Esercizi di fisica con soluzioni/Elettrostatica: differenze tra le versioni

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m →‎3. Tre cariche eguali: un simbolo errato
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La densità di carica superficiale vale:
:<math>\sigma=\frac Q{\pi R^2}\ </math>
 
Seguendo la falsariga dell'esercizio [[#Una_spira_circolare_carica|sulla spira carica]]
in cui una spira di raggio <math>r\ </math> e con carica <math>Q\ </math> distribuita
uniformemente sull'anello <math>\lambda =Q/2\pi r\ </math>, generava un campo su un punto generico dell'asse:
:<math>E_x=\frac {\lambda R}{2 \varepsilon_o}\frac {x }{(x^2+r^2)^{3/2}}=
 
<math>E_x=\frac {\lambda R}{2 \varepsilon_o}\frac {x }{(x^2+r^2)^{3/2}}=
\frac {Q}{4\pi \varepsilon_o}\frac {x }{(x^2+r^2)^{3/2}}</math>
 
Se consideriamo i differenziali equivalenti:
e <math>dQ=\sigma 2\pi rdr=(2Qrdr)/(R^2)dE_x\ </math> invece di <math>QE_x\ </math>.
 
e <math>dE_xdQ=\sigma 2\pi rdr=(Q2rdr)/(R^2)\ </math> invece di <math>E_xQ\ </math>.
 
e <math>dQ=\sigma 2\pi rdr=(2Qrdr)/(R^2)\ </math> invece di <math>Q\ </math>.
 
Si ha che:
:<math>dE_x=\frac {Q2rdr }{4\pi R^2\varepsilon_o }
 
<math>dE_x=\frac {Q2rdr }{4\pi R^2\varepsilon_o }
\frac {x }{(x^2+r^2)^{3/2}}\ </math>
 
Quindi:
:<math>E_x=
 
<math>E_x=
\frac {Q x}{4\pi R^2\varepsilon_o }\int_0^R\frac {2rdr}{(x^2+r^2)^{3/2}}=
\frac {Q x}{4\pi R^2\varepsilon_o }\left[\frac {-2}{(r^2+x^2)^{1/2}}\right]_0^R=
Line 421 ⟶ 413:
 
Se <math>x\ll R\ </math> il termine <math>\frac {x}{(R^2+x^2)^{1/2}}\ </math> è trascurabile e quindi:
:<math>E_x\approx \frac {2Q }{4\pi R^2\varepsilon_o }=\frac {\sigma}{2 \varepsilon_o }\ </math>
 
<math>E_x\approx \frac {2Q }{4\pi R^2\varepsilon_o }=\frac {\sigma}{2 \varepsilon_o }\ </math>
 
Mentre se <math>x\gg R\ </math> si può approssimare <math>E_x\ </math> facendo lo sviluppo di Taylor del termine all'interno delle parentesi quadre con:
:<math> \left[1-\frac {x}{(R^2+x^2)^{1/2}}\right]\approx \frac {R^2}{2x^2}\ </math>
 
<math> \left[1-\frac {x}{(R^2+x^2)^{1/2}}\right]\approx \frac {R^2}{2x^2}\ </math>
 
quindi quando <math>x\ll R</math> si ha che lungo l'asse il campo vale:
:<math>E_x=\frac Q{4\pi x^2\varepsilon_o }</math>
 
<math>E_x=\frac Q{4\pi x^2\varepsilon_o }</math>
 
come quello di una carica puntiforme posta sull'asse.
 
 
===7. Otto cariche eguali ===