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Fisica classica/Energia e lavoro: differenze tra le versioni

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[[Fisica_classica/Dinamica| Argomento precedente: Dinamica]]
 
Le forze derivano il loro nome dall'azione dei muscoli del corpo umano. Le forze possono essere moltiplicate o divise, cambiate di direzione mediante varivarie artificimacchine inventatiinventate sinfin daglidagi albori della civiltà,. Un esempio di macchina semplice è
la [[w:Leva_(fisica)|leva]] èche un esempiopermette di talesollevare macchinapesi sempliceche non sarebbe possibile sollevare con i muscoli umani. Esiste una altra grandezza fisica che introduciamo in questa parte del libro che ha un ruolo essenziale in tutta la fisica l''''energia'''., Questatale grandezza scalare, èconnessa possibileal trasformarlaconcetto dadi unforza, tipo adè unpossibile altrotrasformare, ma non è possibile moltiplicarla. Viene affermato come legge generale della natura che l'energia si trasforma nelle sue varie forme, ma non è possibile nè crearla nè distruggerla.
 
=Lavoro di una forza=
 
La più semplice forma di energia è il lavoro fatto dalle forze.
Una forza è detta fare un lavoro quando agendo su un corpo ne provoca uno spostamento del punto di applicazione nella direzione della forza.
Il termine lavoro fu introdotto da [[w:Gaspard_Gustave_de_Coriolis|Gustave di Coriolis]] descrivendo l'azione di innalzare un peso ad una certa altezza, che era in effetti il lavoro fatto dalle prime macchine a vapore per innalzare secchi di acqua nelle miniere.
 
La unità di misura del lavoro nel [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|Sistema Internazionale]] è il newton x metro o [[w:Joule|Joulejoule]] (J). Questa unità di misura è anche l'unità di misura di tutte le forme di energia. Nelle grandezze elemantari MLT del sistema internazionale le dimensioni fisiche dell'energia sono <math>[M][L]^2[T]^{-2}</math> essendo le forze delle <math>[M][L][T]^{-2}</math>.
 
Il lavoro fatto da una forza costante di grandezza ''F'' su un punto che si muove compiendo uno spostamento ''d'' nella direzione della forza è seplicemente il prodotto:
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approssimativamente il lavoro che si fa alzando una massa di 10&nbsp;kg da terra a sopra la testa di
una persona.
Poichè le dimensioni fisiche del lavoro sono eguali a quelle del momento meccanico viene sconsigliato di misurare il lavoro in newton x metro, si consiglia di usare loil Jjoule.
[[File:Mehaaniline_töö.png|thumb|250px|Lavoro di una forza]]
 
Nel caso più generale consideriamo una forza risultante, <math>\vec F\ </math>, che agendo su un punto materiale ne provochi uno spostamento <math>d\vec s\ </math>, il prodotto [[w:Prodotto_scalare|prodotto scalare]]:
:<math>dW=\vec F \cdot d\vec s=F \cos \thetaalpha ds= F_T ds</math>
viene definito lavoro infinitesimo delle forza risultante. Avendo indicato con <math>\thetaalpha\ </math> l'angolo tra la forza e lo spostamento e con <math>F_T\ </math> la componente tangenziale della forza lungo la traiettoria. I casi in cui il lavoro è nullo sono quelli dove non agisce nesunanessuna forza, oppure la risultante delle forze è perpendicolare alla traiettoria, così che <math>\cos \thetaalpha = 0 \,\!</math>. Se invece vi è una componente della forza nella direzione dello spostamento, il lavoro fatto è diverso da zero. Il lavoro è positivo se provoca un aumento della velocità, mentre è negativo se provoca una diminuzione della velocità (come è il caso dell'attrito dinamico e di quello viscoso).
Nel caso più generale di un punto materiale che si muove su di una traiettoria curvilinea, il lavoro è dato dall'integrale di linea di questa forza del lavoro infinitesimale e quindi se il punto si sposta dal punto A al punto B possiamo scrivere:
:<math>W=\int_A^B \vec F \cdot d\vec s</math>
 
Dal punto di vista lessicale il lavoro fatto da una forza non è posseduto ma scambiato tra sistemi.
== [[w:Potenza_(fisica)|Potenza]]==
 
== [[w:Potenza_(fisica)|Potenza]] di una forza==
La potenza istantanea corrisponde al lavoro per unità di tempo:
<math>P=\frac{dW}{dt}=\vec F \cdot \frac {d\vec s}{dt}=\vec F \cdot \vec v=F_T v</math>
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=== Energia Cinetica ===
L'energia cinetica di un corpo materiale di massa <math>m</math> con velocità <math>v</math> è dato da:
:<math>E_k = \frac 12 mv^2.</math>
Le dimensioni fisiche di tale quantità sono quelle di una energia: <math>[M][L]^2[T]^{-2}</math> (J). La giustificazione dell'espressìone della energia cinetica si ricava dall'analisi di quello che succede se una forza agendo su un corpo di massa <math>m</math> con velocità iniziale <math>v_o</math> ne varia la velocità portandola fino <math>v_o</math> lungo una traiettoria descritta dal tratto infinitesimo <math>d\vec s</math>:
:<math>dW= F_T ds=ma_Tds=m\frac {dv}{dt}ds=m\frac {ds}{dt}dv</math>
:<math>W= \int_o^fmvdv=\frac 12mv_f^2-\frac 12mv_o^2=\Delta E_k</math>
Il simbolo <math>\Delta</math> indica la differenza tra l'energia cinetica finale e quella iniziale prodotta dal lavoro fatto dalle forze esterne, qualsiasi sia la loro natura.
Se il lavoro è positivo l'energia cinetica aumenta, se il lavoro è negativo l'energia cinetica diminuisce. Notiamo che se le forze agiscono in direzione perpendicolare alla traiettoria (forze centripete) il lavoro fatto è nullo e l'energia cinetica non varia.
 
La relazione tra il lavoro fatto dalla risultante delle forze agenti su un copro e la variazione di energia cinetica prende il nome di [[w:Teorema_dell'energia_cinetica|teorema del lavoro]], tale teorema vale per forze variabili con il tempo o con la posizione e per sistemi a massa costante.
Dalla espressione del lavoro possiamo ricavare un'importante grandezza chiamata '''energia cinetica''' che ricaviamo direttamente da <math>dW=F_T ds=m a_T ds=m\frac{dv}{dt}ds=m\frac{ds}{dt}dv =m v dv</math> ed integrando otteniamo <math>W=\frac{1}{2}mv^2_B-\frac{1}{2}mv^2_A=\Delta E_k</math> dove <math>E_{k_i} = \frac{1}{2} m v^2_i</math>
 
Vi è una relazione tra l'energia cinetica e la [[Fisica_classica/Dinamica#Quantità di Moto|quantità di moto]]: <math>\vec p = m\vec v.</math>:
Si noti che l'energia cinetica è stata ricavata utilizzando la seconda legge di Newton e quindi ha validità generale ed inoltre è una caratteristica intrinseca del corpo; ovviamente è legata ad uno spostamento del corpo stesso come lo è il lavoro.
:<math>E_k = \frac {p^2}{2m}\qquad p = \sqrt {2mE_k}</math>
 
Un'altra espressione lega l'energia cinetica alla quantità di moto ed è la seguente <math>E_k=\frac{p^2}{2m}</math>.
 
L'energia cinetica al contrario del lavoro è una proprietà che viene posseduta da un sistema.
=== Energia potenziale ===
Ogni forza che agisce su un corpo che si muove genera lavoro, ma a volte il percorso seguito influisce su di esso ovvero può essere, come nel caso della forza peso o della forza elastica, che il lavoro dipenda solo dalla posizione iniziale e finale del moto mentre in altri casi, come in presenza di attriti, il percorso seguito introduce forze che contribuiscono in modo attivo e delle quali dobbiamo tenere conto.
 
=Energia potenziale=
Le forze che NON dipendono dal percorso seguito si dicono '''forze conservative'''. Il lavoro delle forze conservative lungo un percorso chiuso risulta quindi nullo ovvero <math>\oint \vec F \cdot d \vec s = 0</math>.
== Lavoro della forza peso==
[[File:Work_of_gravity_F_dot_d_equals_mgh.JPG|thumb|250px|Lavoro di una forza costante verticale: ad esempio la forza peso]]
 
Nel caso di forze costanti il calcolo del lavoro
La funzione che definisce il lavoro per forze conservative è data da <math>W=-\Delta E_p\,\!</math> dove <math>E_p \,\!</math> è detta '''energia potenziale'''.
totale è seplicemente, riferendosi alla figura a fianco,:
:<math>W=\int_o^f \vec F \cdot d\vec s=\vec F \cdot \int_o^f d\vec s=\vec F\cdot \vec d =Fh</math>
essendo <math>\vec F</math> verticale.
[[File:PotentialEnergy_Gravitational2.png|thumb|350px|Forza peso e sua energia potenziale]]
Nel caso specifico della [[Fisica_classica/Dinamica#Forza peso|forza peso]] in cui <math>F=mg</math> e quindi il lavoro fatto è:
:<math>W=mgh</math>
Notiamo come il lavoro non dipenda dalla traiettoria, ma solo dalla differenza di quota.
 
Definendo <math>h_o</math> e <math>h_f</math> le quote iniziali e finali il teorema del lavoro nel caso della sola forza peso diviene:
Va ricordato che il fatto che il lavoro lungo un percorso chiuso sia nullo è condizione per l'esistenza di una funzione delle coordinate alla quale posso applicare un operatore chiamato '''gradiente''' ed indicato con <math>\nabla=\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}</math>.
:<math>W= -mg(h_f-h_o)=\frac 12mv_f^2-\frac 12mv_o^2</math>
Questo operatore dato uno scalare ritorna un vettore e quindi, in questo caso particolare, il gradiente della funzione energia potenziale ritorna le componenti cartesiane della forza in questione.
:<math>mgh_o+\frac 12mv_o^2=mgh_f+\frac 12mv_f^2</math>
Se definiamo <math>E_p=mgz</math> (energia potenziale gravitazionale) possiamo riscrivere:
:<math>E_{po}+\frac 12mv_o^2=E_{pf}+\frac 12mv_f^2</math>
Che esprime la conservazione dell'energia meccanica se agiscono solo forze gravitazionali, in quanto la somma dell'energia cinetica e di quella potenziale gravitazionale sono costanti nel tempo.
 
Ritornando alla equazione esplicita si ha che:
In questo caso <math>F_x=-\frac{\partial E_p}{\partial x},F_y=-\frac{\partial E_p}{\partial y},F_z=-\frac{\partial E_p}{\partial z}</math> o in modo più compatto
:<math>v_f=\sqrt{2g(h_o-h_f)+v_o^2}</math>
Tale equazione viene scritta senza interessarsi della cinematica dell'oggetto, nell'ipotesi che la sola forza agente che compie lavoro meccanico sia la forza di gravità.
 
== Lavoro di una forza elastica==
:<math>\vec F =- \vec{grad} E_p=-\nabla E_p</math>
[[File:PotentialEnergy_Elastic.png|thumb|350px|Grafico della forza elastica e della sua energia potenziale nel caso unidimensionale]]
Consideriamo la [[Fisica_classica/Dinamica#Forza elastica|forza elastica]] nel caso unidimensionale assunta come origine la posizione di equilibrio:
:<math>F =- k x</math>
Il lavoro per andare
:<math>W=\int_o^f F dx=-k\int_o^f xdx=\frac 12kx_o^2-\frac 12kx_f^2</math>
Per il teorema del lavoro:
:<math>W= \frac 12kx_o^2-\frac 12kx_f^2=\frac 12mv_f^2-\frac 12mv_o^2</math>
Quindi:
:<math>\frac 12kx_o^2+\frac 12mv_o^2=\frac 12kx_f^2+\frac 12mv_f^2</math>
Se definiamo <math>E_p=\frac 12kx^2</math> (energia potenziale elastica):
:<math>E_{po}+\frac 12mv_o^2=E_{pf}+\frac 12mv_f^2</math>
Anche in questo caso la energia meccanica si conserva. Alla massima elongazione l'energia potenziale è massima mentre, quando il sistema passa per la posizione di equilbrio la energia potenziale è nulla e tutta l'energia è diventata cinetica.
 
== Lavoro della forza di attrito dinamico==
=== Energia Meccanica ===
La [[Fisica_classica/Dinamica#Forza_di_attrito_dinamico|forza di attrito dinamico]] è diretta nella direzione della velocità e quindi dello spostamento <math>d\vec s</math>. Quindi il lavoro che si compie andando dalla posizione iniziale a quella finale è pari a:
Le due formule che legano il lavoro, l'energia potenziale e quella cinetica possono essere unificate, ovviamente in presenza di sole forze conservative, per esprimere il concetto di conservazione dell''''energia meccanica''' che definiamo come la somma dell'energia potenziale e quella cinetica di un sistema ed è data da <math>E_m=E_k+E_p=costante \,\!</math>.
:<math>W=\int_o^f \vec F \cdot d\vec s=-\mu_d N \int_o^f d\vec s=-\mu_d N \ell</math>
dove <math>\ell</math> è il cammino totale percorso. A differenza dei casi precedenti la posizione finale ed iniziale non bastano per caratterizzare il lavoro svolto, anzi per stesse posizioni iniziali e finali il lavoro, sempre negativo, può assumere valori molto diversi.
In questo caso l'energia meccanica non si conserva in quanto via via che viene percorsa la traiettoria l'energia cinetica diminiusce senza aumentare una qualche forma di energia potenziale. In realtà l'energia meccanica viene trasformata in calore che è un'altra forma di energia (non meccanica). Quindi il punto materiale ha una energia cinetica iniziale e via la perde per attrito, fino a fermarsi quando domina la forza di attrito statico.
 
Il teorema del lavoro diviene in questo caso:
Nel caso invece vi sia un contributo anche di forze non conservative allora notiamo che il lavoro è dato da <math>W=W_c+W_{nc}=E_k,B-E_k,A \,\!</math>. Ricaviamo allora <math>W_{nc}=E_m,B-E_m,A \,\!</math> ovvero in presenza di forze non consevative l'energia meccanica non resta costante e la differenza di essa coincide con il lavoro proprio delle forze non conservative.
:<math>W= -\mu_d N\ell =\frac 12mv_f^2-\frac 12mv_o^2</math>
:<math>\frac 12mv_f^2=\frac 12mv_o^2-\mu_d N\ell</math>
 
==Forze Momenti conservative==
[[File:Konservative_Kraft_Wege.png|thumb|250px|Due cammini diversi tra il punto 1 ed il punto 2]]
I tre casi esaminati descrivono dei casi che si possono generalizzare, infatti mentre il lavoro della forza peso e di quella elastica non dipendono dal percorso seguito per andare dalla posizione iniziale a quella finale, nel terzo caso, la forza di attrito, il lavoro dipende dal percorso. Le forze in cui il lavoro non dipende dal percorso seguito vengono dette '''forze conservative'''. Nelle figura a fianco vengono mostrati due qualsiasi cammini diversi che collegano i punti 1 e 2. Se:
:<math>W=\int_{1}^2(\vec F \cdot ds)_{S1}= \int_{1}^2(\vec F \cdot ds)_{S2}</math>
la forza è conservativa.
 
Inoltre poichè:
Introduciamo ora il concetto di momento di un vettore.
:<math>-\int_{1}^2(\vec F \cdot ds)_{S2}=\int_2^1(\vec F \cdot ds)_{S2}</math>
segue che:
:<math>\oint \vec F \cdot ds=\int_{1}^2(\vec F \cdot ds)_{S1}+\int_2^1(\vec F \cdot ds)_{S2}=0
</math>
Cioè nelle forze conservative l'integrale su una qualsiasi linea chiusa è nullo.
 
Per una forza conservativa, il lavoro si può scrivere come differenza di una funzione della coordinata spaziale calcolata nei punti di partenza e di arrivo detta energia potenziale:
{{definizione|Definiamo come '''momento del vettore''' <math>\vec v</math> applicato in un punto '''P ''' ad una certa distanza da un punto '''O''' il vettore <math>\vec M_O=\vec{OP} \times \vec v</math>.}}
:<math>W=\int_o^f\vec F \cdot ds=E(r_f)-E(r_o)</math>
L'energia potenziale esprime la capacità di compiere lavoro, al diminuire dell'energia potenziale viene compiuto del lavoro che può aumentare l'energia cinetica. Se invece l'energia potenziale aumenta significa che bisogna fornire o lavoro dall'esterno o consumare energia cinetica.
L'energia potenziale è definita a meno di una costante additiva, che viene scelta per convenienza ad esempio nel caso della forza peso si è assunto che l'energia potenziale sia nulla a livello del mare e quindi l'espressione della energia potenziale è:
:<math>-W=\int_0^zmgdz'=E_p(z)</math>
:<math>E_p=mgz</math>
Cioè l'energia potenziale è eguale al lavoro combiato di segno per andare da quota 0 a quota
z. Ricordando che la forza peso è diretta verso il basso.
 
Analogamente per la forza elastica assunto come costante additiva quella che annulla la energia potenziale nella posizione di riposo:
:<math>-W=\int_0^xkxdx=E_p(x)</math>
:<math>E_p=\frac 12kx^2</math>
In forma differenziale:
:<math>dE_p=-dW=-\vec F\cdot d\vec s</math>
la forma differenziale è indipendente dal punto di riferimento esseno una differenza di energia potenziale.
 
Tutte le forze che dipendono dalla velocità, dal tempo o dalla lunghezza del percorso non sono conservative e per esse non è possibile definire una energia potenziale.
 
Se agiscono solo forze conservative l'energia meccanica totale determinata dalla energia cinetica e quella potenziale si conserva, cioè:
:<math>E_k+E_p=costante</math>
 
 
==Dall'energia potenziale alla forza==
Se conosciamo in una regione di spazio l'energia potenziale di un punto materiale possiamo ricavare le forze che agiscono sul punto materiale con una operazione che l'inverso di quella che abbiamo usata per definire l'energia potenziale.
Esplicitiamo la relazione differenziale che collega l'energia potenziale al lavoro in coordinate cartesiane:
:<math>dE_p=\frac{\partial E_p}{\partial x}dx+\frac{\partial E_p}{\partial y}dy+\frac{\partial E_p}{\partial z}dz=-F_xdx-F_ydy-F_zdz</math>
Da cui:
:<math>F_x=-\frac{\partial E_p}{\partial x}\quad ,F_y=-\frac{\partial E_p}{\partial y},\quad F_z=-\frac{\partial E_p}{\partial z}</math>
 
Un modo più compatto fa uso di un [[w:Operatore_(fisica)|operatore]] cioè una operazione matematica chiamata '''gradiente''' ed indicato con <math>\nabla=\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}</math>.
Questo operatore applicato ad uno scalare genera un vettore e quindi, in questo caso particolare, il gradiente della funzione energia potenziale ritorna le componenti cartesiane della forza in questione.
 
:<math>\vec F =- \vec{grad} E_p=-\vec \nabla E_p</math>
 
= Momenti =
 
Introduciamo ora il concetto di momento di un vettore.
Definiamo come '''momento del vettore''' <math>\vec v</math> applicato in un punto '''P ''' ad una certa distanza da un punto '''O''' il vettore <math>\vec M_O=\vec{OP} \times \vec v</math>.
 
Il modulo è dato da <math>M_O=OP v \sin \theta = v d \,\!</math> dove <math>\theta \,\!</math> è l'angolo formato dalla direzione del vettore <math>\vec v</math> con la direzione di <math>\vec {OP}</math> e quindi '''d''' non è altro che la distanza del punto '''O''' dalla direttrice di <math>\vec v</math> e verrà chiamato '''braccio'''.
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A questo punto ritorniamo ai nostri concetti ormai familiari di forza e velocità e definiamo due concetti come il '''momento angolare''' ed il '''momento di una forza'''
 
=== Momento angolare ===
[[File:Torque animation.gif|frame|right|Relazione tra forza (F), momento della forza (τ), quantità di moto (p), e momento angolare (L) in un sistema ruotante]]
PresaIl lamomento traiettoriaangolare di<math>\vec un corpoL</math> edè undefinito puntocome fissoil dettoprodotto '''polo'''vettoriale notiamotra cheil rispettovettore aposizione questo<math>\bar r</math> (rispetto poloalla lastessa velocitàorigine) e lail vettore quantità di moto di un corpo sono vettori nello spazio ad una distanza <math>\vec rp</math> dal polo.:
 
Possiamo definire allora un momento del vettore quantità di moto rispetto ad '''O''' in questo modo :<math> \vec L = \vec r \times \vec p = \vec r \times m \vec vp </math>
 
Il [[w:modulo_(algebra)|modulo]] di <math>\vec L</math> è quindi definito da:
=== Momento della forza ===
 
:<math>{L} = {{r} {mv}}\sin{\theta}\, </math>
Il momento di una forza ha l'espressione <math>\vec M = \vec r \times \vec F</math> e possiamo notare che se vi sono più forze applicate in un punto vale <math>\vec M = \vec r \times \vec R</math>
 
La direzione di <math>\vec L</math> è perpendicolare al piano definito da <math>\vec v</math> e da <math>\vec r</math>; il verso è quello di un osservatore che vede ruotare <math>\vec v</math> in senso antiorario. La grandezza <math>{r}\sin{\theta}</math>, distanza dell'asse di rotazione dalla retta su cui giace <math>\vec v</math> è detta ''braccio'' di <math>\vec v</math>.
Se consideriamo la variazione del momento angolare nel tempo allora possiamo scrivere <math>\frac{d \vec L}{dt} = \frac {d \vec r}{dt} \times m \vec v + \vec r \times m \frac{d \vec v}{dt}</math>.
 
Se <math>\vec v</math> e <math>\vec r</math> sono tra loro perpendicolari il momento angolare è massimo e questo avviene quando <math>\sin \theta = 1</math>. Il momento angolare è nullo invece se la quantità di moto o il braccio sono nulli, oppure se <math>\vec v</math> è parallelo ad <math>\vec r</math>, in tal caso infatti <math>\sin \theta = 0</math>.
 
Si definisce '''momento angolare assiale''' il momento angolare proiettato su un asse passante per il polo.
 
Il momento angolare nel [[w:Sistema internazionale di unità di misura|SI]] si misura in kg·m²/s. Questa unità di misura coincide con la grandezza di un'[[w:Azione (fisica)|azione]] (ovvero di un'energia per un tempo), anche se i significati fisici di azione e momento angolare sono completamenti differenti. Il momento angolare è una grandezza vettoriale mentre l'azione è uno scalare.
 
 
== Momento della forza ==
 
Il momento di una forza ha l'espressione:
:<math>\vec {\tau}= \vec r \times \vec F</math>
e possiamo notare che se vi sono più forze applicate in un punto si ha che:
:<math>\vec {\tau} = \vec r \times \vec R</math>
 
Se consideriamo la variazione del momento angolare nel tempo allora possiamo scrivere:
:<math>\frac{d \vec L}{dt} = \frac {d \vec r}{dt} \times m \vec v + \vec r \times m \frac{d \vec v}{dt}</math>
 
Nel caso che il polo '''O''' sia fermo la prima quantità è nulla in quanto il corpo avrebbe velocità <math>\vec v = \frac {d \vec r}{dt}</math> ed il prodotto vettoriale si annullerebbe.
Il secondo termine coincide con la forza applicata moltiplicata vettorialmente per la distanza dal punto '''O'''. Ricaviamo così che
:<math>\frac{d \vec L}{dt}= \vec M{\tau}</math>.
 
Inoltre è importante notare il caso in cui la forza sia applicata lungo la stessa direttice di <math>\vec r</math> allora <math>\vec M{\tau}=0</math> e di conseguenza <math>\frac{d \vec L}{dt}=0</math> e quindi <math>\vec L = costante</math>.
 
Poniamo attenzione al valore di <math>\vec L</math>: sappiamo che vale <math>\vec L=\vec r \times m \vec v</math> ma <math>\vec v=\vec v_\theta+\vec v_r</math>. In questo caso <math>\vec L=\vec r \times m(\vec v_\theta + \vec v_r)</math> e la parte <math>\vec v_r</math> si annulla in un prodotto vettoriale con <math>\vec r</math> in quanto paralleli lasciando quindi <math>\vec L = \vec r \times m \vec v_\theta</math>.
==Forze centrali==
 
Il modulo vale <math>L=m r v_\theta= m r^2 \frac {d \theta}{dt}</math>. La costanza di
<math>\vec L</math> in un campo di forza centrale implica così la costanza del prodotto <math>r^2 \frac{d\theta}{dt}</math> e sarà la chiave per la condizione della costanza della velocità areale nella gravitazione newtoniana.
 
==Bibliografia==
* {{cita libro | cognome= Mazzoldi | nome= Paolo | coautori= Massimo Nigro, Cesare Voci | titolo= Fisica | volume= 1 | editore= Edises | città= | ed= 2 | anno= 2000 | id= ISBN 8879591371 | cid= Mazzoldi | url= http://books.google.it/books?id=O6s7AAAACAAJ}}
 
[[Fisica_classica/Moti relativi| Argomento seguente: Moti relativi]]
 
[[Categoria:Fisica classica]]
{{Avanzamento|5075%|45 Agosto 2013}}
Estratto da "https://it.wikibooks.org/wiki/Fisica_classica/Energia_e_lavoro"