Chimica generale/Teoria atomica: differenze tra le versioni

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Due elettroni non possono avere tutti e quattro i numeri quantici uguali<br />
analogo a dire che due corpi non possono essere nello stesso tempo, nello stesso posto.
 
==L'Equazione di Shrödinger==
Quindi l'elettrone può essere visto come un'onda, un'entità oscillante. Si presenta però il problema che l'elettrone non può essere diviso nello spazio. La quantità oscillante dev'essere dunque un'altra: secondo la scuola di Copenhagen, essa è la probabilità di trovare l'elettrone nel volumetto <math>d\tau</math>. Interviene un postulato della meccanica quantistica, che ci dice che tutte le informazioni su un oggetto fisico oscillante sono racchiuse nella funzione d'onda Ψ(q,t), dove q è una generica coordinata spaziale e t è il parametro Tempo.
Un altro postulato dice che tutte queste informazioni possono essere ricavate da un equazione differenziale: l'equazione di Schrödinger.
 
:<math>H(t)\left|\psi\left(t\right)\right\rangle = \mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t} \left| \psi \left(t\right) \right\rangle</math>
 
Dove t è il tempo e all'energia è associato un operatore “derivata rispetto al tempo”. L'equazione può, però essere letta come un equazione agli autovalori, considerando che nella vita di tutti i giorni le probabilità non cambiano nel tempo:
 
:<math> -\frac{\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \psi (r) + V(r) \psi (r) = E \psi (r) </math>
 
adesso E è un autovalore dell'equazione di Schrödinger, sempre ammettendo che <math>\psi</math> sia autofunzione.
Nel caso che questo non avvenga, un altro postulato ci dice che la funzione d'onda può essere espansa in una combinazione lineare di altre funzioni d'onda, previa scelta di opportuni coefficienti.
 
:<math> |\psi \rangle = \sum_{i = 1}^n c_i | \phi_i \rangle </math>
 
Le <math>\phi</math> si scelgono come autofunzioni dell'equazione, per calcolare gli opportuni <math>c_i</math> si usano metodi computazionali come Hartree-Fok, o semiempirici come Hückel.
 
A questo punto, vediamo a cosa serve questa <math>\psi</math>. Essa è un orbitale, nel senso chimico-fisico del termine, ovvero la funzione associata alla probabilità di trovare l'elettrone nel volumetto <math>d\tau</math>. A questo punto pensiamo a <math>\psi^2</math> (per evitare problemi di azzeramento, dato che la funzione è “perfetta” ovvero continua, simmetrica...) e la integriamo su tutto lo spazio. La superficie esterna della “forma” che abbiamo ottenuto, rappresenta la forma degli orbitali.
 
===L'equazione di Schrödinger e i numeri quantici===
I numeri quantici si ottengono cercando di risolvere l'equazione di Schrödinger per sistemi via via più complicati: quando la sua risoluzione non è più immediata, va ricondotta ad un “modello” di equazione differenziale di primo grado. I tre modelli che si utilizzano in meccanica quantistica si possono risolvere solo per n,m e l interi ed in relazione tra di loro. Sono i nostri numeri quantici.
 
===L'equazione di Dirac e i numeri quantici===
<math>\left(\alpha_0 mc^2 + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j p_j \, c\right) \psi (\mathbf{x},t) = i \hbar \frac{\partial\psi}{\partial t} (\mathbf{x},t)</math>
 
Questa è l'equazione di Dirac, un'estenzione quanto-RELATIVISTICA dell'equazione di Schrödinger. Risolvendo questa (per via matriciale o nell'algebra dei complessi “quaternioni”) si ottengono i tre numeri quantici già ottenuti più un quarto: lo Spin.
 
 
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