Utente:Pasquale.Carelli/Sandbox2: differenze tra le versioni
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:<math>mgh_o+\frac 12mv_o^2=mgh_f+\frac 12mv_f^2</math>
Se definiamo <math>E_p=mgz</math> (energia potenziale gravitazionale) possiamo riscrivere:
:<math>E_{po}+\frac 12mv_o^2=E_{
Che esprime la conservazione dell'energia meccanica se agiscono solo forze gravitazionali, in quanto la somma dell'energia cinetica e di quella potenziale gravitazionale sono costanti nel tempo.
:<math>v_f=\sqrt{2g(h_o-h_f)+v_o^2}</math>
Tale equazione viene scritta senza interessarsi della cinematica dell'oggetto, nell'ipotesi che la sola forza agente che compie lavoro meccanico sia la forza di gravità.
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:<math>\frac 12kx_o^2+\frac 12mv_o^2=\frac 12kx_f^2+\frac 12mv_f^2</math>
Se definiamo <math>E_p=\frac 12kx^2</math> (energia potenziale elastica):
:<math>E_{po}+\frac 12mv_o^2=E_{
Anche in questo caso la energia meccanica si conserva. Alla massima elongazione l'energia potenziale è massima mentre, quando il sistema passa per la posizione di equilbrio la energia potenziale è nulla e tutta l'energia è diventata cinetica.
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Per una forza conservativa, il lavoro si può scrivere come differenza di una funzione della coordinata spaziale calcolata nei punti di partenza e di arrivo detta energia potenziale:
:<math>W=\int_o^f\vec F \cdot ds=
L'energia potenziale esprime la capacità di compiere lavoro, al diminuire dell'energia potenziale viene compiuto del lavoro che può aumentare l'energia cinetica. Se invece l'energia potenziale aumenta significa che bisogna fornire o lavoro dall'esterno o consumare energia cinetica.
L'energia potenziale è definita a meno di una costante additiva, che viene scelta per convenienza ad esempio nel caso della forza peso si è assunto che l'energia potenziale sia nulla a livello del mare e quindi l'espressione della energia potenziale è:
:<math>-W=\int_0^zmgdz'=
:<math>
Cioè l'energia potenziale è eguale al lavoro combiato di segno per andare da quota 0 a quota
z. Ricordando che la forza peso è diretta verso il basso.
Analogamente per la forza elastica assunto come costante additiva quella che annulla la energia potenziale nella posizione di riposo:
:<math>-W=\int_0^xkxdx=
:<math>
In forma differenziale:
:<math>dE_p=-dW=-\vec F\cdot d\vec s</math>
la forma differenziale è indipendente dal punto di riferimento esseno una differenza di energia potenziale.
Tutte le forze che dipendono dalla velocità, dal tempo o dalla lunghezza del percorso non sono conservative e per esse non è possibile definire una energia potenziale.
Se agiscono solo forze conservative l'energia meccanica totale determinata dalla energia cinetica e quella potenziale si conserva, cioè:▼
▲Se agiscono solo forze conservative l'energia meccanica totale determinata dalla energia cinetica e quella potenziale si conserva:
:<math>E_k+E_p=costante</math>
==Dall'energia potenziale alla forza==
Se conosciamo in una regione di spazio l'energia potenziale di un punto materiale possiamo ricavare le forze che agiscono sul punto materiale con una oparazione che l'inverso di quella che abbiamo usata per definire l'energia potenziale. Infatti in coordinate cartesiane si ha che:
▲Va ricordato che il fatto che il lavoro lungo un percorso chiuso sia nullo è condizione per l'esistenza di una funzione delle coordinate alla quale posso applicare un operatore chiamato '''gradiente''' ed indicato con <math>\nabla=\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}</math>.
Questo operatore dato uno scalare ritorna un vettore e quindi, in questo caso particolare, il gradiente della funzione energia potenziale ritorna le componenti cartesiane della forza in questione.
▲In questo caso <math>F_x=-\frac{\partial E_p}{\partial x},F_y=-\frac{\partial E_p}{\partial y},F_z=-\frac{\partial E_p}{\partial z}</math> o in modo più compatto
:<math>\vec F =- \vec{grad} E_p=-\nabla E_p</math>
= Momenti =
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