Esercizi di fisica con soluzioni/Urti: differenze tra le versioni
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<span class="noprint">[[#2. Urto vario_2|→ Vai alla soluzione]]</span>
=== 3. Proiettile contro asta ===
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(Dati del problema <math>l=20\ cm\ </math>, <math>m =1\ kg\ </math>, la massa del proiettile è così piccola che il suo contributo al momento di inerzia si può trascurare come il suo contributo alla massa finale del sistema)
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=== 4. [[w:Pendolo di Newton|Pendolo di Newton]] ===
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di restituzione è lo stesso in ogni urto).
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=== 5. Urto tra punto materiale e disco ===
[[Immagine:Urto punto mat. disco.png|thumb|right|300px|Rappresentazione dell'istante prima dell'urto]]
Un disco sottile di massa <math>M\ </math> e raggio <math>R\ </math> è appoggiato su di un piano orizzontale liscio. Il disco è inizialmente fermo quando un corpo di massa <math>m\ </math> muovendosi sul piano con velocità <math>v_0\ </math> diretta come in figura, si conficca sul bordo estremo del disco. Si determini: a) la velocità del centro di massa del sistema disco più corpo dopo l'urto; b) la posizione del centro di massa disco più corpo dopo l'urto; c) la velocità angolare del centro di massa disco più corpo dopo l'urto.
Disco e piano orizzontale sono complanari ed il disco non ha alcun vincolo con il piano stesso.
(Dati del problema <math>M=1\ kg\ m/s\ </math>, <math>R=30\ cm\ </math>, <math>m=50\ g\ </math>, <math>v_0=5\ m/s\ </math>)
<span class="noprint">[[#5. Urto tra punto materiale e disco_2|→ Vai alla soluzione]]</span>
== Soluzioni ==
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===2. Urto vario ===
<span class="noprint">[[#2. Urto vario|→ Vai alla traccia]]</span>
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===3. Proiettile contro asta ===
<span class="noprint">[[#3. Proiettile contro asta|→ Vai alla traccia]]</span>
Dopo l'urto tutta l'energia cinetica (rotazionale) si trasforma in energia potenziale del centro di massa:
:<math>\frac 12I\omega^2=mg\frac l2\ </math>
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===4. Pendolo di Newton ===
<span class="noprint">[[#4. Pendolo di Newton|→ Vai alla traccia]]</span>
a)
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:<math>E_k=\frac 14E_{ko}(1+e^2)^2=\frac 14 mgh_0(1+e^2)^2=mgh_x\ </math>
:<math>h_x=\frac 14h_0(1+e^2)^2=0.245\ m\ </math>
===5. Urto tra punto materiale e disco===
<span class="noprint">[[#5. Urto tra punto materiale e disco|→ Vai alla traccia]]</span>
a)
L'urto tra il corpo ed il disco avviene in assenza di vincoli e di forze impulsive. Pertanto si conservano la quantità di moto ed il momento angolare. La conservazione della quantità di moto si scrive:
:<math>(M+m)\vec v_{CM}=m \vec v_0\ </math>
Le componenti scalari sono:
:<math>(M+m) v_{y,CM}=0\ </math>
:<math>(M+m) v_{x,CM}=mv_0\ </math>
quindi:
:<math>v_{x,CM}=\frac m{m+M}v_0=0.24\ ms\ </math>
b)
Dato che il corpo si conficca sul bordo del disco, il centro di massa del sistema dopo l'urto si collocherà in una posizione tra il centro O del disco ed il bordo del disco. Ricordando la definizione generale di centro di massa e collocando lo zero dell'asse delle ordinate nel centro del disco si ha:
:<math>x_{CM}=0\ </math>
:<math>y_{CM}=m\frac R{m+M}=0.14\ m\ </math>
c)
L'equazione della conservazione del momento angolare si scrive subito in forma scalare dato che tutto il sistema rimane sul piano orizzontale (x,y):
:<math>(R-y_{CM})mv_0=I_{CM}\omega\ </math>
dove i momenti angolari sono riferiti al centro di massa del sistema dopo l'urto. Il momento di inerzia totale del sistema <math>I_{CM}\ </math> è dato dalla somma del momento d'inerzia del disco più quello del corpo, entrambi calcolati rispetto alla posizione del centro di massa. Si ha, applicando il teorema di Huygens-Steiner, la seguente relazione per il momento d'inerzia del disco:
:<math>I_{d,CM}=\frac 12MR^2+My_{CM}^2=MR^2\left[\frac 12+\left(\frac m{m+M}\right)^2\right]\ </math>
Il momento d'inerzia del corpo, da parte sua, vale:
:<math>I_{d,CM}=m(R-y_{CM})^2=mR^2\left(\frac m{m+M}\right)^2\ </math>
Sostituendo si ha per la velocità angolare del centro di massa appena dopo l'urto la seguente espressione:
:<math>\omega=\frac {2mv_0}{R(3m+M)}=1.45\ rad/s\ </math>
[[Categoria:Esercizi di fisica con soluzioni|Urti]]
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