Fisica classica/Conduttori: differenze tra le versioni

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===Condensatore cilindrico===
[[Immagine:Cylindrical Capacitor.svg|250px|right|thumb|Un condensatore cilindrico]]
ImmagiamoImmaginiamo di avere un conduttore cilindrico di raggio <math>R_1\ </math> e coassialmentecon lo stesso un secondo conduttore cilindrico di raggio interno <math>R_2\ </math>. Se la distanza tra le armature è piccola persi cui siha un campo radiale che non dipende dalla distanza dagli estremi, chiamata <math>l\ </math>
la lunghezza del condensatore, il campo elettrico è radiale e vale:
:<math>\vec E=\frac {Q}{2\pi l\varepsilon_o r^2}\vec r\qquad R_1<r<R_2\ </math>
 
<math>\vec E=\frac {Q}{2\pi l\varepsilon_o r^2}\vec r\qquad R_1<r<R_2\ </math>
 
Dunque:
:<math>\Delta V=\int_{R_1}^{R_2}\vec E\cdot \vec{dl}=\frac {Q}{2\pi l\varepsilon_o}\int_{R_1}^{R_2}\frac {dr}r=\frac {Q}{2\pi l\varepsilon_o}\ln {\frac{R_2}{R_1}}\ </math>
 
<math>\Delta V=\int_{R_1}^{R_2}\vec E\cdot \vec{dl}=\frac {Q}{2\pi l\varepsilon_o}\int_{R_1}^{R_2}\frac {dr}r=\frac {Q}{2\pi l\varepsilon_o}\ln {\frac{R_2}{R_1}}\ </math>
 
Da cui si ricava:
:<math>C=\frac Q{\Delta V}=2\pi \varepsilon_ol /\ln \frac{R_2}{R_1}\ </math>
 
Nel caso dei condensatori cilindrici aè volteutile sidefinire considera la capacità per unità di lunghezza <math>C_l\ </math> come:
<math>C=\frac Q{\Delta V}=2\pi \varepsilon_ol /\ln \frac{R_2}{R_1}\ </math>
:<math>C_l=2\pi \varepsilon_o \frac 1{\ln \frac{R_2}{R_1}}\ </math>
 
SiAnche notinei condensatori cilindrici, che anchesono in questopratica casoi condensatori più comuni, se la distanza tra le armature <math>d\ </math> è molto minore del raggio interno <math>R_1\ </math> si ha una formula simile al condensatore a facce piane e parallele. Infatti riscrivendo la formula precedente come:
:<math>C=2\pi \varepsilon_ol /(\ln {1+d/R_1})\ </math>
del raggio interno <math>R_1\ </math>. Infatti riscrivendo la formula precedente come:
 
<math>C=2\pi \varepsilon_ol /\ln {1+d/R_1}\ </math>
 
Se <math>d\ll R_1\ </math> si dallo [[w:Sviluppo_di_Taylor|sviluppo di Taylor]] del logaritmo:
:<math>\ln (1+x)\approx x\qquad per\ x\ll 1\ </math>
 
<math>\ln (1+x)\approx x\qquad per\ x\ll 1\ </math>
 
Quindi:
:<math>C\approx 2\pi \frac {\varepsilon_ol}x=2\pi \frac {\varepsilon_olR_1}d\ </math>
Ma <math>2\pi R_1 l=S\ </math> è la superficie interna del cilindro. Quindi anche in questo caso:
:<math>C\approx \varepsilon_o\frac Sd\ </math>
 
<math>C\approx 2\pi \frac {\varepsilon_olR_1}d\ </math>
 
Ma <math>2\pi R_1 l=S\ </math> la superficie interna del cilindro. Quindi anche in questo caso:
 
<math>C\approx \varepsilon_o\frac Sd\ </math>
 
Nel caso dei condensatori cilindrici a volte si considera la capacità per unità di lunghezza <math>C_l\ </math>:
 
<math>C_l=2\pi \varepsilon_o \frac 1{\ln \frac{R_2}{R_1}}\ </math>
 
===Altri esempi===