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Fisica classica/Energia e lavoro: differenze tra le versioni

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La unità di misura del lavoro nel [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|Sistema Internazionale]] è il newton x metro o [[w:Joule|joule]] (J). Questa unità di misura è anche l'unità di misura di tutte le forme di energia. Nelle grandezze elemantari MLT del sistema internazionale le dimensioni fisiche dell'energia sono <math>[M][L]^2[T]^{-2}</math> essendo le forze delle <math>[M][L][T]^{-2}</math>.
 
Il lavoro fatto da una forza costante di grandezza ''F'' su un punto che si muove compiendo uno spostamento ''d'' nella direzione della forza è seplicementesemplicemente il prodotto:
 
:<math>W = Fd.</math>
Ad esempio, se una forza di 100 newton (''F'' = 100 N) agisce su un punto materiale che percorre
2 metri (''d'' = 2 m), nella direzione della forza, essa compie un lavoro ''W'' = (100 N)x(2 m) = 200 N m = 200 J. Questo è
''W'' = (100 N)x(2 m) = 200 N m = 200 J. Questo è approssimativamente il lavoro che si fa alzando
una massa di 10&nbsp;kg da terra a sopra la testa di una persona.
Poichè le dimensioni fisiche del lavoro sono eguali a quelle del momento meccanico (che vedremo nel seguito) che ha un ben diverso significato, viene sconsigliato di misurare il lavoro in newton x metro, ma si consiglia di usare il joule.▼
una persona.
▲Poichè le dimensioni fisiche del lavoro sono eguali a quelle del momento meccanico viene sconsigliato di misurare il lavoro in newton x metro, si consiglia di usare il joule.
[[File:Mehaaniline_töö.png|thumb|250px|Lavoro di una forza]]
 
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:<math>W=\int_A^B \vec F \cdot d\vec s</math>
 
Dal punto di vista lessicale il lavoro fatto da una forza non è posseduto, ma scambiato tra sistemi.
 
== [[w:Potenza_(fisica)|Potenza]] di una forza==
La potenza istantanea corrisponde al lavoro per unità di tempo:
:<math>P=\frac{dW}{dt}=\vec F \cdot \frac {d\vec s}{dt}=\vec F \cdot \vec v=F_T v</math>
Cioè esprime in qualche maniera quanto velocemente viene erogato il lavoro. Tale grandezza serve a quantificare le prestazioni sia nel lavoro umano, o animale oche dellenelle macchine. Rappresenta quindi una misura delle velocità con cui viene erogato il lavoro. La potenza ha le dimensioni di una energia diviso un tempo. La sua unità di misura è il watt che ha come simbolo '''W'''. Il concetto di potenza è ben noto dagli albori della civiltà e veniva quantizzato dalla potenza dei cavalli da cui deriva l'unità di misura ora obsoleta il [[w:Cavallo_vapore|cavallo vapore]] (simbolo hp) che corrisponde a 735 W.
 
Estendendo l'esempio precedente di una massa di 10 kg alzata da terra fino a sopra la testa.
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L'energia cinetica di un corpo materiale di massa <math>m</math> con velocità <math>v</math> è dato da:
:<math>E_k = \frac 12 mv^2.</math>
Le dimensioni fisiche di tale quantità sono quelle di una energia: <math>[M][L]^2[T]^{-2}</math> (J). La giustificazione dell'espressìone della energia cinetica si ricava dall'analisi di quello che succede se una forza agendo su un corpo di massa <math>m</math> con velocità iniziale <math>v_o</math> ne varia la velocità portandola fino <math>v_ov_f</math> lungo una traiettoria descritta dal tratto infinitesimo <math>d\vec s</math>:
:<math>dW= F_T ds=ma_Tds=m\frac {dv}{dt}ds=m\frac {ds}{dt}dv</math>
Integrando tale differenziale si ha che il collegamento tra lavoro e variazione di energia cinetica:
:<math>W= \int_o^fmvdv=\frac 12mv_f^2-\frac 12mv_o^2=\Delta E_k</math>
Il simbolo <math>\Delta</math> indica la differenza tra l'energia cinetica finale e quella iniziale prodotta dal lavoro fatto dalle forze esterne, qualsiasi sia la loro natura.
Se il lavoro è positivo l'energia cinetica aumenta, se il lavoro è negativo l'energia cinetica diminuisce. Notiamo che se le forze agiscono in direzione perpendicolare alla traiettoria (forze centripete) il lavoro fatto è nullo e l'energia cinetica non varia.
 
La relazione tra il lavoro fatto dalla risultante delle forze agenti su un coprocorpo e la variazione di energia cinetica prende il nome di [[w:Teorema_dell'energia_cinetica|teorema del lavoro]], tale teorema vale per qulasiasi tipo di forze anche quelle variabili con il tempo o con la posizione, ema solo per sistemi a massa costante.
 
Vi è una relazione tra l'energia cinetica e la [[Fisica_classica/Dinamica#Quantità di Moto|quantità di moto]]: ricordando che <math>\vec p = m\vec v.</math> :
:<math>E_k = \frac {p^2}{2m}\qquad p = \sqrt {2mE_k}</math>
 
L'energia cinetica al contrario del lavoro è una proprietà che viene posseduta dadal unpunto sistemamateriale, ma che possiamo associare anche ai sistemi.▼
 
▲L'energia cinetica al contrario del lavoro è una proprietà che viene posseduta da un sistema.
 
=Energia potenziale=
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Nel caso di forze costanti il calcolo del lavoro
totale è seplicemente,semplicemente dato da (riferendosi alla figura a fianco,):
:<math>W=\int_o^f \vec F \cdot d\vec s=\vec F \cdot \int_o^f d\vec s=\vec F\cdot \vec d =Fh</math>
essendo <math>\vec F</math> dietto lungo la verticale.
[[File:PotentialEnergy_Gravitational2.png|thumb|350px|Forza peso e sua energia potenziale]]
Nel caso specifico della [[Fisica_classica/Dinamica#Forza peso|forza peso]] in cui <math>F=-mg</math> e quindi il lavoro fatto è:
:<math>W=-mgh</math>
Notiamo come il lavoro non dipenda dalla traiettoria, ma solo dalla differenza di quota (positivo se si diminuisce la quota e negativo nel caso opposto9.
 
Definendo <math>h_o</math> e <math>h_f</math> le quote iniziali e finali il teorema del lavoro nel caso della sola forza peso diviene:
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Consideriamo la [[Fisica_classica/Dinamica#Forza elastica|forza elastica]] nel caso unidimensionale assunta come origine la posizione di equilibrio:
:<math>F =- k x</math>
Il lavoro per andare dalla posizione iniziale <math>x_o</math> a quella finale <math>x_f</math> è:
:<math>W=\int_o^f F dx=-k\int_o^f xdx=\frac 12kx_o^2-\frac 12kx_f^2</math>
Per il teorema del lavoro:
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Se definiamo <math>E_p=\frac 12kx^2</math> (energia potenziale elastica):
:<math>E_{po}+\frac 12mv_o^2=E_{pf}+\frac 12mv_f^2</math>
Anche in questo caso la energia meccanica si conserva. AllaSe massimaconsideriamo [[Fisica_classica/Cinematica#Moto_armonico_semplice|moto armonico]], quando l'elongazione è massima l'energia potenziale è massima mentreed l'energia cinetica è nulla, mentre quando il sistema passa per la posizione di equilbrio la energia potenziale è nulla e tutta l'energia è diventatadiviene cinetica.
 
== Lavoro della forza di attrito dinamico==
La [[Fisica_classica/Dinamica#Forza_di_attrito_dinamico|forza di attrito dinamico]] è diretta nella direzione dellaopposta alla velocità e quindi dello spostamento <math>d\vec s</math>. Quindi il lavoro che si compie andando dalla posizione iniziale a quella finale è pari a:
:<math>W=\int_o^f \vec F \cdot d\vec s=-\mu_d N \int_o^f d\vec s=-\mu_d N \ell</math>
dove <math>\ell</math> è il cammino totale percorso. A differenza dei casi precedenti la posizione finale ed iniziale non bastano per caratterizzare il lavoro svolto, anzi per stesse posizioni iniziali e finali il lavoro, sempre negativo, può assumere valori molto diversi.
In questo caso l'energia meccanica non si conserva in quanto via via che viene percorsa la traiettoria l'energia cinetica diminiusce senza aumentare una qualche forma di energia potenziale. In realtà l'energia meccanica viene trasformata in calore che è un'altra forma di energia (non meccanica). Quindi il punto materiale ha una energia cinetica iniziale e via la perde per attrito, fino a fermarsi quando dominainizia a dominare la forza di attrito statico.
 
Il teorema del lavoro diviene in questo caso:
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==Forze conservative==
[[File:Konservative_Kraft_Wege.png|thumb|250px|Due cammini diversi tra il punto 1 ed il punto 2]]
I tre casi esaminati descrivono dei casi che si possono generalizzare, infatti mentre il lavoro della forza peso e di quella elastica non dipendono dal percorso seguito per andare dalla posizione iniziale a quella finale, nel terzo caso, laquello relativo alla forza di attrito, il lavoro dipende dal percorso. Le forze in cui il lavoro non dipende dal percorso seguito vengono dette '''forze conservative'''. Nelle figura a fianco vengono mostrati due qualsiasi cammini diversi che collegano i punti 1 e 2. Se:
:<math>W=\int_{1}^2(\vec F \cdot ds)_{S1}= \int_{1}^2(\vec F \cdot ds)_{S2}</math>
la forza è conservativa.
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==Dall'energia potenziale alla forza==
Se conosciamo in una regione di spazio l'energia potenziale di un punto materiale possiamo ricavare le forze che agiscono sul punto materiale con una operazione che l'inverso di quella che abbiamo usata per definire l'energia potenziale. Tale relazione si ottiene
Esplicitiamoesplicitando la relazione differenziale che collega l'energia potenziale al lavoro in coordinate cartesiane:
:<math>dE_p=\frac{\partial E_p}{\partial x}dx+\frac{\partial E_p}{\partial y}dy+\frac{\partial E_p}{\partial z}dz=-F_xdx-F_ydy-F_zdz</math>
Da cui:
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Un modo più compatto fa uso di un [[w:Operatore_(fisica)|operatore]] cioè una operazione matematica chiamata '''gradiente''' ed indicato con <math>\nabla=\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}</math>.
Questo operatore applicato ad uno scalare genera un vettore e quindi, in questo caso particolare, ildal gradiente della funzione energia potenziale ritornasi ottengono le componenti cartesiane della forza in questione.
 
:<math>\vec F =- \vec{grad} E_p=-\vec \nabla E_p</math>
Riga 156:
 
Introduciamo ora il concetto di momento di un vettore.
Definiamo come '''momento del vettore''' <math>\vec v</math> applicato in un punto '''P ''' ad una certa distanza da un punto '''O''' il vettore
:<math>\vec M_OM=\vec{OP} r \times \vec v</math>.
definendo <math>\vec r=\vec {OP}</math>. Il modulo è dato da :
:<math>M=rv \sin \theta = v d \,\!</math>
 
Il modulo è dato da <math>M_O=OP v \sin \theta = v d \,\!</math> dove <math>\theta \,\!</math> è l'angolo formato dalla direzione del vettore <math>\vec v</math> con la direzione di <math>\vec {OP}r</math> e quindi '''d''' non è altro che la distanza deltra il punto '''O''' dallae la retta (direttrice) su cui giace il vettore di <math>\vec v</math> e verràviene chiamato '''braccio'''.
 
Facciamo notare come il modulo, essendo dipendente da '''d''' e non da '''OPr''', non dipende dal punto in cui viene applicato il vettore <math>\vec v</math> lungo la sua direttrice.
I momenti hanno una importanza fondamentale nella dinamica dei sistemi, ma si possono definire anche nella dinamica del punto materiale per quanto riguarda sia il '''momento angolare''' ed il '''momento di una forza'''
 
A questo punto ritorniamo ai nostri concetti ormai familiari di forza e velocità e definiamo due concetti come il '''momento angolare''' ed il '''momento di una forza'''
 
== Momento angolare ==
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Il momento angolare <math>\vec L</math> è definito come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione <math>\bar r</math> (rispetto alla stessa origine) e il vettore quantità di moto <math>\vec p</math>:
 
:<math> \vec L = \vec r \times \vec p = \vec r \times \vec p </math>
 
Il [[w:modulo_(algebra)|modulo]] di <math>\vec L</math> è quindi definito da:
 
:<math>{L} = {{r} {mv}}\sin{\theta}=mvd\, </math>
 
La direzione di <math>\vec L</math> è perpendicolare al piano definito da <math>\vec v</math> e da <math>\vec r</math>; il verso è quello di un osservatore che vede ruotare <math>\vec v</math> in senso antiorario. La grandezza <math>d={r}\sin{\theta}</math>, distanza dell'asse di rotazione dalla retta su cui giace <math>\vec v</math> è dettail ''braccio'' di <math>\vec vp</math>.
 
Se <math>\vec v</math> e <math>\vec r</math> sono tra loro perpendicolari il momento angolare è massimo e questo avviene quando <math>\sin \theta = 1</math>. Il momento angolare è nullo invece se la quantità di moto o il braccio sono nulli, oppure se <math>\vec v</math> è parallelo ad <math>\vec r</math>, in tal caso infatti <math>\sin \theta = 0</math>.
 
Ricordando come la velocità istantanea abbia una componente radiale <math>\vec v_r</math> ed una angolare <math>\vec v_\theta</math> in [[Fisica_classica/Cinematica#Velocit.C3.A0_in_coordinate_polari|coordinate polari]]
Quindi essendo
:<math>\vec L=\vec r \times m \vec v</math>
sostituendo a <math>\vec v=v_r\hat u_r+v_{\theta}\hat u_{\theta}</math> si ha che:
:<math>\vec L=\vec r \times m(v_r\hat u_r+v_{\theta}\hat u_{\theta})=mrv_\theta\hat u_r \times \hat u_{\theta}</math>
In modulo:
Il modulo vale :<math>L=m r v_\theta= m rmr^2 \frac {d \theta}{dt}</math>. La costanza di ▼
 
Si definisce '''momento angolare assiale''' il momento angolare proiettato su un asse passante per il polo.
 
IlLa dimensione fisica del momento angolare è [M}[L}<sup>2</sup>[T]<sup>-1</sup> e quindi nel [[w:Sistema internazionale di unità di misura|SI]] si misura in kg·m²/s. QuestaLa unitàsue di misuradimensione coincide con laquellea grandezza di undell'[[w:Azione (fisica)|azione]] (ovvero di un'energia per un tempo), anchema seil isignificato significati fisicifisico di azione e momento angolare sono completamenti differenti. IlInoltre il momento angolare è una grandezza vettoriale mentre l'azione è uno scalare.
 
 
Line 187 ⟶ 197:
Il momento di una forza ha l'espressione:
:<math>\vec {\tau}= \vec r \times \vec F</math>
e possiamo notare che se vi sono più forze applicate la cui risultante è <math>\vec R</math> in un punto, si ha che:
:<math>\vec {\tau} = \vec r \times \vec R</math>
 
Line 193 ⟶ 203:
:<math>\frac{d \vec L}{dt} = \frac {d \vec r}{dt} \times m \vec v + \vec r \times m \frac{d \vec v}{dt}</math>
 
Nel caso che il polo '''O''' sia fermo lail primaprimo quantitàtermine è nulla in quanto il corpo avrebbe velocità <math>\vec v = \frac {d \vec r}{dt}</math> ed il prodotto vettoriale si annullerebbenullo.
Il secondo termine coincide con la forza applicata moltiplicata vettorialmente per la distanza dal punto '''O'''. Ricaviamo così che
:<math>\frac{d \vec L}{dt}= \vec {\tau}</math>.
 
Inoltre è importante notare il caso in cui la forza sia applicata lungo la stessa direttice di <math>\vec r</math> allora <math>\vec {\tau}=0</math> e di conseguenza
:<math>\frac{d \vec L}{dt}=0</math>
e quindi
:<math>\vec L = costante</math>.
 
Le dimensione fisica del momento di una forza sono [M}[L}<sup>2</sup>[T]<sup>-2</sup> e quindi nel [[w:Sistema internazionale di unità di misura|SI]] si misura in kg·m²/s². La dimensione coincide con quella dell'energia, ma qui è evidente la differenza. Inoltre il momento di una forza è una grandezza vettoriale mentre l'energia è uno scalare.
Poniamo attenzione al valore di <math>\vec L</math>: sappiamo che vale <math>\vec L=\vec r \times m \vec v</math> ma <math>\vec v=\vec v_\theta+\vec v_r</math>. In questo caso <math>\vec L=\vec r \times m(\vec v_\theta + \vec v_r)</math> e la parte <math>\vec v_r</math> si annulla in un prodotto vettoriale con <math>\vec r</math> in quanto paralleli lasciando quindi <math>\vec L = \vec r \times m \vec v_\theta</math>.
 
==Lavoro del momento di una forza==
Nel moto circolare l'espressione del lavoro:
:<math>W=\int_A^B \vec F \cdot d\vec s</math>
essendo <math>ds=Rd\theta</math> si riduce a:
:<math>W=\int_{\theta_A}^{\theta_B} rF_rd\theta=\int_{\theta_A}^{\theta_B} \tau d\theta</math>
 
[[File:ArealVelocity.svg|thumb|left|300px|alt=|L'area percorsa in giallo è eguale al triangolo formato dai lati <math>r(t)</math> e <math>r(t+dt)=rd\theta </math> .]]
==Forze centrali==
Una forza è detta centrale di centro O se in ogni punto escluso il centro la direzione della forza passa per il centro medesimo ed Il modulo è unicamente funzione della distanza tra il punto e il centro:
▲Il modulo vale <math>L=m r v_\theta= m r^2 \frac {d \theta}{dt}</math>. La costanza di
:<math>
<math>\vec L</math> in un campo di forza centrale implica così la costanza del prodotto <math>r^2 \frac{d\theta}{dt}</math> e sarà la chiave per la condizione della costanza della velocità areale nella gravitazione newtoniana.
\vec F = F(r)\hat{\mathbf{r}}
</math>
Una forza centrale on dipende nè dal tempo nè da altre proprietà locali.
[[File:Keplero_legge_delle_aree.svg|thumb|left|300px|alt=|Esempio dell'applicazione della legge sulla costanza della velocità areolare al moto dei pianeti attorno al sole]]
Essendo <math>\vec r</math> e <math>\vec F</math> paralleli:
:<math>\vec {\tau}= 0\rightarrow \frac{d \vec L}{dt}=0</math>
Quindi il momento angolare <math>\vec L</math> è costante, inoltre per come è definito, è <math>\vec L</math> sia costante determina tra l'altro che il verso di percorrenza sia fissato.
Inoltre essendo:
:<math>\frac {dL}{dt}=0</math>
segue che:
:<math>r^2\frac {d^2\theta}{dt^2}=0</math>
Ma come si vede dalla figura subito sopra tale grandezza nulla corrisponde alla derivata della [[w:Velocità_areolare|velocità areolare]]. Si chiama velocità areolare una quantità pari alla derivata rispetto al tempo dell'area spazzata dal vettore posizione (raggio vettore) <math>\vec r</math>. In definitiva il fatto che il modulo di L sia costante comporta che nella dinamica in presenza di forze centrali la velocità areolare rimane costante.
 
Se la traiettoria è chiusa essendo la derivata costante si ha che il rapporto tra l'area totale <math>A_t</math> (area all'interno della traiettoria) ed il periodo <math>T</math> vale:
:<math>\frac {A_t}T=\frac L2</math>
 
Tali proprietà sono particolarmente importanti nella dinamica celeste, la costanza della velocità areolare va infatti sotto il nome di
[[w:Leggi_di_Keplero#Seconda_legge_.281609.29_-_Legge_delle_aree|II legge di Keplero]].
 
 
==Bibliografia==
* {{cita libro | cognome= Mazzoldi | nome= Paolo | coautori= Massimo Nigro, Cesare Voci | titolo= Fisica | volume= 1 | editore= Edises | città= | ed= 2 | anno= 2000 | id= ISBN 8879591371 | cid= Mazzoldi | url= http://books.google.it/books?id=O6s7AAAACAAJ}}
 
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[[Categoria:Fisica classica]]
{{Avanzamento|75100%|56 Agosto 2013}}
Estratto da "https://it.wikibooks.org/wiki/Fisica_classica/Energia_e_lavoro"