Utente:Pasquale.Carelli/Sandbox2: differenze tra le versioni

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L'energia cinetica al contrario del lavoro è una proprietà che viene posseduta da un sistema.
 
=Energia potenziale=
== Lavoro della forza peso==
[[File:Work_of_gravity_F_dot_d_equals_mgh.JPG|thumb|250px|Lavoro di una forza costante verticale: ad esempio la forza peso]]
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:<math>W=\int_o^f \vec F \cdot d\vec s=\vec F \cdot \int_o^f d\vec s=\vec F\cdot \vec d =Fh</math>
essendo <math>\vec F</math> verticale.
[[File:PotentialEnergy_Gravitational2.png|thumb|350px|Forza peso e sua energia potenziale]]
 
Nel caso specifico della [[Fisica_classica/Dinamica#Forza peso|forza peso]] in cui <math>F=mg</math> e quindi il lavoro fatto è:
:<math>W=mgh</math>
Notiamo come il lavoro non dipenda dalla traiettoria, ma solo dalla differenza di quota.
 
Definendo <math>z_oh_o</math> e <math>z_fh_f</math> le quote iniziali e finali il teorema del lavoro nel caso della sola forza peso diviene:
:<math>W= -mg(z_fh_f-z_oh_o)=\frac 12mv_f^2-\frac 12mv_o^2</math>
:<math>mgz_omgh_o+\frac 12mv_o^2=mgz_fmgh_f+\frac 12mv_f^2</math>
Se definiamo <math>E_p=mgz</math> (energia potenziale gravitazionale) possiamo riscrivere:
:<math>E_{po}+\frac 12mv_o^2=E_{po}+\frac 12mv_f^2</math>
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Ritorando alla equazione esplicita si ha che:
:<math>v_f=\sqrt{2g(z_oh_o-z_fh_f)+v_o^2}</math>
Tale equazione viene scritta senza interessarsi della cinematica dell'oggetto, nell'ipotesi che la sola forza agente che compie lavoro meccanico sia la forza di gravità.
 
== Lavoro di una forza elastica==
[[File:PotentialEnergy_Elastic.png|thumb|350px|Grafico della forza elastica e della sua energia potenziale nel caso unidimensionale]]
Consideriamo la [[Fisica_classica/Dinamica#Forza elastica|forza elastica]] nel caso unidimensionale assunta come origine la posizione di equilibrio:
:<math>F_eF =- k x</math>
Il lavoro per andare
:<math>W=\int_o^f F_eF dx=-k\int_o^f xdx=\frac 12kx_o^2-\frac 12kx_f^2</math>
Per il teorema del lavoro:
:<math>W= \frac 12kx_o^2-\frac 12kx_f^2=\frac 12mv_f^2-\frac 12mv_o^2</math>
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:<math>E_{po}+\frac 12mv_o^2=E_{po}+\frac 12mv_f^2</math>
Anche in questo caso la energia meccanica si conserva. Alla massima elongazione l'energia potenziale è massima mentre, quando il sistema passa per la posizione di equilbrio la energia potenziale è nulla e tutta l'energia è diventata cinetica.
 
== Lavoro della forza di attrito dinamico==
La [[Fisica_classica/Dinamica#Forza_di_attrito_dinamico|forza di attrito dinamico]] è diretta nella direzione della velocità e quindi dello spostamento <math>d\vec s</math>. Quindi il lavoro che si compie andando dalla posizione iniziale a quella finale è pari a:
:<math>W=\int_o^f \vec F \cdot d\vec s=-\mu_d N \int_o^f d\vec s=-\mu_d N \ell</math>
dove <math>\ell</math> è il cammino totale percorso. A differenza dei casi precedenti la posizione finale ed iniziale non bastano per caratterizzare il lavoro svolto, anzi per stesse posizioni iniziali e finali il lavoro, sempre negativo, può assumere valori molto diversi.
In questo caso l'energia meccanica non si conserva in quanto via via che viene percorsa la traiettoria l'energia cinetica diminiusce senza aumentare una qualche forma di energia potenziale. In realtà l'energia meccanica viene trasformata in calore che è un'altra forma di energia (non meccanica). Quindi il punto materiale ha una energia cinetica iniziale e via la perde per attrito, fino a fermarsi quando domina la forza di attrito statico.
 
Il teorema del lavoro diviene in questo caso:
:<math>W= -\mu_d N\ell =\frac 12mv_f^2-\frac 12mv_o^2</math>
:<math>\frac 12mv_f^2=\frac 12mv_o^2-\mu_d N\ell</math>
 
==Forze conservative==
[[File:Konservative_Kraft_Wege.png|thumb|250px|Due cammini diversi tra il punto 1 ed il punto 2]]
I tre casi esaminati descrivono dei casi che si possono generalizzare, infatti mentre il lavoro della forza peso e di quella elastica non dipendono dal percorso seguito per andare dalla posizione iniziale a quella finale, nel terzo caso, la forza di attrito, il lavoro dipende dal percorso. Le forze in cui il lavoro non dipende dal percorso seguito vengono dette '''forze conservative'''. Nelle figura a fianco vengono mostrati due qualsiasi cammini diversi che collegano i punti 1 e 2. Se:
:<math>W=\int_{1}^2(\vec F \cdot ds)_{S1}= \int_{1}^2(\vec F \cdot ds)_{S2}</math>
la forza è conservativa.
 
Inoltre poichè:
:<math>-\int_{1}^2(\vec F \cdot ds)_{S2}=\int_2^1(\vec F \cdot ds)_{S2}</math>
segue che:
:<math>\oint \vec F \cdot ds=\int_{1}^2(\vec F \cdot ds)_{S1}+\int_2^1(\vec F \cdot ds)_{S2}=0
</math>
Cioè nelle forze conservative l'integrale su una qualsiasi linea chiusa è nullo.
 
Per una forza conservativa, il lavoro si può scrivere come differenza di una funzione della coordinata spaziale calcolata nei punti di partenza e di arrivo detta energia potenziale:
:<math>W=\int_o^f\vec F \cdot ds=U(r_f)-U(r_o)</math>
L'energia potenziale esprime la capacità di compiere lavoro, al diminuire dell'energia potenziale viene compiuto del lavoro che può aumentare l'energia cinetica. Se invece l'energia potenziale aumenta significa che bisogna fornire o lavoro dall'esterno o consumare energia cinetica.
L'energia potenziale è definita a meno di una costante additiva, che viene scelta per convenienza ad esempio nel caso della forza peso si è assunto che l'energia potenziale sia nulla a livello del mare e quindi l'espressione della energia potenziale è:
:<math>-W=\int_0^zmgdz'=U_p(z)</math>
:<math>U_p=mgz</math>
Cioè l'energia potenziale è eguale al lavoro combiato di segno per andare da quota 0 a quota
z. Ricordando che la forza peso è diretta verso il basso.
 
Analogamente per la forza elastica assunto come costante additiva quella che annulla la energia potenziale nella posizione di riposo:
:<math>-W=\int_0^xkxdx=U_p(x)</math>
:<math>U_p=\frac 12kx^2</math>
 
Tutte le forze che dipendono dalla velocità, dal tempo o dalla lunghezza del percorso non sono conservative e per esse non è possibile definire una energia potenziale.
 
== Conservazione dell'eenrgia meccanica==
Se agiscono solo forze conservative l'energia meccanica totale determinata dalla energia cinetica e quella potenziale si conserva:
:<math>E_k+E_p=costante</math>
 
 
 
 
=== Energia potenziale ===
Ogni forza che agisce su un corpo che si muove genera lavoro, ma a volte il percorso seguito influisce su di esso ovvero può essere, come nel caso della forza peso o della forza elastica, che il lavoro dipenda solo dalla posizione iniziale e finale del moto mentre in altri casi, come in presenza di attriti, il percorso seguito introduce forze che contribuiscono in modo attivo e delle quali dobbiamo tenere conto.
 
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:<math>\vec F =- \vec{grad} E_p=-\nabla E_p</math>
 
=== Energia Meccanica ===
Le due formule che legano il lavoro, l'energia potenziale e quella cinetica possono essere unificate, ovviamente in presenza di sole forze conservative, per esprimere il concetto di conservazione dell''''energia meccanica''' che definiamo come la somma dell'energia potenziale e quella cinetica di un sistema ed è data da <math>E_m=E_k+E_p=costante \,\!</math>.
 
Nel caso invece vi sia un contributo anche di forze non conservative allora notiamo che il lavoro è dato da <math>W=W_c+W_{nc}=E_k,B-E_k,A \,\!</math>. Ricaviamo allora <math>W_{nc}=E_m,B-E_m,A \,\!</math> ovvero in presenza di forze non consevative l'energia meccanica non resta costante e la differenza di essa coincide con il lavoro proprio delle forze non conservative.
 
== Momenti ==
 
Introduciamo ora il concetto di momento di un vettore.
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A questo punto ritorniamo ai nostri concetti ormai familiari di forza e velocità e definiamo due concetti come il '''momento angolare''' ed il '''momento di una forza'''
 
=== Momento angolare ===
Presa la traiettoria di un corpo ed un punto fisso detto '''polo''' notiamo che rispetto a questo polo la velocità e la quantità di moto di un corpo sono vettori nello spazio ad una distanza <math>\vec r</math> dal polo.
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Possiamo definire allora un momento del vettore quantità di moto rispetto ad '''O''' in questo modo <math>\vec L=\vec r \times \vec p= \vec r \times m \vec v</math>
 
=== Momento della forza ===
 
Il momento di una forza ha l'espressione <math>\vec M = \vec r \times \vec F</math> e possiamo notare che se vi sono più forze applicate in un punto vale <math>\vec M = \vec r \times \vec R</math>