Fisica classica/Dinamica del corpo rigido: differenze tra le versioni
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[[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali| Argomento precedente: Dinamica dei sistemi di punti materiali]]
= Definizione di [[w:Corpo_rigido|corpo rigido]] =
[[File:Flight dynamics with text.png|right|thumb|Una rappresentazione grafica dei 3 angoli che caratterizzano un corpo rigido]]
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Cioè mentre la velocità angolare istantanea è unica, si ha che la velocità istantanea da considerare dipende dal polo scelto per la rotazione.
= [[w:Centro_di_massa|Centro di massa]] di un corpo rigido =
Un corpo rigido si rapprenta in maniera più semplice non come un insieme di punti materiali come appare nella sua natura microscopica (essendo costituito da un insieme di [[w:atomo|atomi]]), ma come un mezzo continuo caratterizzato dalla sua [[w:Densità|densità]]:
:<math>\rho(\vec r)=\frac {dm}{dV}\ </math>
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sostituendo alla sommatoria l'integrale:
:<math>\vec r_{CM}=\frac {\int_V\vec r\rho(\vec r)dV}M\!</math>
Nei corpi omogenei e dotati di simmetria attorno ad un punto, il centro di massa coincide con il punto stesso, analogamente
= Moto rotatorio in particolare=
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La sua espressione nel caso continuo è:
:<math>\vec L = \int \vec r \times \vec v dm\!</math>
===Esempio di un guscio cilindrico===
[[File:Moment_of_inertia_thin_cylinder.png|200px|right|thumb| Un cilindro sottile.]]
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In questo caso è facile calcolare il momento angolare totale. In quanto essendo tutti i punti alla stessa distanza dal centro di rotazione la loro velocità è pari in modulo a <math>v=\omega R\!</math>, quindi il momento angolore totale vale:
:<math>\vec L = MR^2\vec\omega \!</math>
Cioè è proporzionale ad <math>\vec \omega \!</math> mediante una proprietà carateristica del guscio stesso relativa all'asse di rotazione scelto, detto il momento di Inerzia <math>I = MR^2\!</math> . Un anello sottile viene trattato nella stessa maniera.
Il momento di inerzia in tutti i corpi ha la dimensione di una massa per una distanza al quadrato, è una proprietà geometrica del corpo che dipende dall'asse attorno a cui avviene la rotazione.
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L'energia cinetica del corpo rigido si ricava per estensione di quella di un sistema di particelle:
:<math>E_k = \frac 12 \int v^2 dm\!</math>
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ma <math>\omega d\!</math> è la velocità del centro di massa <math>v_{CM}\!</math>:
:<math>E_k = \frac 12 I_c\omega^2+\frac 12 Mv_{CM}^2\!</math>
L'espressione appena data vale anche nel caso più generale del moto rototraslatorio. In cui si ha
sia <math>v_{CM}\ne 0\!</math> che una rotazione attorno ad un asse istantaneo di rotazione.
L'espressione separa l'energia cinetica in energia cinetica rotazionale e in energia cinetica dovuta al moto traslazionale del centro di massa.
Abbiamo visto nella dinamica del punto che vi è un legame tra la variazione della [[Fisica_classica/Energia_e_lavoro#Energia Cinetica|energia cinetica]] ed il lavoro:
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:<math>E=\frac 12I\omega^2+E_p \!</math>
= [[w:Moto_di_puro_rotolamento|Moto di puro rotolamento]] =
[[File:Moglfm2207_rodadura.jpg|right|250px|thumb|Esempio di moto di puro rotolamento di una ruota. Il punto O di contatto istantaneo ha velocità nulla.]]
Un moto che ha notevole importanza è quello in cui il punto di contatto tra il corpo rigido e il piano di appoggio abbia velocità nulla. In questo caso l'asse di rotazione non è un asse materiale ma geometrico, ovvero si sposta insieme al corpo rigido. Il corpo ruota così attorno al punto di contatto con il piano che rimane fermo e quindi è sottoposto ad una forza di attrito statico. La ruota che ha avuto una importanza fondamentale nello sviluppo della società in condizioni normali di lavoro è ben descritta da questo tipo di moto. La forza di attrito statico è quella che garantisce l'immobilità del punto di contatto, notiamo che dopo un tempo <math>dt</math> il punto di contatto diventa un punto infinitesimo vicino e via di seguito.
Indichiamo con <math>\vec R</math> è il vettore che ha origine nel centro C e l'altro estremo sul punto di contatto O con il piano. <math>\vec \omega</math> è un vettore uscente dal piano.
In generale la velocità del punto di contatto è pari a:
:<math>\vec v_O=\vec v_{C}+\vec \omega \times \vec R</math>
per essere nulla occorre che:
:<math>\vec v_{C}=-\vec \omega \times \vec R</math>
Quindi se il corpo si muove verso destra, come nella figura, la rotazione avviene in senso orario. In modulo quindi
:<math>v_{C}=\omega R</math>
cioè nel moto di puro rotolamento esiste una relazione ben precisa tra la velocità del centro di massa e la velocità angolare (che ricordiamo non dipende dalla scelta del polo). Se quindi la velocità del centro cambia nel tempo, cioè il moto è accelerato, la stessa cosa deve fare la velocità angolare per cui:
:<math>a_{CM}=\alpha R</math>
Vale la pena di studiare alcuni casi particolari:
== Moto di puro rotolamento con sola forza applicata al CM==
[[File:RuotaF.png|thumb|Una ruota soggetta all'azione di una forza F applicata sull'asse]]
Immaginiamo di avere un corpo rigido a sezione circolare di raggio <math>R</math> e massa <math>m </math> come mostrato in figura su cui agisce una forza motrice sul centro di massa parallela al piano di appoggio orizzontale.
La figura mette in evidenza le varie forze agenti sul corpo:
la <math>F</math> parallela al piano applicata sul centro di massa;
<math>f</math> la forza di attrito statico; la forza peso <math>m g</math>, la reazione vincolare <math>N</math>.
La reazione vincolare bilancia esattamente la forza peso (se la superficie fosse un piano inclinato l'equazioni sarebbero diverse):
:<math>N=mg</math>
Mentre per quanto riguarda la direzione orizzontale, l'equazione oraria è:
:<math>F-f=ma_{CM}\rightarrow a_{CM}=\frac {F-f}m</math>
Per quanto riguarda il momento angolare ([[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale| seconda equazione cardinale]]), definendo con <math>I</math> il momento di inerzia del corpo che rotola e scelto il centro di massa come polo:
:<math>Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {R^2 f}I </math>
Eguagliando le due espressioni:
:<math>\frac {F-f}m=\frac {R^2 f}I</math>
L'unica incognita diventa f che quindi vale:
:<math>f=\frac F{1+mR^2/I}\ </math>
Quindi la forza di attrito in modulo è sempre inferiore al valore della forza trainante. Ma in ogni caso deve anche valere la condizione che:
:<math>f\le\mu_s N=\mu_smg\ </math>
Questo impone che per garantire un moto di puro rotolamento la forza da applicare
al centro di massa deve essere inferiore ad un certo valore massimo:
:<math>F_{max}\le \mu_s mg(1+mR^2/I)\ </math>
Notare che se viene applicata una forza maggiore di <math>F_{max}</math>, il punto di contatto striscierebbe, in quanto la forza di attrito statico non è più sufficiente a bloccarlo sul piano di appoggio si ha quindi che il moto diventa rototraslatorio in quanto:
:<math>|\vec v_{C}|>|\vec \omega \times \vec R|</math>
quindi più grande è la forza applicata più il moto diventa simile ad un moto traslatorio.
La funzione dell'attrito statico è essenziale nel moto di puro rotolamento, in quanto causa un momento di una forza (fR) che fa ruotare il corpo, e quindi il corpo trasla (per effetto della forza F applicata) e contemporaneamente ruota a causa dell'attrico. Se non ci fosse attrito il corpo semplicemente traslerebbe. Notare che se la sezione del corpo ruotante non è perfettamente circolare il moto diventerebbe in quei punti di contatto prevalentemente traslatorio e la forza di attrito svolgerebbe anche un'azione frenante; l'esempio più chiaro è per le ruote delle automobili non motrici se sgonfie.
Se la forza fosse stata frenante, quindi con direzione opposta, anche la forza di attrito cambierebbe di segno, quindi tutte le equazioni rimarrebero eguali, assieme alla condizione sulla forza massima applicabile.
== Moto di puro rotolamento con solo momento applicato sull'asse==
[[File:RuotaM.png|thumb|Ruota soggetta ad un momento M applicato all'asse di rotazione.]]
Questo è il caso delle ruote motrici di una automobile in cui viene applicata una coppia sull'asse delle ruote stesse. Nella figura sono mostrate le forze ed i momenti. Immaginiamo che il moto si svolga su un piano orizzontale. Notare il verso della forza di attrito che è opposto al caso precedente. Il caso considerato è quello in cui come in figura si ha un momento motore.
La reazione vincolare bilancia esattamente la forza peso come nel caso precedente. Ma per quanto riguarda la componente orizzontale si ha:
:<math>f=ma_{CM}\rightarrow a_{CM}=\frac fm\ </math>
Per quanto riguarda il momento angolare, tenendo presente che se il momento fa ruotare il corpo in senso orario, la forza di attrito esercita un momento che si oppone:
:<math>M-Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {MR-R^2f}I</math>
Eguagliando le due espressioni:
:<math>\frac fm=\alpha R=\frac {MR-R^2f}I</math>
L'unica incognita diventa f che vale:
:<math>f=\frac M{R(1+I/mR^2)}\ </math>
la forza d'attrito è la forza che causa il moto traslatorio, ma anche in questo caso si ha la condizione che:
:<math>f\le\mu_s N=\mu_smg\ </math>
e quindi:
:<math>M_{max}\le\mu_s mgR(1+I/mR^2)\ </math>
Se il momento applicato è maggiore di <math>M_{max}</math> il moto rotatorio è prevalente sul moto traslatorio. Questo è il caso delle ruote motrici di una automobile quando su di esse viene applicato un momento maggiore di quello che permette la trazione e le ruote slittano.
La forza di attrito è la forza che causa il moto traslatorio, la ragione per cui i pneumatici delle autombili sono fatti di gomma è per avere un elevato attrico statico con il fondo stradale.
Notiamo che se ci fosse stato un momento frenante la forza di attrito avrebbe avuto verso opposto, ed avrebbe quindi l'effetto di rallentare il moto. Ma l'espressione del momento massimo applicabile sarebbe stata la stessa.
== Moto di puro rotolamento con un momento ed un forza applicata==
[[File:RuotaMF.png|thumb|Ruota che sale su un piano inclinato spinta da un momento che agisce sul suo asse]]
Il caso qui studiato si ha quando sul corpo agisce contemporaneamente una forza: nella figura la componente della forza peso nella direzione del piano inclinato <math>ma_{CM}=mg\sin \theta\ </math>;
un momento M in senso orario ed la forza di attrito.
Il caso ha un carattere generale se a <math>mg\sin \theta\ </math> viene sostituita una forza generica con una componente parallela al piano di appoggio. Il moto può essere in salita come nella figura o in discesa quindi con <math\theta<0\ </math>.
La reazione vincolare bilancia esattamente la componente della forza peso perpendicolare al piano:
:<math>N=mg\cos \theta\ </math>
Mentre la legge del moto nella direzione del piano di appoggio:
:<math>ma_{CM}=f-mg\sin \theta\rightarrow a_{CM}=\frac fm -g\sin \theta\ </math>
Per quanto riguarda il momento angolare, tenendo presente che se il momento fa ruotare il corpo in senso orario la forza di attrito esercita un momento che si oppone:
:<math>M-Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {MR-R^2f}I\ </math>
Dalla eguaglianza delle due ultime espressioni segue che:
:<math>f=\frac {M/(mR)+Ig\sin \theta/(R^2)}{1+I/(mR^2)}\ </math>
Sostituendo nella prima espressione il valore di <math>f\ </math>:
:<math>a_{CM}=\frac 1m \frac {M/R-mg\sin \theta}{1+I/(mR^2)}\ </math>
Notiamo che se <math>\theta<0\ </math> e <math>M/(mR)=-Ig\sin \theta/(R^2)\ </math> il valore di f è nullo: cioè è possibile un moto di puro rotolamento anche in assenza di attrito, se poi sempre in discesa <math>M/(mR)<-Ig\sin \theta/(R^2)\ </math> la forza di attrito cambia segno rispetto a quanto indicato nella figura. Anche in questo caso si hanno delle condizioni sul momento massimo applicabile in funzione della pendenza.
==[[w:Attrito_volvente#Attrito_volvente|Attrito volvente]]==
Nel moto di puro rotolamento la forza di attrito statico non esercita nessun lavoro in quanto il punto di applicazione non cambia. Bisogna aggiungere che pure nei corpi che rotolano senza striciare si nota che si fermano dopo un certo tempo o se si vuole un piano inclinato inferiore ad una certa pendenza non riesce a fare rotolare oggetti di sezione circolare.
La giusticazione che viene data è che esiste un attrito dovuto alla deformazione locale del piano di appoggio (il corpo rigido è indeformabile per definizione, ma nella pratica è deformabile anche esso). Il coefficiente di attrito volvente produce un moemnto frenante pari a :
:<math>M_f=hN \,\!</math>
con <math>h\ </math> coefficiente di attrito volvente, che ha le dimensioni di una lunghezza
(la massima deformazione), <math>N\ </math> la reazione vincolare.
In genere l'attrito volvente esercita una azione trascurabile.
== [[w:Pendolo_composto|Pendolo composto]] ==
[[File:Physical-Pendulum-Labeled-Diagram.png|200px|right|thumb|Un pendolo composto ]]
Chiamiamo pendolo composto o fisico un corpo rigido che oscilla attorno ad un asse orizzontale non passante per il centro di massa.
Spostando il pendolo composto dalla posizione di equilibrio di un angolo Θ, la forza peso tende a riportare il pendolo verso la posizione di equilibrio.
Il momento della forza peso, che agisce come un momento di richiamo verso la posizione di equilibrio, è parallelo all'asse di rotazione e vale
:<math>{M} = {-{mgL}}\sin{\theta}</math>
dove <math>L\ </math> è la distanza tra il centro di rotazione ed il centro di massa.
Supponendo trascurabile l'attrito nella rotazione attorno all'asse e supponendo che eventuali momenti dovuti alle reazioni dei supporti risultano ortogonali all'asse stesso, l'equazione [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale| seconda equazione cardinale]] diventa:
: <math> \frac{d\vec L_z}{dt} = {I_z}\alpha = {I_z}\frac{\mathrm{d}^2{\theta}}{\mathrm{d}t^2} = {-{mgL}}\sin{\theta}</math>
Indicando con <math>I_z\ </math> è il momento di inerzia del corpo rispetto all'asse di rotazione orizzontale ''z''.
Quindi:
: <math> \frac{\mathrm{d}^2{\theta}}{\mathrm{d}t^2} + \frac{{{mgL}}\sin{\theta}}{I_z} = 0 </math>
Se l'ampiezza delle oscillazioni è piccola, usando lo [[w:sviluppo di Taylor|sviluppo di Taylor]], si può approssimare senθ con θ, ottenendo
: <math> \frac{\mathrm{d}^2{\theta}}{\mathrm{d}t^2} + \frac{{{mgL}}\theta}{I_z} = 0 </math>
che è l'equazione del [[w:moto armonico|moto armonico]] la cui equazione oraria è:
: <math> \theta = {\theta_0}\sin\left(\omega t + \varphi_0\right)</math>
La [[w:Velocità angolare|pulsazione]] è
: <math> \omega = \sqrt{\frac{mgL}{I_z}} </math>
e il periodo vale
: <math> T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{I_z}{mgL}} = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} </math>
dove <math>l=I_z/mL\ </math> rappresenta la '''lunghezza ridotta del pendolo composto''' e corrisponde alla lunghezza del filo di un [[w:pendolo semplice|pendolo semplice]] che oscilla con lo stesso periodo.
Quando l'ampiezza delle oscillazioni è grande il pendolo si muove ancora di moto periodico, ma non più armonico.
==Bibliografia==
* {{cita libro||P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci|Elementi di Fisica (Meccanica e Termodinamica)|2007|Edises|ISBN 978-88-7959-418-9|ed=2}}
[[Categoria:Fisica classica|Dinamica del corpo rigido]]
[[Fisica_classica/Urti| Argomento seguente: Urti]]
{{Avanzamento|100%|5 gennaio 2014}}
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