Aritmetica modulare/La relazione di congruenza: differenze tra le versioni

 
dove ''b'' è compreso tra 0 e ''n'' -1. Di conseguenza, ''a'' e ''b'' sono congrui modulo ''n''. Per quanto abbiamo dimostrato prima, ''a'' non può essere anche congruo ad un altro numero ''c'' compreso tra 0 e ''n'' -1, perché altrimenti ''b'' e ''c'' sarebbero in relazione tra loro (per la proprietà transitiva). Quindi, dato un intero ''a'', esiste ed è unico un ''b'' compreso tra 0 e ''n'' -1 a cui è congruo.
 
A questo punto è possibile passare all'insieme quoziente della relazione sull'insieme <math>\mathbb{Z}</math>, ovvero creare un nuovo insieme (che possiamodenoteremo denotaresinteticamente con <math>\mathbb{Z}_n</math>, al posto del più chiaro <math>\mathbb{Z}/_{n \mathbb{Z}}</math>) i cui elementi saranno le classi di equivalenza della relazione<math>\equiv_n</math>. In base ai risultati precedenti, possiamo considerare questo insieme come costituito dalle classi degli elementi 0, 1, 2, ... , ''n'' -1, ovvero
:<math>\mathbb{Z}_n=\{[0]_n, [1]_n, [2]_n, \ldots, [n-1]_n\}</math>
dove i pedici possono essere omessi quando è chiaro senza possibilità d'equivoco di quale modulo stiamo parlando.
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