Informatica 5 Liceo Scientifico Scienze Applicate/Jacobi Risoluzione Sistemi Lineari: differenze tra le versioni

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Nuova pagina: == Risoluzione di un sistema di equazioni lineari con Jacopi == Siamo partiti a risolvere un sistema lineare con il metodo della sostituzione adatto per piccoli sistemi e calcolat...
 
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Scriviamo il nostro problema:<br />
 
 
5x1-x2+2x3=12
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si ha :<br />
 
 
x1 = +1/5 x2 -2/5 x3 +12/5
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ho spaziato per pensare successivamente in termini matriciali, ma la sostanza non cambia<br />
 
 
A=[5 -1 2; 3 8 -2; 1 1 4]
b=[12; 25; 6]
x=inv(A)*b
 
2.27414
2.17241
0.27586
 
 
 
ora ipotizzo che x1= 1 x2=1 x3=1 ( i valori attributi sono casuali) , ora se li sostituisco nel secondo membro delle equazioni, ottengo dei nuovi valori di x1 x2 x3<br />
 
nel nostro caso ottengo<br />
 
x1=2.2
x2=3
x3=1
 
(fate pure i calcoli a mano , io ho usato Octave con la formula
N=[0 1/5 -2/5 ; -3/8 0 2/8; -1/4 -1/4 0]
b=[12/5; 25/8; 6/4]
x=[1; 1; 1]
x=N*x+b
)
 
x1=2.2
x2=3
x3=1
 
ora utilizzo questi nuovi valori per sotituirli nel secondo membro delle equazioni e ricavo delle nuove x1 x2 e x3 i cui valori sono
 
x1=2.60
x2=2.55
x3=0.20
 
( ho rieseguito la x=N*x+b )
 
ripeto la procedura iterativamente
{| class="wikitable"
|-
| iterazione3<br />x1=2.83<br />x2=2.20<br />x3=0.21250<br />
||iterazione4<br />x1=2.75500<br />x2=2.11687<br />x3=0.24250<br />
 
||iterazione5<br />x1=2.72638<br />x2=2.15250<br />x3=0.28203<br />
x2=2.20<br />
||iterazione6<br />x1=2.71769<br />x2=2.17312<br />x3=0.28028<br />
 
||iterazione7<br />x1=2.72251<br />x2=2.17594<br />x3=0.27730<br />
x3=0.21250<br />
||iterazione8<br />x1=2.72427<br />x2=2.17338<br />x3=0.27539<br />
 
 
itero || x1=2.75500<br />
 
x2=2.11687<br />
 
x3=0.24250<br />
 
 
itero || x1=2.72638<br />
 
x2=2.15250<br />
 
x3=0.28203<br />
 
 
itero || x1=2.71769<br />
 
x2=2.17312<br />
 
x3=0.28028<br />
|| x1=2.72251<br />
 
x2=2.17594<br />
 
x3=0.27730<br />
|| x1=2.72427<br />
 
x2=2.17338<br />
 
x3=0.27539<br />
 
 
|}
 
 
<br />
{| class="wikitable"
|-
|iterazione 9<br />x1=2.72452<br />x2=2.17225<br />x3=0.27559<br />
||iterazione10<br />x1=2.72421<br />x2=2.17220<br />x3=0.27581<br />
 
||iterazione11<br />x1=2.72412<br />x2=2.17237<br />x3=0.27590<br />
x2=2.17225<br />
||iterazione12<br />x1=2.72412<br />x2=2.17243<br />x3=0.27588<br />
 
||iterazione13<br />x1=2.72413<br />x2=2.17243<br />x3=0.27586<br />
x3=0.27559<br />
||iterazione14<br />x1=2.72414<br />x2=2.17242<br />x3=0.27586<br />
||
x1=2.72421<br />
 
x2=2.17220<br />
 
x3=0.27581<br />
|| x1=2.72412<br />
 
x2=2.17237<br />
 
x3=0.27590<br />
|| x1=2.72412<br />
 
x2=2.17243<br />
 
x3=0.27588<br />
|| x1=2.72413<br />
 
x2=2.17243<br />
 
x3=0.27586<br />
|| x1=2.72414<br />
 
x2=2.17242<br />
 
x3=0.27586<br />
 
|}
 
<br />
 
 
{| class="wikitable"
|-
| iterazione15<br />x1=2.72414<br />x2=2.17241<br />x3=0.27586<br />
|
||iterazione16<br />x1=2.72414<br />x2=2.17241<br />x3=0.27586<br />
 
x2=2.17241<br />
 
x3=0.27586<br />
|| x1=2.72414<br />
 
x2=2.17241<br />
 
x3=0.27586<br />
|| Testo della cella
|}
 
 
guardando i valori mi accorgo che c'e' stata una convergenza sui valori assunti dalle incognite , incredibile ma queste sono le soluzioni del sistema di equazioni iniziali , calcolandole con cramer si ha infatti<br />
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Ax=b
(D-N)x=b
Dx -Nx=b
Dx= Nx +b