Utente:Pasquale.Carelli/Sandbox2: differenze tra le versioni
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==Dall'energia potenziale alla forza==
Se conosciamo in una regione di spazio l'energia potenziale di un punto materiale possiamo ricavare le forze che agiscono sul punto materiale con una
Esplicitiamo la relazione differenziale che collega l'energia potenziale al lavoro in coordinate cartesiane:
:<math>dE_p=\frac{\partial E_p}{\partial x}dx+\frac{\partial E_p}{\partial y}dy+\frac{\partial E_p}{\partial z}dz=-F_xdx-F_ydy-F_zdz</math>
Da cui:
:<math>F_x=-\frac{\partial E_p}{\partial x}\quad ,F_y=-\frac{\partial E_p}{\partial y},\quad F_z=-\frac{\partial E_p}{\partial z}</math>
Un modo più compatto fa uso di un [[w:Operatore_(fisica)|operatore]] cioè una operazione matematica chiamata '''gradiente''' ed indicato con <math>\nabla=\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}</math>.
Questo operatore
:<math>\vec F =- \vec{grad} E_p=-\vec \nabla E_p</math>
= Momenti =
Introduciamo ora il concetto di momento di un vettore.
▲{{definizione|Definiamo come '''momento del vettore''' <math>\vec v</math> applicato in un punto '''P ''' ad una certa distanza da un punto '''O''' il vettore <math>\vec M_O=\vec{OP} \times \vec v</math>.}}
Il modulo è dato da <math>M_O=OP v \sin \theta = v d \,\!</math> dove <math>\theta \,\!</math> è l'angolo formato dalla direzione del vettore <math>\vec v</math> con la direzione di <math>\vec {OP}</math> e quindi '''d''' non è altro che la distanza del punto '''O''' dalla direttrice di <math>\vec v</math> e verrà chiamato '''braccio'''.
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A questo punto ritorniamo ai nostri concetti ormai familiari di forza e velocità e definiamo due concetti come il '''momento angolare''' ed il '''momento di una forza'''
== Momento angolare ==
[[File:Torque animation.gif|frame|right|Relazione tra forza (F), momento della forza (τ), quantità di moto (p), e momento angolare (L) in un sistema ruotante]]
Il [[w:modulo_(algebra)|modulo]] di <math>\vec L</math> è quindi definito da:
= Momento della forza =▼
:<math>{L} = {{r} {mv}}\sin{\theta}\, </math>
La direzione di <math>\vec L</math> è perpendicolare al piano definito da <math>\vec v</math> e da <math>\vec r</math>; il verso è quello di un osservatore che vede ruotare <math>\vec v</math> in senso antiorario. La grandezza <math>{r}\sin{\theta}</math>, distanza dell'asse di rotazione dalla retta su cui giace <math>\vec v</math> è detta ''braccio'' di <math>\vec v</math>.
Se consideriamo la variazione del momento angolare nel tempo allora possiamo scrivere <math>\frac{d \vec L}{dt} = \frac {d \vec r}{dt} \times m \vec v + \vec r \times m \frac{d \vec v}{dt}</math>.▼
Se <math>\vec v</math> e <math>\vec r</math> sono tra loro perpendicolari il momento angolare è massimo e questo avviene quando <math>\sin \theta = 1</math>. Il momento angolare è nullo invece se la quantità di moto o il braccio sono nulli, oppure se <math>\vec v</math> è parallelo ad <math>\vec r</math>, in tal caso infatti <math>\sin \theta = 0</math>.
Si definisce '''momento angolare assiale''' il momento angolare proiettato su un asse passante per il polo.
Il momento angolare nel [[w:Sistema internazionale di unità di misura|SI]] si misura in kg·m²/s. Questa unità di misura coincide con la grandezza di un'[[w:Azione (fisica)|azione]] (ovvero di un'energia per un tempo), anche se i significati fisici di azione e momento angolare sono completamenti differenti. Il momento angolare è una grandezza vettoriale mentre l'azione è uno scalare.
▲== Momento della forza ==
Il momento di una forza ha l'espressione:
:<math>\vec {\tau}= \vec r \times \vec F</math>
e possiamo notare che se vi sono più forze applicate in un punto si ha che:
:<math>\vec {\tau} = \vec r \times \vec R</math>
Se consideriamo la variazione del momento angolare nel tempo allora possiamo scrivere:
▲
Nel caso che il polo '''O''' sia fermo la prima quantità è nulla in quanto il corpo avrebbe velocità <math>\vec v = \frac {d \vec r}{dt}</math> ed il prodotto vettoriale si annullerebbe.
Il secondo termine coincide con la forza applicata moltiplicata vettorialmente per la distanza dal punto '''O'''. Ricaviamo così che
:<math>\frac{d \vec L}{dt}= \vec Inoltre è importante notare il caso in cui la forza sia applicata lungo la stessa direttice di <math>\vec r</math> allora <math>\vec
Poniamo attenzione al valore di <math>\vec L</math>: sappiamo che vale <math>\vec L=\vec r \times m \vec v</math> ma <math>\vec v=\vec v_\theta+\vec v_r</math>. In questo caso <math>\vec L=\vec r \times m(\vec v_\theta + \vec v_r)</math> e la parte <math>\vec v_r</math> si annulla in un prodotto vettoriale con <math>\vec r</math> in quanto paralleli lasciando quindi <math>\vec L = \vec r \times m \vec v_\theta</math>.
==Forze centrali==
Il modulo vale <math>L=m r v_\theta= m r^2 \frac {d \theta}{dt}</math>. La costanza di
<math>\vec L</math> in un campo di forza centrale implica così la costanza del prodotto <math>r^2 \frac{d\theta}{dt}</math> e sarà la chiave per la condizione della costanza della velocità areale nella gravitazione newtoniana.
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[[Categoria:Fisica classica]]
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