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Fisica classica/Energia e lavoro: differenze tra le versioni

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[[Fisica_classica/Dinamica| Argomento precedente: Dinamica]]
 
Le forze derivano il loro nome dall'azione dei muscoli del corpo umano che appunto vengono chiamate forze muscolari. Le forze possono essere moltiplicate o divisediminuite, cambiate di direzione mediante varievari congegni macchinemeccanici inventateinventati fin dagi albori della civiltà. Un esempio di macchina semplice è
la [[w:Leva_(fisica)|leva]] che permette di sollevare pesi che non sarebbe possibile sollevare con i muscoli umani, moltiplicando quindi la forza muscolare. Esiste una altra grandezza fisica che introduciamo in questa parte del libro che ha un ruolo essenziale in tutta la fisica l''''energia''',. taleL'energia grandezzaa scalare,differenza connessadella alforza concettoè diuna forza,grandezza scalare che è possibile trasformare, ma non è possibile moltiplicarlaaumentare: questo è un principio fisico che va sotto il nome di [[w:Legge_di_conservazione_dell'energia|legge di conservazione dell'energia]]. L'energia secondo tale legge può essere trasformata e convertita da una forma all'altra, la quantità ''totale'' di essa in un sistema isolato non varia nel tempo. Viene cioè affermato come legge generale della natura, che l'energia si trasforma nelle sue varie forme, ma non è possibile nè crearla nè distruggerla.
 
=Lavoro di una forza=
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Il termine lavoro fu introdotto da [[w:Gaspard_Gustave_de_Coriolis|Gustave di Coriolis]] descrivendo l'azione di innalzare un peso ad una certa altezza, che era in effetti il lavoro fatto dalle prime macchine a vapore per innalzare secchi di acqua nelle miniere.
 
La unità di misura del lavoro nel [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|Sistema Internazionale]] è il newton x metro o [[w:Joule|joule]] ('''J'''). Questa unità di misura è anche l'unità di misura di tutte le forme di energia. Nelle grandezze elemantari MLTelementari del [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|sistema internazionale]] le dimensioni fisiche dell'energia sono <math>[M][L]^2[T]^{-2}</math> essendo le forze delle <math>[M][L][T]^{-2}</math>.
 
Il lavoro fatto da una forza costante di grandezza ''F'' su un punto che si muove compiendo uno spostamento ''d'' nella direzione della forza è semplicemente il prodotto:
:<math>W = Fd.\ </math>▼
 
▲:<math>W = Fd.</math>
Ad esempio, se una forza di 100 newton (''F'' = 100 N) agisce su un punto materiale che percorre
2 metri (''d'' = 2 m), nella direzione della forza, essa compie un lavoro
''W'' = (100 N)x(2 m) = 200 N m = 200 J. Questo è approssimativamente anche il lavoro che si fa alzandouna persona che alza
una massa di 10&nbsp;kg da terra a sopra la testa di una persona.
Poichè le dimensioni fisiche del lavoro sono eguali a quelle del momento meccanico (che vedremo nel seguito), che ha un ben diverso significato fisico, viene sconsigliato di misurare il lavoro in newton x metro, ma si consiglia di usare il joule.
[[File:Mehaaniline_töö.png|thumb|250px|Lavoro di una forza]]
 
Nel caso più generale consideriamo una forza risultante, <math>\vec F\ </math>, che agendo su un punto materiale ne provochi uno spostamento <math>d\vec s\ </math>, il prodotto [[w:Prodotto_scalare|prodotto scalare]]:
:<math>dW=\vec F \cdot d\vec s=F \cos \alpha ds= F_T ds</math>
viene definito lavoro infinitesimo delle forza risultante. Avendo indicato con <math>\alpha\ </math> l'angolo tra la forza e lo spostamento e con <math>F_T\ </math> la componente tangenziale della forza lungo la traiettoria. I casi in cui il lavoro è nullo sono quelli dovenei quali o non agisce nessuna forza, o non si ha spostamento oppure la risultante delle forze è perpendicolare alla traiettoria, così che <math>\cos \alpha = 0 \,\!</math>. Se invece vi è una componente della forza nella direzione dello spostamento, il lavoro fatto è diverso da zero. Il lavoro è positivo, se provocaè unnella aumentostessa delladirezione velocitàdello spostamento, mentre è negativo se provocaè unain diminuzionedirezione dellaopposta. Il lavoro positivo viene chiamato lavoro motore (in quanto aumenta la velocità dell'oggetto su cui si applica), mentre il lavoro negativo viene chiamato lavoro resistente (come è il caso delldel lavoro fatto dall'attrito dinamico ea dalla forza di quelloattrito viscoso).
Nel caso più generale di un punto materiale che si muove su di una traiettoria curvilinea, il lavoro è dato dall'integrale di linea del lavoro infinitesimale e quindi se il punto si sposta dal punto A al punto B possiamo scrivere:
:<math>W=\int_A^B \vec F \cdot d\vec s</math>
 
Dal punto di vista lessicale il lavoro fatto da una forza non è posseduto, ma scambiato tra sistemi.
 
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L'energia cinetica di un corpo materiale di massa <math>m</math> con velocità <math>v</math> è dato da:
:<math>E_k = \frac 12 mv^2.</math>
Le dimensioni fisiche di tale quantità sono quelle di una energia: <math>[M][L]^2[T]^{-2}\ (J)</math>. LaIl giustificazionecollegamento dell'espressìonetra della energia cinetica e lavoro si ricava dall'analisi di quello che succede se una forza agendo su un corpo di massa <math>m</math> con velocità iniziale <math>v_o\ </math> ne varia la velocità portandola fino <math>v_f\ </math>, lungo una traiettoria descritta dal tratto infinitesimo <math>d\vec s</math>:
:<math>dW= F_T ds=ma_Tds=m\frac {dv}{dt}ds=m\frac {ds}{dt}dv</math>
Integrando tale differenziale si ha che il collegamento tra lavoro e variazione di energia cinetica è:
:<math>W= \int_o^fmvdv=\frac 12mv_f^2-\frac 12mv_o^2=\Delta E_k</math>
Il simbolo <math>\Delta</math> indica la differenza tra l'energia cinetica finale e quella iniziale che, come appare dall'espressione, è prodotta dal lavoro fatto dalle forze esterne, qualsiasi sia la loro natura.
Se il lavoro è positivo l'energia cinetica aumenta, se il lavoro è negativo l'energia cinetica diminuisce. Notiamo che se le forze agiscono in direzione perpendicolare alla traiettoria (forze centripete) il lavoro fatto è nullo e l'energia cinetica non varia.
 
La relazione tra il lavoro fatto dalla risultante delle forze agenti su un corpo e la variazione di energia cinetica prende il nome di [[w:Teorema_dell'energia_cinetica|teorema del lavoro]], tale teorema vale per qulasiasi tipo di forze, anche quelle variabili con il tempo o con la posizione,. maNei solosistemi perin sistemicui ala massa non rimane costante tale relazione va corretta includendo le forze interne al sistema.
 
Vi è una relazione tra l'energia cinetica e la [[Fisica_classica/Dinamica#Quantità di Moto|quantità di moto]] ricordando che <math>\vec p = m\vec v.</math> :
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totale è semplicemente dato da (riferendosi alla figura a fianco):
:<math>W=\int_o^f \vec F \cdot d\vec s=\vec F \cdot \int_o^f d\vec s=\vec F\cdot \vec d =Fh</math>
essendo <math>\vec F</math> diettodiretta lungo la verticale.
[[File:PotentialEnergy_Gravitational2.png|thumb|350px|Forza peso e sua energia potenziale]]
Nel caso specifico della [[Fisica_classica/Dinamica#Forza peso|forza peso]] in cui <math>F=-mg</math> e quindi il lavoro fatto è:
:<math>W=-mgh</math>
Notiamo come il lavoro non dipenda dalla traiettoria, ma solo dalla differenza di quota: (positivo se si diminuisce la quota e negativo nel caso opposto9opposto.
 
Definendo <math>h_o</math> e <math>h_f</math> le quote iniziali e finali, il teorema del lavoro nel caso della sola forza peso diviene:
:<math>W= -mg(h_f-h_o)=\frac 12mv_f^2-\frac 12mv_o^2</math>
:<math>mgh_o+\frac 12mv_o^2=mgh_f+\frac 12mv_f^2</math>
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La [[Fisica_classica/Dinamica#Forza_di_attrito_dinamico|forza di attrito dinamico]] è diretta nella direzione opposta alla velocità e quindi dello spostamento <math>d\vec s</math>. Quindi il lavoro che si compie andando dalla posizione iniziale a quella finale è pari a:
:<math>W=\int_o^f \vec F \cdot d\vec s=-\mu_d N \int_o^f d\vec s=-\mu_d N \ell</math>
dove <math>\ell</math> è il cammino totale percorso che non dipende solo dalla posizione iniziale e finale, ma dalla lunghezza del percorso seguito. A differenza dei casi precedenti la posizione finale ed iniziale non bastano per caratterizzare il lavoro svolto, anzi per stesse posizioni iniziali e finali il lavoro, sempre negativo, può assumere valori molto diversi.
In questo caso l'energia meccanica non si conserva in quanto via via che viene percorsa la traiettoria l'energia cinetica diminiusce senza aumentare una qualche forma di energia potenziale. In realtà l'energia meccanica viene trasformata in calore che è un'altra forma di energia (non meccanica). Quindi il punto materiale ha una energia cinetica iniziale e via via la perde per attrito, fino a fermarsi quando inizia a dominare la forza di attrito statico.
 
Il teorema del lavoro diviene in questo caso:
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In forma differenziale:
:<math>dE_p=-dW=-\vec F\cdot d\vec s</math>
laLa forma differenziale è indipendente dal punto di riferimento essenoessendo una differenza di energia potenziale.
 
Tutte le forze che dipendono dalla velocità, dal tempo o dalla lunghezza del percorso non sono conservative e per esse non è possibile definire una energia potenziale.
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==Dall'energia potenziale alla forza==
Se conosciamo in una regione di spazio l'energia potenziale di un punto materiale possiamo ricavare le forze che agiscono sul punto materiale con una operazione che è l'inversooperazione inversa di quella che abbiamo usata per definire l'energia potenziale. Tale relazione si ottiene esplicitando la relazione differenziale che collega l'energia potenziale al lavoro ad esempioin coordinate cartesiane:
esplicitando la relazione differenziale che collega l'energia potenziale al lavoro in coordinate cartesiane:
:<math>dE_p=\frac{\partial E_p}{\partial x}dx+\frac{\partial E_p}{\partial y}dy+\frac{\partial E_p}{\partial z}dz=-F_xdx-F_ydy-F_zdz</math>
Da cui:
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dove <math>\theta \,\!</math> è l'angolo formato dalla direzione del vettore <math>\vec v</math> con la direzione di <math>\vec r</math> e quindi '''d''' non è altro che la distanza tra il punto '''O''' e la retta (direttrice) su cui giace il vettore <math>\vec v</math> e viene chiamato '''braccio'''.
 
Facciamo notare come il modulo, essendo dipendente da '''d''' e non da '''r''', non dipende dal punto in cui viene applicato il vettore <math>\vec v</math> lungo la sua direttrice. Per quanto riguarda la direzione il momento è mutuamente perpendicolare alla direzione di dei due vettori quindi è sulla normale al piano formato dai due vettori. Notiamo che da un punto di vista formale sia uno [[w:Pseudovettore|pseudovettore]] cioè il suo verso non cambia al cambiare dei versi degli assi cartesiani.
 
I momenti hanno una importanza fondamentale nella dinamica dei sistemi, ma si possono definire anche nella dinamica del punto materiale per quanto riguarda sia il '''momento angolare''' ed il '''momento di una forza'''
 
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[[File:Torque animation.gif|frame|right|Relazione tra forza (F), momento della forza (τ), quantità di moto (p), e momento angolare (L) in un sistema ruotante]]
Il momento angolare <math>\vec L</math> è definito come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione <math>\bar r</math> (rispetto alla stessa origine) e il vettore quantità di moto <math>\vec p</math>:
 
:<math> \vec L = \vec r \times \vec p </math>
 
Il [[w:modulo_(algebra)|modulo]] di <math>\vec L</math> è quindi definito da:
 
:<math>{L} = {{r} {mv}}\sin{\theta}=mvd\, </math>
 
La direzione di <math>\vec L</math> è perpendicolare al piano definito da <math>\vec v</math> e da <math>\vec r</math>; il verso è quello di un osservatore che vede ruotare <math>\vec v</math> in senso antiorario. La grandezza <math>d={r}\sin{\theta}</math> è il ''braccio'' di <math>\vec p</math>.
 
Se <math>\vec v</math> e <math>\vec r</math> sono tra loro perpendicolari il momento angolare è massimo, e questo avviene quando <math>\sin \theta = 1</math>. Il momento angolare è nullo invece nullo, se la quantità di moto o il braccio sono nulli, oppure se <math>\vec v</math> è parallelo ad <math>\vec r</math>, in tal caso infatti <math>\sin \theta = 0</math>.
 
Ricordando come la velocità istantanea abbia una componente radiale <math>\vec v_r</math> ed una angolare <math>\vec v_\theta</math> in [[Fisica_classica/Cinematica#Velocit.C3.A0_in_coordinate_polari|coordinate polari]]
Quindi essendo:
:<math>\vec L=\vec r \times m \vec v</math>
sostituendoSostituendo a <math>\vec v=v_r\hat u_r+v_{\theta}\hat u_{\theta}</math> si ha che:
:<math>\vec L=\vec r \times m(v_r\hat u_r+v_{\theta}\hat u_{\theta})=mrv_\theta\hat u_r \times \hat u_{\theta}</math>
In modulo:
:<math>L=mr^2\frac {d\theta}{dt}</math>
 
Si definisce '''momento angolare assiale''' il momento angolare proiettato su un asse passante per il polo.
 
La dimensione fisica del momento angolare è [M}][L}]<sup>2</sup>[T]<sup>-1</sup> e quindi nel [[w:Sistema internazionale di unità di misura|SI]] si misura in kg·m²<sup>2</sup>/s. La sue dimensionedimensioni coincidecoincidono con quelleaquelle dell'[[w:Azione (fisica)|azione]] (ovvero di un'energia per un tempo), ma il significato fisico di azione e momento angolare sono completamenti differenti. Inoltre il momento angolare è una grandezza vettoriale, mentre l'azione è uno scalare.
 
 
Line 199 ⟶ 192:
e possiamo notare che se vi sono più forze applicate la cui risultante è <math>\vec R</math> in un punto, si ha che:
:<math>\vec {\tau} = \vec r \times \vec R</math>
 
Se consideriamo la variazione del momento angolare nel tempo allora possiamo scrivere:
:<math>\frac{d \vec L}{dt} = \frac {d \vec r}{dt} \times m \vec v + \vec r \times m \frac{d \vec v}{dt}</math>
 
Nel caso che il polo '''O''' sia fermo il primo termine è nullo.
Il secondo termine coincide con la forza applicata moltiplicata vettorialmente per la distanza dal punto '''O'''. Ricaviamo così che
:<math>\frac{d \vec L}{dt}= \vec {\tau}</math>.
 
Inoltre è importante notare il caso in cui la forza sia applicata lungo la stessa direttice di <math>\vec r</math> allora <math>\vec {\tau}=0</math> e di conseguenza
:<math>\frac{d \vec L}{dt}=0</math>
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:<math>\vec L = costante</math>.
 
Le dimensione fisica del momento di una forza sono [M}][L}]<sup>2</sup>[T]<sup>-2</sup> e quindi nel [[w:Sistema internazionale di unità di misura|SI]] si misura in kg·m²<sup>2</sup>/s²<sup>2</sup>. La dimensione coincide con quella dell'energia, ma qui è evidente la differenza. Inoltre il momento di una forza è una grandezza vettoriale, mentre l'energia è uno scalare.
 
==Lavoro del momento di una forza==
Line 230 ⟶ 220:
Essendo <math>\vec r</math> e <math>\vec F</math> paralleli:
:<math>\vec {\tau}= 0\rightarrow \frac{d \vec L}{dt}=0</math>
Quindi il momento angolare <math>\vec L</math> è costante, inoltrequesto perdetermina come è definito, è <math>\vec L</math>che sia costanteil determina tra l'altropiano che il verso di percorrenza siadella traittoria rimangono fissatocostanti.
Inoltre essendo:
:<math>\frac {dL}{dt}=0</math>
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[[Categoria:Fisica classica|Energia e lavoro]]
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Estratto da "https://it.wikibooks.org/wiki/Fisica_classica/Energia_e_lavoro"