Informatica 5 Liceo Scientifico Scienze Applicate/Jacobi Risoluzione Sistemi Lineari: differenze tra le versioni
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== Risoluzione di un sistema di equazioni lineari con
Siamo partiti a risolvere un sistema lineare con il metodo della sostituzione adatto per piccoli sistemi e calcolato manualmente, siamo passati a risolverlo numericamente con Cramer e poi abbiamo visto una soluzione tramite Gauss. In tutti i casi precedenti abbiamo trovato l'esatta soluzione del problema. Ora ci spostiamo in una nuova dimensione delle tecniche risolutive e illustriamo il metodo di Carl Gustav Jacob Jacobi (Potsdam, 10 dicembre 1804 – Berlino, 18 febbraio 1851) . Pensiamo di essere nel 1825 e prendiamo carta e penna<br />
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guardando i valori mi accorgo che c'e' stata una convergenza sui valori assunti dalle incognite , incredibile ma queste sono le soluzioni del sistema di equazioni iniziali , calcolandole con
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x3= 0.27586
Ora
A = D - N<br />
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ci fermiamo nel calcolo quando x(k) e' vicino a x(k+1) ammesso che ci sia la convergenza, naturalmente i matematici che sono precisi il vicino lo traducono con una espressione matematica che prende il nome di norma ( di norme ce ne sono piu' di una , vengono costruite in modo tale da garantire proprieta' particolari (funzione positiva, omogeneita', rispetto diseguaglianza triangolare) . Ora una norma (che prende il nome di norma euclidea) per stabilire quanto diversi/uguali sono due vettori x e y e' la seguente
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Interessante data una matrice A e' sapere prima di procedere con jacobi se ci sara' convergenza , ci sono alcune dimostrazioni che dicono c'e' convergenza se la matrice A e' una matrice diagonale dominante per righe, un'altra dimostrazione dice c'e' convergenza se l'autovalore max di inv(D)*N e' minore in modulo di 1 (raggio spettrale minore di uno).<br />
Altra cosa interessante da sapere e' la velocita' di convergenza del metodo, cioe' quante iterazioni dobbiamo fare. Oltre alla tecnica di
In generale se la matrice e' densa e di dimensione contenuta si usano i metodi diretti (Cramer , eliminazione di Gauss) che consentono la risoluzione esatta del sistema di equazioni e non presentano problemi di convergenza e terminano in un numero finito di passi; se la matrice e' sparsa o di grandi dimensioni si usano quelli indiretti (Jacobi, Gauss-Siedel , del Sovrarilassamento SOR etc ) che sono piu' veloci computazionalmente ma che possono presentare problemi di convergenza
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