Utente:Pasquale.Carelli/Sandbox2: differenze tra le versioni
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== [[w:Potenza_(fisica)|Potenza]] di una forza==
La potenza istantanea corrisponde al lavoro per unità di tempo:
:<math>P=\frac{dW}{dt}=\vec F \cdot \frac {d\vec s}{dt}=\vec F \cdot \vec v=F_T v</math>
Cioè esprime in qualche maniera quanto velocemente viene erogato il lavoro. Tale grandezza serve a quantificare le prestazioni sia nel lavoro umano
Estendendo l'esempio precedente di una massa di 10 kg alzata da terra fino a sopra la testa.
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L'energia cinetica di un corpo materiale di massa <math>m</math> con velocità <math>v</math> è dato da:
:<math>E_k = \frac 12 mv^2.</math>
Le dimensioni fisiche di tale quantità sono quelle di una energia: <math>[M][L]^2[T]^{-2}</math> (J). La giustificazione dell'espressìone della energia cinetica si ricava dall'analisi di quello che succede se una forza agendo su un corpo di massa <math>m</math> con velocità iniziale <math>v_o</math> ne varia la velocità portandola fino <math>
:<math>dW= F_T ds=ma_Tds=m\frac {dv}{dt}ds=m\frac {ds}{dt}dv</math>
Integrando tale differenziale si ha che il collegamento tra lavoro e variazione di energia cinetica:
:<math>W= \int_o^fmvdv=\frac 12mv_f^2-\frac 12mv_o^2=\Delta E_k</math>
Il simbolo <math>\Delta</math> indica la differenza tra l'energia cinetica finale e quella iniziale prodotta dal lavoro fatto dalle forze esterne, qualsiasi sia la loro natura.
Se il lavoro è positivo l'energia cinetica aumenta, se il lavoro è negativo l'energia cinetica diminuisce. Notiamo che se le forze agiscono in direzione perpendicolare alla traiettoria (forze centripete) il lavoro fatto è nullo e l'energia cinetica non varia.
La relazione tra il lavoro fatto dalla risultante delle forze agenti su un
Vi è una relazione tra l'energia cinetica e la [[Fisica_classica/Dinamica#Quantità di Moto|quantità di moto]]
:<math>E_k = \frac {p^2}{2m}\qquad p = \sqrt {2mE_k}</math>
L'energia cinetica al contrario del lavoro è una proprietà che viene posseduta
▲L'energia cinetica al contrario del lavoro è una proprietà che viene posseduta da un sistema.
=Energia potenziale=
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Nel caso di forze costanti il calcolo del lavoro
totale è semplicemente
:<math>W=\int_o^f \vec F \cdot d\vec s=\vec F \cdot \int_o^f d\vec s=\vec F\cdot \vec d =Fh</math>
essendo <math>\vec F</math> dietto lungo la verticale.
[[File:PotentialEnergy_Gravitational2.png|thumb|350px|Forza peso e sua energia potenziale]]
Nel caso specifico della [[Fisica_classica/Dinamica#Forza peso|forza peso]] in cui <math>F=-mg</math> e quindi il lavoro fatto è:
:<math>W=-mgh</math>
Notiamo come il lavoro non dipenda dalla traiettoria, ma solo dalla differenza di quota (positivo se si diminuisce la quota e negativo nel caso opposto9.
Definendo <math>h_o</math> e <math>h_f</math> le quote iniziali e finali il teorema del lavoro nel caso della sola forza peso diviene:
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Se definiamo <math>E_p=\frac 12kx^2</math> (energia potenziale elastica):
:<math>E_{po}+\frac 12mv_o^2=E_{pf}+\frac 12mv_f^2</math>
Anche in questo caso la energia meccanica si conserva.
== Lavoro della forza di attrito dinamico==
La [[Fisica_classica/Dinamica#Forza_di_attrito_dinamico|forza di attrito dinamico]] è diretta nella direzione
:<math>W=\int_o^f \vec F \cdot d\vec s=-\mu_d N \int_o^f d\vec s=-\mu_d N \ell</math>
dove <math>\ell</math> è il cammino totale percorso. A differenza dei casi precedenti la posizione finale ed iniziale non bastano per caratterizzare il lavoro svolto, anzi per stesse posizioni iniziali e finali il lavoro, sempre negativo, può assumere valori molto diversi.
In questo caso l'energia meccanica non si conserva in quanto via via che viene percorsa la traiettoria l'energia cinetica diminiusce senza aumentare una qualche forma di energia potenziale. In realtà l'energia meccanica viene trasformata in calore che è un'altra forma di energia (non meccanica). Quindi il punto materiale ha una energia cinetica iniziale e via la perde per attrito, fino a fermarsi quando
Il teorema del lavoro diviene in questo caso:
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==Forze conservative==
[[File:Konservative_Kraft_Wege.png|thumb|250px|Due cammini diversi tra il punto 1 ed il punto 2]]
I tre casi esaminati descrivono dei casi che si possono generalizzare, infatti mentre il lavoro della forza peso e di quella elastica non dipendono dal percorso seguito per andare dalla posizione iniziale a quella finale, nel terzo caso,
:<math>W=\int_{1}^2(\vec F \cdot ds)_{S1}= \int_{1}^2(\vec F \cdot ds)_{S2}</math>
la forza è conservativa.
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==Dall'energia potenziale alla forza==
Se conosciamo in una regione di spazio l'energia potenziale di un punto materiale possiamo ricavare le forze che agiscono sul punto materiale con una operazione che l'inverso di quella che abbiamo usata per definire l'energia potenziale. Tale relazione si ottiene
:<math>dE_p=\frac{\partial E_p}{\partial x}dx+\frac{\partial E_p}{\partial y}dy+\frac{\partial E_p}{\partial z}dz=-F_xdx-F_ydy-F_zdz</math>
Da cui:
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Un modo più compatto fa uso di un [[w:Operatore_(fisica)|operatore]] cioè una operazione matematica chiamata '''gradiente''' ed indicato con <math>\nabla=\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}</math>.
Questo operatore applicato ad uno scalare genera un vettore e quindi, in questo caso particolare,
:<math>\vec F =- \vec{grad} E_p=-\vec \nabla E_p</math>
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Facciamo notare come il modulo, essendo dipendente da '''d''' e non da '''r''', non dipende dal punto in cui viene applicato il vettore <math>\vec v</math> lungo la sua direttrice.
I momenti hanno una importanza fondamentale nella dinamica dei sistemi, ma si possono definire anche nella dinamica del punto materiale per quanto riguarda sia il '''momento angolare''' ed il '''momento di una forza'''
== Momento angolare ==
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Il momento angolare <math>\vec L</math> è definito come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione <math>\bar r</math> (rispetto alla stessa origine) e il vettore quantità di moto <math>\vec p</math>:
:<math> \vec L = \vec r \times \vec p
Il [[w:modulo_(algebra)|modulo]] di <math>\vec L</math> è quindi definito da:
:<math>{L} = {{r} {mv}}\sin{\theta}=mvd\, </math>
La direzione di <math>\vec L</math> è perpendicolare al piano definito da <math>\vec v</math> e da <math>\vec r</math>; il verso è quello di un osservatore che vede ruotare <math>\vec v</math> in senso antiorario. La grandezza <math>d={r}\sin{\theta}
Se <math>\vec v</math> e <math>\vec r</math> sono tra loro perpendicolari il momento angolare è massimo e questo avviene quando <math>\sin \theta = 1</math>. Il momento angolare è nullo invece se la quantità di moto o il braccio sono nulli, oppure se <math>\vec v</math> è parallelo ad <math>\vec r</math>, in tal caso infatti <math>\sin \theta = 0</math>.
Ricordando come la velocità istantanea abbia una componente radiale <math>\vec v_r</math> ed una angolare <math>\vec v_\theta</math> in [[Fisica_classica/Cinematica#Velocit.C3.A0_in_coordinate_polari|coordinate polari]]
Quindi essendo
:<math>\vec L=\vec r \times m \vec v</math>
sostituendo a <math>\vec v=v_r\hat u_r+v_{\theta}\hat u_{\theta}</math> si ha che:
:<math>\vec L=\vec r \times m(v_r\hat u_r+v_{\theta}\hat u_{\theta})=mrv_\theta\hat u_r \times \hat u_{\theta}</math>
In modulo:
:<math>\vec L=mr^2\frac {d\theta}{dt}</math>
Si definisce '''momento angolare assiale''' il momento angolare proiettato su un asse passante per il polo.
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Il momento di una forza ha l'espressione:
:<math>\vec {\tau}= \vec r \times \vec F</math>
e possiamo notare che se vi sono più forze applicate la cui risultante è <math>\vec R</math> in un punto, si ha che:
:<math>\vec {\tau} = \vec r \times \vec R</math>
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:<math>\frac{d \vec L}{dt} = \frac {d \vec r}{dt} \times m \vec v + \vec r \times m \frac{d \vec v}{dt}</math>
Nel caso che il polo '''O''' sia fermo
Il secondo termine coincide con la forza applicata moltiplicata vettorialmente per la distanza dal punto '''O'''. Ricaviamo così che
:<math>\frac{d \vec L}{dt}= \vec {\tau}</math>.
Inoltre è importante notare il caso in cui la forza sia applicata lungo la stessa direttice di <math>\vec r</math> allora <math>\vec {\tau}=0</math> e di conseguenza
:<math>\frac{d \vec L}{dt}=0</math> e quindi :<math>\vec L = costante</math>. Le dimensione fisica del momento di una forza sono [M}[L}<sup>2</sup>[T]<sup>-2</sup> e quindi nel [[w:Sistema internazionale di unità di misura|SI]] si misura in kg·m²/s². La dimensione coincide con quella dell'energia, ma qui è evidente la differenza. Inoltre il momento di una forza è una grandezza vettoriale mentre l'energia è uno scalare.
==Lavoro del momento di una forza==
Nel moto circolare l'espressione del lavoro:
:<math>W=\int_A^B \vec F \cdot d\vec s</math>
essendo <math>ds=Rd\theta</math> si riduce a:
:<math>W=\int_{\theta_A}^{\theta_B} rF_rd\theta=\int_{\theta_A}^{\theta_B} \tau d\theta</math>
==Forze centrali==
Una forza è detta centrale di centro O se in ogni punto escluso il centro la direzione della forza passa per il centro medesimo ed Il modulo è unicamente funzione della distanza tra il punto e il centro:
:<math>
\vec F = F(r)\hat{\mathbf{r}}
</math>
Una forza centrale on dipende nè dal tempo nè da altre proprietà locali.
Essendo <math>\vec r</math> e <math>\vec F</math> paralleli:
:<math>\vec {\tau}= 0\rightarrow \frac{d \vec L}{dt}=0</math>
Quindi il momento angolare <math>\vec L</math> è costante, inoltre per come è definito, è <math>\vec L</math> sia costante determina tra l'altro che il verso di percorrenza sia fissato.
[[File:Areal velocity2.svg|thumb|left|alt=|L'areaa ''A'' è eguale ½ ''r''<sub>⊥</sub>''vt'', la velocità areolare ''dA''/''dt'' (la velocità in cui ''A'' è percorsa dal punto materiale) è eguale a ½ ''r''<sub>⊥</sub>''v'' = ½''h''.]]
Il modulo vale <math>L=m r v_\theta= m r^2 \frac {d \theta}{dt}</math>. La costanza di
<math>\vec L</math> in un campo di forza centrale implica così la costanza del prodotto <math>r^2 \frac{d\theta}{dt}</math> e sarà la chiave per la condizione della costanza della velocità areale nella gravitazione newtoniana.
* {{cita libro | cognome= Mazzoldi | nome= Paolo | coautori= Massimo Nigro, Cesare Voci | titolo= Fisica | volume= 1 | editore= Edises | città= | ed= 2 | anno= 2000 | id= ISBN 8879591371 | cid= Mazzoldi | url= http://books.google.it/books?id=O6s7AAAACAAJ}}
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