Fisica classica/Energia e lavoro: differenze tra le versioni
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[[File:PotentialEnergy_Gravitational2.png|thumb|350px|Forza peso e sua energia potenziale]]
Nel caso specifico della [[Fisica_classica/Dinamica#Forza peso|forza peso]] in cui <math>F=-mg</math> e quindi il lavoro fatto è:
Notiamo come il lavoro non dipenda dalla traiettoria, ma solo dalla differenza di quota: positivo se si diminuisce la quota e negativo nel caso opposto.
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:<math>W= -mg(h_f-h_o)=\frac 12mv_f^2-\frac 12mv_o^2</math>
:<math>mgh_o+\frac 12mv_o^2=mgh_f+\frac 12mv_f^2</math>
Se definiamo <math>E_p=
Che esprime la conservazione dell'energia meccanica se agiscono solo forze gravitazionali, in quanto la somma dell'energia cinetica e di quella potenziale gravitazionale sono costanti nel tempo.
Ritornando alla equazione esplicita si ha che:
:<math>v_f=\sqrt{2g(h_o-h_f)+v_o^2}</math>
Tale equazione viene scritta senza interessarsi della cinematica dell'oggetto, nell'ipotesi che la sola forza agente che compie lavoro meccanico sia la forza di gravità. Nel seguito invece dell'altezza h spesso la quota da terra verrà indicata con z.
== Lavoro di una forza elastica==
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Quindi:
:<math>\frac 12kx_o^2+\frac 12mv_o^2=\frac 12kx_f^2+\frac 12mv_f^2</math>
{{Equazione|eq=<math>E_p=\frac 12kx^2</math>|id=9}}
:<math>E_{po}+\frac 12mv_o^2=E_{pf}+\frac 12mv_f^2</math>
Anche in questo caso la energia meccanica si conserva.
Se consideriamo [[Fisica_classica/Cinematica#Moto_armonico_semplice|moto armonico]], quando l'elongazione è massima l'energia potenziale è massima mentre quando il sistema passa per la posizione di equilbrio == Lavoro della forza di attrito dinamico==
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L'energia potenziale è definita a meno di una costante additiva, che viene scelta per convenienza ad esempio nel caso della forza peso si è assunto che l'energia potenziale sia nulla a livello del mare e quindi l'espressione della energia potenziale è:
:<math>-W=\int_0^zmgdz'=E_p(z)</math>
Cioè l'energia potenziale è eguale al lavoro combiato di segno per andare da quota 0 a quota
z. Ricordando che la forza peso è diretta verso il basso.
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Analogamente per la forza elastica assunto come costante additiva quella che annulla la energia potenziale nella posizione di riposo:
:<math>-W=\int_0^xkxdx=E_p(x)</math>
In forma differenziale:
:<math>dE_p=-dW=-\vec F\cdot d\vec s</math>
La forma differenziale è indipendente dal punto di riferimento essendo una differenza di energia potenziale.
Tutte le forze che dipendono
Se agiscono solo forze conservative l'energia meccanica totale determinata dalla energia cinetica e quella potenziale si conserva, cioè:
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:<math>F_x=-\frac{\partial E_p}{\partial x}\quad ,F_y=-\frac{\partial E_p}{\partial y},\quad F_z=-\frac{\partial E_p}{\partial z}</math>
Un modo più compatto fa uso di un [[w:Operatore_(fisica)|operatore]] cioè una operazione matematica chiamata '''gradiente''' ed indicato con <math>\vec \nabla=\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}</math>.
Questo operatore applicato ad uno scalare genera un vettore e quindi, in questo caso particolare, dal gradiente della funzione energia potenziale si ottengono le componenti cartesiane della forza in questione.
= Momenti =
Introduciamo ora il concetto di momento di un vettore.
Definiamo come '''momento del vettore''' <math>\vec v</math> applicato in un punto '''P ''' ad una certa distanza da un punto '''O'''
(detto il polo) il vettore:
definendo <math>\vec r=\vec {OP}</math>. Il modulo è dato da :
:<math>M=rv \sin \theta = v d \,\!</math>
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dove <math>\theta \,\!</math> è l'angolo formato dalla direzione del vettore <math>\vec v</math> con la direzione di <math>\vec r</math> e quindi '''d''' non è altro che la distanza tra il punto '''O''' e la retta (direttrice) su cui giace il vettore <math>\vec v</math> e viene chiamato '''braccio'''.
Facciamo notare come il modulo, essendo dipendente da '''d''' e non da '''r''', non dipende dal punto in cui viene applicato il vettore <math>\vec v</math> lungo la sua direttrice. Per quanto riguarda la direzione il momento è mutuamente perpendicolare alla direzione di dei due vettori, quindi è sulla normale al piano formato dai due vettori. Notiamo che da un punto di vista formale sia uno [[w:Pseudovettore|pseudovettore]],
I momenti hanno una importanza fondamentale nella dinamica dei sistemi, ma si possono definire anche nella dinamica del punto materiale per quanto riguarda sia il '''momento angolare''' ed il '''momento di una forza'''. Ma in realtà nel caso di un solo punto materiale non aggiungono niente alla dinamica del punto, descritta dalle leggi della dinamica.
== Momento angolare ==
[[File:Torque animation.gif|frame|right|Relazione tra forza (F), momento della forza (τ), quantità di moto (p), e momento angolare (L) in un sistema ruotante]]
Il momento angolare <math>\vec L</math> è definito
Il [[w:modulo_(algebra)|modulo]] di <math>\vec L</math> è quindi definito da:
:<math>{L} = {{r} {mv}}\sin{\theta}=mvd\, </math>
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Se <math>\vec v</math> e <math>\vec r</math> sono tra loro perpendicolari il momento angolare è massimo, e questo avviene quando <math>\sin \theta = 1</math>. Il momento angolare è invece nullo, se la quantità di moto o il braccio sono nulli, oppure se <math>\vec v</math> è parallelo ad <math>\vec r</math>, in tal caso infatti <math>\sin \theta = 0</math>.
Ricordando come la velocità istantanea abbia una componente radiale <math>\vec v_r</math> ed una angolare <math>\vec v_\theta</math> in [[Fisica_classica/Cinematica#Velocit.C3.A0_in_coordinate_polari|coordinate polari]] (scegliendo come centro delle coordiante polari
il polo O):
Quindi essendo:
:<math>\vec L=\vec r \times m \vec v</math>
Sostituendo a <math>\vec v=v_r\hat u_r+v_{\theta}\hat u_{\theta}</math> si ha che:
:<math>\vec L=\vec r \times m(v_r\hat u_r+v_{\theta}\hat u_{\theta})=mrv_\theta\hat u_r \times \hat u_{\theta}</math>
Essendo in coordinate polari <math>v_{\theta}=r\frac {d\theta}{dt}</math>, in modulo:
Si definisce '''momento angolare assiale''' il momento angolare proiettato su un asse passante per il polo.
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Inoltre è importante notare il caso in cui la forza sia applicata lungo la stessa direttice di <math>\vec r</math> allora <math>\vec {\tau}=0</math> e di conseguenza
:<math>\frac{d \vec L}{dt}=0</math>
e quindi se la forza è diretta lungo la congiungente il polo ed il punto di applicazione, essendo il momento della forza nullo, dovendo
di conseguenza essere nulla la derivata del momento angolare di conseguenza si ha che:
:<math>\vec L = costante</math>.
Cioè il momento angolare è una costante del moto.
Le dimensione fisica del momento di una forza sono [M][L]<sup>2</sup>[T]<sup>-2</sup> e quindi nel [[w:Sistema internazionale di unità di misura|SI]] si misura in kg·m<sup>2</sup>/s<sup>2</sup>. La dimensione coincide con quella dell'energia, ma qui è evidente la differenza. Inoltre il momento di una forza è una grandezza vettoriale, mentre l'energia è uno scalare.
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[[File:ArealVelocity.svg|thumb|left|300px|alt=|L'area percorsa in giallo è eguale al triangolo formato dai lati <math>r(t)</math> e <math>r(t+dt)=rd\theta </math> .]]
==Forze centrali==
Una forza è detta centrale
:<math>
\vec F = F(r)\hat{\mathbf{r}}
</math>
Una forza centrale
[[File:Keplero_legge_delle_aree.svg|thumb|left|300px|alt=|Esempio dell'applicazione della legge sulla costanza della velocità areolare al moto dei pianeti attorno al sole]]
Essendo <math>\vec r</math> e <math>\vec F</math> paralleli:
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