Analisi matematica I/Funzioni: differenze tra le versioni
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{{Analisi matematica I}}
[[File:Funcao venn.png|200px|thumb|Esempio di funzione con diagrammi di Venn]]
Una '''funzione''' è una relazione tra grandezze, di cui alcune vengono definite ''variabili indipendenti'', ovvero quelle che costituiscono i valori ''di partenza'', e altre ''variabili dipendenti'', il cui valore appunto ''dipende'' dal valore introdotto come ''variabile indipendente''.
== Funzioni ad una variabile ==
Il caso più semplice di funzione è la ''funzione a unica variabile'', ovvero le funzioni che mettono in relazione una sola variabile con una o più ''variabili dipendenti''.
Dati:
* un insieme <math>X</math> detto ''dominio'' di <math>f</math>
* un insieme <math>Y</math> detto ''codominio'' di <math>f</math>
Una '''funzione''' <math>f</math> da <math>X</math> in <math>Y</math> ( <math>f : X \rightarrow Y</math> ) è una ''legge'' che ad ogni elemento <math>x</math> appartenente a <math>X</math> associa uno ed un solo elemento <math>y</math> appartenente a <math>Y</math>.
L'elemento <math>y</math>, valore della ''variabile dipendente'', viene indicato con <math>f(x)</math>, mentre <math>x</math> viene definito anche ''argomento'' della funzione e rappresenta il valore della ''variabile indipendente''.
Dunque abbiamo una funzione ''f'' che associa ''f(x)'' a ''x'', che in simboli si può esprimere anche come:
<math>f : x \mapsto f(x)</math>
=== Proprietà ===
Dalla definizione si deduce che ad un singolo valore del dominio non possono corrispondere più valori nel codominio (non vale però il viceversa), motivo per cui possiamo considerare una funzione una retta, come ancche una parabola ad asse verticale, ma non una circonferenza e nemmeno una parabola ad asse orizzontale.
<gallery>
File:FuncionLineal01.svg|'''Funzioni''': diverse rette nel piano cartesiano
File:Parabola kartezsky system nahore.GIF|'''Funzione''': parabola ad asse verticale
File:Parabola kartezsky system vlevo.GIF|'''Non è una funzione''': parabola ad asse orizzontale
File:Absolute value.jpg|'''Non è una funzione''': circonferenza
</gallery>
==== Immagine ====
Si definisce ''immagine'' dell'elemento x appartenente al dominio X della funzione ''f'' il corrispondente elemento <math>y = f(x)</math> del codominio Y. In altre parole l'elemento y del codominio, associato dalla funzione ''f'' all'argomento x.
Considerando una funzione <math>f : X \rightarrow Y</math>, si definisce invece ''insieme immagine'' ( <math>I \! m f</math> oppure <math>f(X)\,</math> ) l'insieme delle immagini di tutti i valori di una funzione, e vale sempre <math>I \! m f \subseteq Y</math>.
Per estensione <math>I \! m f</math> lo si può definire come:
<math>\{y \in Y | \exists x \in X : y=f(x)\}</math>
==== Funzioni suriettive ====
Una funzione si dice ''suriettiva'' quando l'insieme immagine coincide con il codominio, ovvero quando ogni elemento y del codominio è immagine di almeno un elemento x del dominio.
Formalmente, una funzione <math>f:X \rightarrow Y</math> è suriettiva se <math>\forall y \in Y, \exist x \in X | f(x) = y</math>.
===== Esempi =====
Se consideriamo funzioni <math>\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math>, sono suriettive le rette, la funzione ''tangente'', le potenze dispari (<math>f(x)=x^3, f(x)=x^5</math>, etc.) etc. In questo stesso ambito non possiamo considerare funzioni suriettive né le parabole ad asse verticale, né le iperboli, né le funzioni seno e coseno, né i logaritmi etc.
==== Funzioni iniettive ====
Una funzione si dice ''iniettiva'' se elementi distinti del dominio hanno immagini distinte, o equivalentemente se ad ogni elemento del codominio corrisponde al più un elemento distinto del dominio.
Si può dire dunque che <math>f:X \rightarrow Y</math> è iniettiva se e solo se <math> \forall x_1, x_2 \in X, x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)</math>
In alternativa, utilizzando il concetto di ''immagine'', la funzione si può definire iniettiva se:
:<math>\forall \! y \in I\!m f , \, \exist ! x \in X : f(x) = y </math>
:''Note:''
:*<math>\exist !</math> = "esite un solo"
===== Esempi =====
Se consideriamo funzioni <math>\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math>, sono iniettive le rette, i logaritmi, le iperboli equilatere, le potenze dispari (<math>f(x)=x^3, f(x)=x^5</math> etc. Sempre nello stesso ambito non possiamo considerare iniettive né le parabole ad asse verticale, né le iperboli non equilatere, né tutte le funzioni periodiche, tra cui seno e coseno e tangente etc.
==== Funzioni biunivoche ====
Una funzione è ''biunivoca'' (o ''biiettiva'') se essa è contemporaneamente suriettiva ed iniettiva.
Tutte le funzioni biunivoche godono della proprietà di essere ''invertibili''.
== Tipi di funzioni ==
*''Successioni'': sono funzioni di <math>\mathbb{N}</math> in <math>\mathbb{R}</math> ( <math>f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}</math> ), ovvero funzioni che ''partono'' dall'insieme dei numeri naturali e ''terminano'' nell'insieme dei numeri reali.
*''Funzioni reali di variabile reale'': sono funzioni di <math>\mathbb{R}</math> in <math>\mathbb{R}</math> ( <math>f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> ), le cui coppie ''(x,y)'' appartengono all'insieme <math>\mathbb{R} \cdot \mathbb{R} = \mathbb{R}^2</math>
== Successioni ==
{{vedi anche|Successioni reali}}
== Funzioni reali di variabile reale ==
Le funzioni <math>f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> sono quelle più comunemente trattate dall'analisi e possono possedere, a certe condizioni, alcune particolari proprietà che in genere si studiano su tali funzioni nonostante il fatto che queste stesse proprietà siano spesso applicabili a funzioni non necessariamente di variabile reale.
=== Funzioni limitate ===
Una funzione <math>f:X \rightarrow Y</math> si dice ''limitata'' ''superiormente'', ''inferiormente'' o entrambe se per ogni x f(x) è relativamente minore di un valore ''M'' o maggiore di un valore ''m'' o entrambi, con <math>m, M \in Y</math>
*''Limitata superiormente'': <math>\forall x \in X \, f(x)<M, \, M \in Y</math>
*''Limitata inferiormente'': <math>\forall x \in X \, f(x)>m, \, m \in Y</math>
=== Funzioni contenenti simmetrie ===
*''Funzioni pari'': sono funzioni simmetriche rispetto all'asse delle ordinate, per cui vale la relazione:
:<math>f(-x) = f(x) \,</math>
*''Funzioni dispari'': sono funzioni simmetriche rispetto all'origine degli assi, per cui vale la relazione:
:<math>f(-x) = - f(x)\,</math>
=== Funzioni monotòne ===
Una funzione si definisce ''monotòna'' se essa è sempre crescente (o al più costante) o sempre decrescente (o al più costante) nel suo dominio.
Una funzione si dice invece ''strettamente monotona'' se è sempre crescente o sempre decrescente ma mai costante. Se invece si intende sottolineare che una funzione è ''monotona'' ma non ''strettamente monotona'', allora si può dire ''monotona in senso lato''. Se la funzione è monotona e crescente si difinisce ''monotona crescente'', se essa è monotona e decrescente si definisce ''monotona decrescente''.
Dunque, una funzione <math>f : X \rightarrow Y</math> è ''monotona crescente, in senso lato'' se:
:<math>\forall x_1,x_2 \in X, \, \, x_1 \le x_2 \, | \, f(x_1) \le f(x_2) </math>
Mentre è ''monotona decrescente, in senso lato'' se:
:<math>\forall x_1,x_2 \in X, \, \, x_1 \le x_2 \, | \, f(x_1) \ge f(x_2) </math>
Invece, per esempio, una funzione ''strettamente monotona, crescente'' è caratterizzata dalla seguente proprietà:
:<math>\forall x_1,x_2 \in X, \, \, x_1 < x_2 \, | \, f(x_1) < f(x_2) </math>
vale a dire che i rapporti di comparazione sono di <math>< \,</math> e non di <math>\le</math>.
=== Funzioni periodiche ===
=== Funzioni inverse ===
La funzione inversa <math>f^{-1} \,</math> di una funzione <math>f : X \rightarrow Y</math> ''iniettiva'' è quella funzione che a partire dai valori <math>y = f(x) \in Y</math> restituisce i valori di partenza di <math>f \,</math>, ovvero i valori <math>x \in X</math> del dominio di <math>f \,</math>, per cui data:
:<math>f : X \rightarrow Y</math>
:con <math>D' = I\!mf </math> e soprattutto <math>f \,</math> ''iniettiva'' (condizione fondamentale),
vale:
:<math> f^{-1} : D' \rightarrow X \, | \, f^{-1}(f(x)) = x, \,\, \forall x \in X</math> oppure, similmente, <math>\forall y = f(x)\in D'</math>
La condizione di iniettività di f è fondamentale, tantoché per ottenere le funzioni inverse di alcune funzioni non iniettive con dominio <math>\mathbb{R}</math> (come <math>\sin(x), \cos(x), \tan(x) \,</math> ), quando è possibile si restringe arbitrariamente il dominio ad un intervallo limitato in cui la funzione si mantiene iniettiva.
=== Analisi delle proprietà del grafico ===
Il ''grafico di una funzione'' <math>f : X \rightarrow Y</math> è una rappresentazione dell'insieme delle coppie <math>(x,f(x)) \in X \! \times \! Y, \forall x \in X</math>, quindi vale:
:<math>G(f) := \{ (x,f(x)) \in X \! \times \! Y, \forall x \in X \} \subseteq X \! \times \! Y</math>
[[Categoria:Analisi matematica I|Funzioni]]
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