Utente:Pasquale.Carelli/Sandbox2: differenze tra le versioni
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== Lavoro, Potenza ed Energia ==
Il contributo di una forza applicata ad un corpo che si muove su di una traiettoria curvilinea è dato dall'integrale di linea di questa forza e quindi se il punto si sposta dal punto A al punto B possiamo scrivere <math>W=\int_A^B \vec F \cdot d\vec s</math> e chiamiamo questa nuova quantità '''lavoro della forza'''.
In effetti la quantità <math>\vec F \cdot d \vec s= F \cos \theta ds= F_T ds</math> è la componente tangenziale del lavoro sulla traiettoria di tutte le forze agenti sul punto. I casi in cui il lavoro è nullo sono quelli dove non agisce nesuna forza oppure la risultante delle forze è perpendicolare alla traiettoria così che <math>\cos \theta = 0 \,\!</math>.
Il tasso di variazione del lavoro esprime la rapidità di erogazione dello stesso ed introduce la grandezza chiamata '''potenza''' data quindi da <math>\frac{dW}{dt}=F_T v</math>.
=== Energia Cinetica ===
Dalla espressione del lavoro possiamo ricavare un'importante grandezza chiamata '''energia cinetica''' che ricaviamo direttamente da <math>dW=F_T ds=m a_T ds=m\frac{dv}{dt}ds=m\frac{ds}{dt}dv =m v dv</math> ed integrando otteniamo <math>W=\frac{1}{2}mv^2_B-\frac{1}{2}mv^2_A=\Delta E_k</math> dove <math>E_{k_i} = \frac{1}{2} m v^2_i</math>
Si noti che l'energia cinetica è stata ricavata utilizzando la seconda legge di Newton e quindi ha validità generale ed inoltre è una caratteristica intrinseca del corpo; ovviamente è legata ad uno spostamento del corpo stesso come lo è il lavoro.
Un'altra espressione lega l'energia cinetica alla quantità di moto ed è la seguente <math>E_k=\frac{p^2}{2m}</math>.
=== Energia potenziale ===
Ogni forza che agisce su un corpo che si muove genera lavoro, ma a volte il percorso seguito influisce su di esso ovvero può essere, come nel caso della forza peso o della forza elastica, che il lavoro dipenda solo dalla posizione iniziale e finale del moto mentre in altri casi, come in presenza di attriti, il percorso seguito introduce forze che contribuiscono in modo attivo e delle quali dobbiamo tenere conto.
Le forze che NON dipendono dal percorso seguito si dicono '''forze conservative'''. Il lavoro delle forze conservative lungo un percorso chiuso risulta quindi nullo ovvero <math>\oint \vec F \cdot d \vec s = 0</math>.
La funzione che definisce il lavoro per forze conservative è data da <math>W=-\Delta E_p\,\!</math> dove <math>E_p \,\!</math> è detta '''energia potenziale'''.
Va ricordato che il fatto che il lavoro lungo un percorso chiuso sia nullo è condizione per l'esistenza di una funzione delle coordinate alla quale posso applicare un operatore chiamato '''gradiente''' ed indicato con <math>\nabla=\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}</math>.
Questo operatore dato uno scalare ritorna un vettore e quindi, in questo caso particolare, il gradiente della funzione energia potenziale ritorna le componenti cartesiane della forza in questione.
In questo caso <math>F_x=-\frac{\partial E_p}{\partial x},F_y=-\frac{\partial E_p}{\partial y},F_z=-\frac{\partial E_p}{\partial z}</math> o in modo più compatto
:<math>\vec F =- \vec{grad} E_p=-\nabla E_p</math>
=== Energia Meccanica ===
Le due formule che legano il lavoro, l'energia potenziale e quella cinetica possono essere unificate, ovviamente in presenza di sole forze conservative, per esprimere il concetto di conservazione dell''''energia meccanica''' che definiamo come la somma dell'energia potenziale e quella cinetica di un sistema ed è data da <math>E_m=E_k+E_p=costante \,\!</math>.
Nel caso invece vi sia un contributo anche di forze non conservative allora notiamo che il lavoro è dato da <math>W=W_c+W_{nc}=E_k,B-E_k,A \,\!</math>. Ricaviamo allora <math>W_{nc}=E_m,B-E_m,A \,\!</math> ovvero in presenza di forze non consevative l'energia meccanica non resta costante e la differenza di essa coincide con il lavoro proprio delle forze non conservative.
== Momenti ==
Introduciamo ora il concetto di momento di un vettore.
{{definizione|Definiamo come '''momento del vettore''' <math>\vec v</math> applicato in un punto '''P ''' ad una certa distanza da un punto '''O''' il vettore <math>\vec M_O=\vec{OP} \times \vec v</math>.}}
Il modulo è dato da <math>M_O=OP v \sin \theta = v d \,\!</math> dove <math>\theta \,\!</math> è l'angolo formato dalla direzione del vettore <math>\vec v</math> con la direzione di <math>\vec {OP}</math> e quindi '''d''' non è altro che la distanza del punto '''O''' dalla direttrice di <math>\vec v</math> e verrà chiamato '''braccio'''.
Facciamo notare come il modulo, essendo dipendente da '''d''' e non da '''OP''', non dipende dal punto in cui viene applicato il vettore <math>\vec v</math> lungo la sua direttrice.
A questo punto ritorniamo ai nostri concetti ormai familiari di forza e velocità e definiamo due concetti come il '''momento angolare''' ed il '''momento di una forza'''
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Presa la traiettoria di un corpo ed un punto fisso detto '''polo''' notiamo che rispetto a questo polo la velocità e la quantità di moto di un corpo sono vettori nello spazio ad una distanza <math>\vec r</math> dal polo.
Possiamo definire allora un momento del vettore quantità di moto rispetto ad '''O''' in questo modo <math>\vec L=\vec r \times \vec p= \vec r \times m \vec v</math>
=== Momento della forza ===
Il momento di una forza ha l'espressione <math>\vec M = \vec r \times \vec F</math> e possiamo notare che se vi sono più forze applicate in un punto vale <math>\vec M = \vec r \times \vec R</math>
Se consideriamo la variazione del momento angolare nel tempo allora possiamo scrivere <math>\frac{d \vec L}{dt} = \frac {d \vec r}{dt} \times m \vec v + \vec r \times m \frac{d \vec v}{dt}</math>.
Nel caso che il polo '''O''' sia fermo la prima quantità è nulla in quanto il corpo avrebbe velocità <math>\vec v = \frac {d \vec r}{dt}</math> ed il prodotto vettoriale si annullerebbe.
Il secondo termine coincide con la forza applicata moltiplicata vettorialmente per la distanza dal punto '''O'''. Ricaviamo così che <math>\frac{d \vec L}{dt}= \vec M</math>.
Inoltre è importante notare il caso in cui la forza sia applicata lungo la stessa direttice di <math>\vec r</math> allora <math>\vec M=0</math> e di conseguenza <math>\frac{d \vec L}{dt}=0</math> e quindi <math>\vec L = costante</math>.
Poniamo attenzione al valore di <math>\vec L</math>: sappiamo che vale <math>\vec L=\vec r \times m \vec v</math> ma <math>\vec v=\vec v_\theta+\vec v_r</math>. In questo caso <math>\vec L=\vec r \times m(\vec v_\theta + \vec v_r)</math> e la parte <math>\vec v_r</math> si annulla in un prodotto vettoriale con <math>\vec r</math> in quanto paralleli lasciando quindi <math>\vec L = \vec r \times m \vec v_\theta</math>.
<math>\vec L</math> in un campo di forza centrale implica così la costanza del prodotto <math>r^2 \frac{d\theta}{dt}</math> e sarà la chiave per la condizione della costanza della velocità areale nella gravitazione newtoniana.
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