Differenze tra le versioni di "Fisica classica/Dinamica"

da ultimare
(da ultimare)
[[Fisica_classica/Cinematica| Argomento precedente: Cinematica]]
 
La dinamica cerca di dare una spiegazione delle cause che determinano il moto di un corpopunto analizzatomateriale, precedentementedescritto con le leggi delladalla cinematica. L'osservazione più elementare apparente è che se non agisce nessuna azione esterna il punto materiale rimane immobile.
Tutta la dinamica del punto materiale vienesi caratterizzatarduce daa tre leggi, che sono state ricavate sperimentalmente a partire dal 1600.
 
= Principio d'inerzia ( detto anche Prima legge della dinamica) =
Il primo principio non è banalmente un caso particolare del secondo principio, che vedremo nel seguito, ma ne chiarisce l'ambito di validità, ovvero definisce quali sono i [[w:Sistema_di_riferimento_inerziale|sistemi di riferimento inerziali]], cioè quelli su cui agiscono esclusivamente '''forze reali''' (azione o interazione tra due corpi). Cioè se osservo che in assenza di forze esterne lo stato cinematico di un corpo non è un moto rettilineo uniforme significa che il sistema in cui mi trovo non è inerziale.
 
Un sistema di riferimento inerziale è un sistema in cui il moto di un punto materiale appare rettilineo uniforme, se non agisce su di esso nessuna azione esterna. Inoltre, ed è un [[w:Corollario|corollario]] di tale osservazione, esistono infiniti sistemi di riferimento inerziali: sono tutti quelli che si muovono di moto rettilineo uniforme rispetto a quello considerato.
Un sistema di riferimento per essere inerziale non deve nè accelerare nè ruotare.
Ad esempio, in prima approssimazione, la terra si può considerare un sistema di riferimento inerziale, ma se si considera ha sia un moto di rotazione intorno al proprio asse sia un moto rotatorio attorno al sole non è un sistema inerziale. Mentre una astronave che si muova a velocità costante nello spazio intersiderale è un sistema di riferimento inerziale.
La accelerazione di un punto materiale è direttamente proporzionale e nella stessa direzione
della forza totale che agisce sul corpo ed inversamente proporzionale alla sua massa.
:{{Equazione|eq=<math>\vec F= m \vec a=m \frac{d \vec v}{dt}=m \frac {d^2 \vec r}{dt^2}</math>|id=1}}
Tale legge della dinamica è dovuta a [[w:Isaac_Newton|Newton]] e introduce sia la [[w:forza (fisica)|forza]] (azione dall'esterno, una grandezza vettoriale) che un'altra proprietà del punto materiale che finora non era stata introdotta che rappresenta la quantità di materia del punto materiale stesso: la sua massa <math> m\ </math>.
 
La forza è una grandezza derivata le cui dimensioni fisiche sono ricavabili dalla seconda legge della dinamica:
:<math>[F]=[M][L][T^2] \ </math>
PoichèL'unità la massa sidi misura in kg, la lunghezza in m ed il tempo in s. Ladella forza nel SI siè misurail newton, indefinito Newtoncome:
:<math>\mathrm{1\, N = 1\, \frac{\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}}{s^2}}</math>
Quindi se la stessa forza agisce su corpi con massa diversa l'accelerazione sarà maggiore nei corpi con minore massa. Il concetto di massa viene nel linguaggio comune confuso con il concetto di peso, che è invece una forza dovuta alla gravitazione come vedremo nel seguito.
 
La legge di Newton definisce la massa come una misura della resistenza dei corpi al variare del loro stato di moto (accelerazione) a causa di una azione esterna: la massa che deriva dalla seconda equazione della dinamica è detta [[w:Massa_(fisica)#Massa_inerziale|'''massa inerziale''']]. Gli strumenti che misurano le forze vengono chiamati [[w:Dinamometro|dinamometri]].
Quindi se la stessa forza agisce su corpi con massa diversa l'accelerazione sarà maggiore nei corpi con minore massa. Il concetto di massa viene nel linguaggio comune confuso con il concetto di peso che è invece una forza dovuta alla gravitazione come vedremo nel seguito.
 
La legge di Newton definisce la massa come una misura della resistenza dei corpi al variare del loro stato di moto (accelerazione) a causa di una azione esterna: la massa che deriva dalla seconda equazione della dinamica è detta [[w:Massa_(fisica)#Massa_inerziale|'''massa inerziale''']].
 
Questo modo di interpretare la ''seconda legge di Newton'' ci permette quindi di legare le proprietà cinematiche del movimento alle cause che lo provocano.
[[File:Addizioneforze.svg|thumb|left|150px|Risultante di due forze.]]
Si definisce forza risultante la [[w:vettore (matematica)#Somma di due vettori|somma vettoriale]] di tutte le forze <math>\vec{F_1},\vec{F_2},\ldots,\vec{F_N}</math> applicate ad un sistema:
:{{Equazione|eq=<math>\vec{R}=\sum_i^N\vec{F_i}</math>|id=2}}
Se il sistema è un punto materiale la dinamica del punto è data semplicemte dalla seconda equazione della dinamica che diviene:
:<math>\vec R= m \vec a\ </math>
 
Tale legge stabilisce che tutte le forze esistono in coppie: se un oggetto ''A'' esercita una forza '''F'''<sub>''A''</sub> su un secondo aggetto ''B'', allora ''B'' esercita simultaneamente una forza '''F'''<sub>''B''</sub> su ''A'', e le due forze sono eguali ed opposte:
:{{Equazione|eq=<math>\vec F_{AB}=-\vec F_{BA}\ </math>|id=3}}
 
Le due forze nella legge di azione e reazione sono dello stesso tipo (cioè se le strada esercita una forza trainante sulle gomme di una macchina in accelerazione, vi è anche una forza di attrito da parte delle ruote sulla strada nella direzione opposta).
 
Vale la pena di considerare due altri casi: quando una persona cammina spinge contro il suolo ed il suolo spinge la persona; nel nuoto, una persona interagisce con l'acqua, spingendo l'acqua indietro, e simultaneamente l'acqua spinge la persona in avanti. In tutti questi casi la forza di dipende dall'attrito che vedremo in seguito.
 
 
== [[w:Quantità_di_moto|Quantità di Moto]] ==
Una importante proprietà dei corpi in movimento (si ricorda che l'essere fermo è un tipo di moto) è data dalla '''quantità di moto''' ed è una quantità intrinseca del corpo data da
:{{Equazione|eq=<math>\vec p = m \vec v</math>|id=4}}
La quantità di moto è definita nella fisica classica come prodotto della massa per la velocità. È una grandezza vettoriale che ha importanti implicazioni in tutti i casi in cui o non vi siano forze esterne o siano trascurabili rispetto a quelle interne al sistema come nel caso degli urti o delle esplosioni.
Questa ci permette di riformulare la seconda legge di Newton come:
:{{Equazione|eq=<math>\vec F=\frac{d \vec p}{dt}</math>|id=5}}
In realtà questa formulazione ha un carattere più generale, in quanto vi sono fenomeni in cui un punto materiale si spezza in due o più punti materiali, per cui nel fenomeno varia la massa del singolo frammento rispetto al totale.
== [[w:Impulso_(fisica)Impulso|Impulso]]==
:<math>\vec J=\int_0^t \vec F dt\ </math>
Dalla seconda legge dinamica si ha che:
:{{Equazione|eq=<math>\vec J=\Delta \vec p</math>|id=6}}
Cioè l'impulso di una forza provoca una variazione della quantità di moto del corpo.
Vi sono molti casi in cui le forze agiscono per un breve periodo e interessa non il dettaglio di cosa avviene durante l'azione della forza, ma come cambia la quantità di moto tra prima e dopo, ad esempio nel baseball quando la mazza colpisce la palla, nel tennis in cui la racchetta colpisce la palla o nel gioco del pallone.
 
== Azione delle forze ==
Riprendiamo la relazione principale della dinamica e proviamo a definire come una forza influenza il moto. Come abbiamo visto in cinematica l'accelerazione nel piano è data da <math>\vec a=\vec a_T+\vec a_N</math> (eq.10 della cinematica) e quindi possiamo scrivere
:{{Equazione|eq=<math>\vec F=m \vec a=m\vec a_T+m\vec a_N= m \frac {dv}{dt} \vec u_T + m \frac {v^2}{R} \vec u_N</math>|id=7}}
e notiamo come la forza "provochi" una accelerazione con due componenti, una tangenziale alla traiettoria ed una normale e diretta verso il centro di curvatura della traiettoria detta ''accelerazione centripeta''.
 
La forza quindi può essere divisa in due componenti: una da un contributo '''tangenziale che provoca una variazione del modulo della velocità''', ed una diretta verso il centro di curvatura della traiettoria e quindi '''ortogonale che determina una variazione della direzione della velocità e quindi del moto'''.
 
== Equilibrio ==
 
In entrambi i casi si tratta di una situazione nella quale ''non vi sono variazioni dello stato del moto del corpo'' e cioè la somma delle forze che agiscono sul corpo detta '''risultante''' deve essere nulla.
:{{Equazione|eq=<math>\vec R=\sum_i \vec F_i = 0</math>|id=8}}
ed il moto deve avvenire con velocità costante.
 
== La forza peso ==
La terra ha una forma praticamente sferica e attrae i corpi sulla sua superfice con una forza detta forza peso, diretta verso il centro della terra che vale:
:{{Equazione|eq=<math>\vec P= m_g\vec g</math>|id=8}}
Dove m<sub>g</sub> è la massa gravitazionale degli oggetti che coincide per quanto ne sappiamo sperimentalmente con una precisione di 3x10<sup>-14</sup><ref>Phys. Rev. Lett. 100, 041101 (2008); http://www.npl.washington.edu/eotwash/publications/pdf/schlamminger08.pdf</ref> con la massa inerziale. Mentre
<math>g=9.8 m/s^2</math> è l'accelerazione di gravità che ha piccole variazioni sulla superficie della terra. Il raggio della terra, 6375 Km, è così grande che in realtà nella maggior parte dei casi la terra si può approssimare con un piano e quindi g è diretta verso il basso.
La forza di attrito statico non ha un modulo direzione e verso fissate, la direzione ed il verso sono tali da opporsi alla risultante delle forze esterne applicate
parallele al piano, mentre il modulo è esattamente eguale alla risultante delle forze esterne parallele al piano applicate. Il modulo della forza di attrito statico non può superare il valore di:
:{{Equazione|eq=<math>| F_{s}|\le \mu_s |N|\ </math>|id=9}}
Cioè è determinato in qualche misura dalla reazione vincolare, cioè più grande è la reazione vincolare più grande è la forza di attrito che può essere esercitata.
In definitiva la risultante delle forze è nulla ed il corpo si trova in condizione di equilibrio statico.
[[File:Friction_diagram.png|thumb|left|200px|Dinamica di un corpo soggetto ad una forza trainante (Pushing) a cui si oppone la forza di attrito statico (Friction).]]
La forza di attrito dinamico è generata dal contatto tra due corpi che si muovono uno rispetto all'altro. Può essere anche in questo caso definito un '''coefficiente di attrito dinamico''' che indichiamo con <math>\mu_d \,\!</math> (anche tale parametro è adimensionale). Il valore di <math>\mu_d \,\!</math> è sempre un poco inferiore a <math>\mu_s \,\!</math>.
:{{Equazione|eq=<math>\vec F_{d}=-\mu_d |N|\hat v\ </math>|id=9}}
Dove <math>\hat v \,\!</math> è il versore velocità.
La forza di attrito dinamico ha un valore ben preciso (al contrario dell'attrito statico per cui è fissato un massimo). Nelle macchine per aumentare l'attrito dinamico, che determina la massima velocità ottenibile senza slittare, vengono aggiunti [[w:Alettone_(veicoli)|alettoni]], i quali aumentano il valore della reazione vincolare esercitando una elevata forza dall'alto verso il basso che si va ad aggiungere la peso prorio del veicolo.
[[File:Tension_figure.svg|thumb|left|350px|Una figura raffigurante le forze coinvolte nel sospendere una palla da un'impalcatura mediante una corda. Ciascuna forza è mostrata nel suo punto di azione ed è identificata dall'oggetto su cui agisce. La tensione nella fune viene mostrata come agisce sulla sfera e sulla impalcatura ed anche in un segmento della corda.]]
Di conseguenza l'accelerazione vale:
:{{Equazione|eq=<math>a=g\sin \theta-\mu_d \cos \theta \ </math>|id=10}}
 
Il piano inclinato permette di far muovere il corpo con una forza di trascinamento che è minore della forza di gravità, quindi il moto si svolge più lentamente ed è più facile il suo studio.
 
Qui vengono consigliati duetre esercizi: [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_e_dinamica_del_punto_materiale#7._Piano_inclinato|semplice piano inclinato]] e, [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_e_dinamica_del_punto_materiale#12._Piano_inclinato_e_tratto_piano|la combinazione di un piano inclinato ed un piano orizzontale]] e [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_e_dinamica_del_punto_materiale#16._Punto_materiale_su_piano_inclinato|moto in salita e discesa su un piano inclinato]].
 
== Tensione==
==Forze centripete==
Il moto su una traiettoria circolare o su un arco di traiettoria abbiamo visto in cinematica che è caratterizzato nel caso generale da due componenti della accelerazione: una componente centripeta, cioè diretta verso il centro e necessaria, ed una parallela alla traiettoria, solo se la velocità angolare (o il modulo della velocità) varia nel tempo. Quindi nel caso di un moto circolare è sempre presente una forza centripeta:
:{{Equazione|eq=<math>F_c=m\frac {v^2}R\ </math>|id=11}}
Dove <math>v\ </math> è il modulo della velocità istantanea ed <math>R\ </math> è il raggio della traiettoria.
Non è una categoria a parte di forze, ma alcune delle forze che abbiamo visto finora si comportano come forze centripete, ad esempio la forza di gravità determina il moto circolare dei satelliti intorno alla terra o la forza di attrito statico permette alle macchine di muoversi su una strada in curva senza sbandare. I due esempi successivi mostrano l'effetto della tensione come forza centripeta.
 
=== Pendolo Semplice ===
[[File:Pendulum.svg|thumb|left|250px|Il pendolo semplice.]]
Il pendolo semplice è un sistema composto da un punto materiale appeso a un punto fisso tramite un filo inestensibile di massa trascurabile come in figura. Sul punto materiale agisce la forza peso e la tensione del filo.
 
Il punto percorre una traiettoria curva con raggio pari alla lunghezza del filo (<math>l\ </math>, che è il raggio del moto) e quindi un tratto di una traiettoria circolare. La II equazione della dinamica è:
 
:<math>m \vec g + \vec T_f= m \vec a</math>
 
Se le forze agenti vengono scomposte lungo gli assi del sistema di riferimento centrato sul punto e con un asse cartesiano lungo il filo. La forza peso ha una componente lungo la direzione del filo chee vieneuna controbilanciatadirezione dallaopposta alla tensione del filo e quindi lungo questa direzione la risultante delle forze è uguale alla accelerazioneforza centripeta e quindi:
:<math>R_T=T_f-m g \cos \theta = m a_N=m\frac {v^2}{l}\,\!</math>
mentre lungo la tangente alla traiettoria avremo la sola componente della forza peso:
:<math>R_N=-m g \sin \theta = m a_T=m l \frac {d^2 \theta}{dt^2} \,\!</math>
 
Tornando alla seconda equazione
:<math>\frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{g}{l}\sin \theta=0</math>
La sua soluzione non è banale, tranne nel caso di piccolo oscillazioni, cioèinfatti per piccoli angoli possiamo utilizzandoutilizzare lo sviluppo in [[w:Serie_di_Taylor|serie di Taylor]] per la funzione <math>\sin \theta\,\!</math> che è <math>\sin \theta = \theta-\frac{\theta^3}{3!}+\dots</math>. Se ci limitiamo al primo ordine (ipotesi vera per piccoli angoli) quindi :<math>\sin \theta \simeq \theta</math>
 
Quindi possiamo scrivere:
:{{Equazione|eq=<math>\frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{g}{l}\theta=0</math>|id=12}}
La soluzione di tale equazione è stata già vista in cinematica nel caso del moto armonico.
Quindi la soluzione generale è:
Ma poichè il coseno non è mai maggiore di 1 vi è un limite inferiore alla velocità angolare cioè:
:<math>\omega^2\ge \frac gL\ </math>
Cioè al di sotto di questo valore della velocità angolare non si può avere il moto di un pendolo conico.
 
 
Se si considera una [[w:Molla|molla]] che viene compressa o tirata essa eserciterà una forza
che si oppone all'azione esterna:
:{{Equazione|eq=<math>F_e =- k (x-x_o),</math>|id=13}}
dove <math>x_o\ </math> è la posizione di equilibrio, <math>x\ </math> è la
posizione e <math>k\ </math> è una costante (detta costante di richiamo elastico) che dipende dalle caratteristiche della molla: la sua [[w:Rigidezza|rigidità]].
 
Tale proprietà è propria non solo delle molle, ma di molti oggetti sia solidi che fluidi, inche cuise unproviamo corpoa vienedeformarli deformatoagisce neluna limiteforza checontraria nonalla vengadeformazione superatotanto ilmaggiore ''limitequanto diè elasticità''la deformazione. A partire dalla configurazione naturale di riposo, l'elasticità rappresenta solo la fase iniziale del comportamento di un materiale, per un valore limitato del livello di sollecitazione. Ogni materiale presenta infatti una soglia di sollecitazioni, detta ''limite di elasticità'', al di sopra della quale cessa di esibire un comportamento elastico e manifesta fenomeni anelastici ([[w:Plasticità (fisica)|plasticità]], [[w:rottura|rottura]], ecc.). Nel caso dei [[w:Plasticità (fisica)#Materiali duttili|materiali duttili]], il limite elastico è associato alla [[w:tensione di snervamento|tensione di snervamento]], nel caso di [[w:fragilità|materiali fragili]], il limite elastico è associato alla rottura del materiale. La reazione vincolare come la tensione sono in realtà delle forze elastiche con una costante di richiamo elastico così grande da rendere trascurabile la deformazione.
 
 
Nel caso tridimensionale, l'espressione della forza elastica è:
:{{Equazione|eq=<math>\vec F_e =- \bold T (\vec r-\vec r_o),</math>|id=14}}
Dove <math>\vec r_o\ </math> è la posizione di equilibrio, <math>\vec r\ </math> è la
posizione e <math>\bold T\ </math> è il [[w:Tensore_degli_sforzi#Il_tensore_delle_tensioni_di_Cauchy|tensore degli sforzi]] che è una costante nel caso di oggetti isotropi.
 
[[Categoria:Fisica classica|Dinamica]]
{{Avanzamento|100%|2002 gennaiodicembre 2014}}