rotazione non cambia nel corso del moto e la velocità angolare è costante il moto dei singolo punti è circolare uniforme. Se la velocità angolare varia nel tempo vi debbono essere momenti delle forze esterne che causano tale moto rotatorio vario e la [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale| seconda equazione cardinale]] è l'unica necessaria a descrivere il moto:
:<math>\frac{d\vec L}{dt}=\vec M</math>
Se il centro di massa si trova sull'asse di rotazione essendo nulla la accelerazione del centro di massa:
In questo caso infatti la [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Prima equazione cardinale|prima equazione cardinale]] è identicamente nulla:
:<math>\vec a_{CM}=0\ </math>
la [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali|#Prima Argomentoequazione precedente:cardinale|prima Dinamicaequazione deicardinale]] sistemiè diidenticamente punti materiali]]nulla.
Ma anche se il centro di massa non si trova sull'asse di rotazione, il suo moto sarà una orbita circolare esattamente con tutti gli altri elementi, e quindi in media la forza risultante sarà nulla, quindi la prima equazione cardinale non aggiunge nulla alle informazioni della seconda equazione cardinale.
 
== Moto rototraslatorio==
[[File:RollendWiel.png|right|250px|thumb|Esempio di moto rototraslatorio una sfera su una superficie con A il punto di contatto. Il punto A ha una velocità molto inferiore alle altre e non è rappresentata.]]
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:<math>\vec v_D-\vec v_C=\vec \omega \times (\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})\ </math>
:<math>\vec v_D=\vec v_C+\vec \omega \times \overrightarrow{CD}\ </math>
QuindiIn questa maniera si è esaminato la velocità di D non più rispetto ad A, ma rispetto a C che è il nuovo polo. In questa operazione matematica appare evidente che mentre considerando la velocità istantanea del punto D dipende dal polo scelto per la rotazione, è infatti diversa da quella rispetto al punto A. MentreVedremo in seguito che nel moto di puro rotolamente la scelta del polo può essere fatta scegliendo un punto la cui velocità istantanea sia nulla e quindi può semplificarsi molto la trattazione. Notiamo come il valore della velocità angolare istantanea ènon dipende dalla scelta unicafatta.
 
= [[w:Centro_di_massa|Centro di massa]] di un corpo rigido =
Un corpo rigido si rapprentarappresenta in maniera più semplice, non come un insieme di punti materiali come appare nella sua natura microscopica (essendo costituito da un insieme di [[w:atomo|atomi]]), ma come un mezzo continuo caratterizzato dalla sua [[w:Densità|densità]]:
:<math>\rho(\vec r)=\frac {dm}{dV}\ </math>
Cioè la densità è il rapporto tra la massa infinitesima (dm) ed il volume (dV) da essa occupata. La densità è una grandezza che dipende dalla posizione e viene definita non solo per i corpi rigidi. La massa totale m di un corpo rigido di volume V vale:
:<math>m=\int_V\rho(\vec r) dV\ </math>
Se la densità non varia all'interno del corpo, cioè <math>\rho(\vec r)=costante \ </math>, il corpo si dice omogeneo.
In questo caso:
:<math>m=\rho V\ </math>
Nel [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|sistema internazionale]] la densità si misura in kg/m<sup>3</sup>, anche se è più comune utilizzarel'uso nel linguaggio comune dell'unità di misura del [[w:sistema CGS|sistema cgs]], cioè il g/cm³. La definizione di densità vale sia per i solidi come i fluidi.
La densità dell'acqua è alla temperatura di 4 <sup>o</sup>C circa 1 g/cm<sup>3</sup> o 1000 kg/m<sup>3</sup>, tra gli elementi l'[[w:Osmio|Osmio]] (un metallo nobile simile al
l'unità di misura del [[w:sistema CGS|sistema cgs]], cioè il g/cm³.
Platino ha la massima densità 22.66 g/cm<sup>3</sup>.
 
Nei corpi unidimesionali (corde, tubi) si introduce il concetto di [[w:Densità_lineare|densità lineare]] definita come:
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sostituendo alla sommatoria l'integrale:
{{Equazione|eq=<math>\vec r_{CM}=\frac {\int_V\vec r\rho(\vec r)dV}m\!</math>|id=4}}
Nei corpi omogenei e dotati di simmetria attorno ad un punto, il centro di massa coincide con il punto stesso, analogamente se vi è un asse (piano) di simmetria il centro di massa è sull'asse (piano) stesso. Il centro di massa coincedecoincide con il centro della forza peso, che detto baricentro per i corpi. cheIl baricentro dipende dalla forza peso e quindi è definito per i corpi si trovano sulla superficie della terra.
 
= Moto rotatorio in particolare=
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La sua espressione nel caso continuo è:
:<math>\vec L = \int \vec r \times \vec v dm\!</math>
Per studiare dellala dinamica, anche nel caso di semplice rotazione, bisogna introdurre una nuova grandezza fisica: il momento di inerzia. Un caso semplice elementare serve da introduzione al problema.
===Esempio di un guscio cilindrico===
[[File:Moment_of_inertia_thin_cylinder.png|200px|right|thumb| Un cilindro sottile.]]
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:<math>\vec L = mR^2\vec\omega \!</math>
Cioè è proporzionale ad <math>\vec \omega \!</math> mediante una proprietà carateristica del guscio stesso relativa all'asse di rotazione scelto, detto il momento di Inerzia <math>I = mR^2\!</math> . Un anello sottile viene trattato nella stessa maniera.
 
Il momento di inerzia in tutti i corpi ha la dimensione di una massa per una distanza al quadrato, è una proprietà geometrica del corpo che dipende dall'asse attorno a cui avviene la rotazione.
 
== Momento di Inerzia==
Dato un generico corpo rigido che ruota intorno ad un asse la relazione tra la velocità e la velocità angolare <math>v=\omega r\!</math> rimane valida, anche se <math>r\!</math> è non più una costante, ma dispende dalla distanza del generico elemento del corpo dall'asse di rotazione.
 
Il momento di inerzia in tutti i corpi ha la dimensione di una massa per una distanza al quadrato, è una proprietà geometrica del corpo che dipende dall'asse attorno a cui avviene la rotazione, che assume nel caso della rotazione dei corpi rigidi ha una funzione simile alla massa nel caso di moto traslatorio.
Possiamo quindi definire una grandezza scalare chiamata momento di inerzia come:
 
Dato un generico corpo rigido che ruota intorno ad un asse la relazione tra la velocità e la velocità angolare <math>v=\omega r\!</math> rimane valida, anche se <math>r\!</math> è non più una costante, come nel caso del guscio cilindrico, ma dispende dalla distanza del generico elemento del corpo dall'asse di rotazione.
 
Definiamo momento di inerzia la grandezza scalare:
:<math>I=\int_Vr^2 dm\!</math>
dove r è la distanza dall'asse delle masse infinitesime dm di cui si compone il compone il corpo di volume V.