Matematica per le superiori/I monomi: differenze tra le versioni

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{{Matematica per le superiori}}
 
=Definizioni=
=Monomi=
{{definizione|Si dice '''monomio''' un'espressione algebrica costituita da un coefficiente e una parte letterale dove non compaiono addizioni e sottrazioni.}}
 
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<math> \left( \frac {7abc^3} {3x^2y} \right) \left( \frac {2} {3m^2n} \right) </math> ma non <math> \frac {5x^2} {3a + 4b} </math>
 
==Monomio ridotto a forma normale==
{{definizione|Un monomio si dice '''ridotto a forma normale''' se viene espresso come prodotto di un unico fattore numerico e di fattori letterali, in cui ciascuna lettera compare una sola volta elevata ad un certo esponente.}}
 
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Nel monomio <math> -13axz^3 </math>, <math> -13 </math> è il coefficiente, e <math> axz^3 </math> è la parte letterale.
 
==Monomi simili==
{{definizione|Due monomi ridotti a forma normale si dicono '''simili''' quando hanno la stessa parte letterale.}}
 
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I monomi <math> 3ab^2 </math> e <math> 9ab^2 </math> sono simili perché hanno la stessa parte letterale <math> ab^2 </math>.
 
==Monomio intero==
{{definizione|Un monomio ridotto in forma normale si dice '''intero''' se le lettere non figurano al denominatore.}}
 
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<math> 12ab^2cde^4 </math> o <math> \frac {13x^2y}{5 \cdot 2} </math>
 
==Monomio fratto==
{{definizione|Un monomio ridotto a forma normale si dice '''fratto''' se vi sono lettere che compaiono a denominatore.}}
 
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<math> \frac {3abc}{xz^4} </math> ma non <math> \frac {6xy}{3^2 \cdot 2} </math>
 
==Operazioni tra monomi==
 
=== Addizione algebrica ===
 
{{definizione|La ''somma algebrica'' di due o più monomi '''simili''' è un monomio simile ad essi, in cui il coefficiente è la somma algebrica dei coefficienti dei singoli monomi.}}
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Quando i monomi non sono simili la somma non può essere applicata e si lascia l'espressione inalterata. Quando si ha un'espressione con più monomi si deve sempre cercare di sommare i termini simili fino ad arrivare ad una forma non più modificabile.
 
==== Addizione algebrica di monomi simili ====
L'addizione algebrica tra monomi simili è una operazione interna. Ad esempio:
 
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:<math> 3x^2 + 4x^2 = 7x^2 </math>
 
==== Addizione algebrica di monomi non simili tra loro ====
Quando i monomi non sono simili l'addizione algebrica non porta semplificazioni, l'espressione rimane inalterata ed il risultato non è più un monomio, ma un [[polinomio]]:
:<math>3x-y+\frac{2}{5}z = 3x-y+\frac{2}{5}z</math>
 
==== Addizione algebrica di monomi simili e non simili ====
 
Quando in un'addizione abbiamo sia monomi simili sia monomi non simili, la somma algebrica viene fatta solo tra monomi simili lasciando inalterati gli altri:
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questo procedimento viene anche detto ''riduzione dei termini simili''.
 
===Prodotto di monomi===
 
{{definizione|Il '''prodotto di monomi''' è quel monomio avente per coefficiente il prodotto dei coefficienti, e per parte letterale il prodotto delle parti letterali.}}
 
Tenendo conto delle proprietà delle potenze, il prodotto delle parti letterali si ottiene riportando tutte le lettere dei monomi di partenza elevate ad un esponente pari alla somma degli esponenti con i quali ciascuna lettera figura nei monomi di partenza.
 
====Esempio====
 
<math> (2ab^2)(3abc) = 6 a^{1 + 1} b^{2 + 1} c = 6 a^2b^3c. </math>
 
<math> \left( \frac {x^2y}{4} \right) \left( \frac {x^2b}{2} \right) = \frac {bx^4y}{8}</math>
 
 
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[[Categoria:Matematica per le superiori|Monomi]]
{{Avanzamento|50%|12 luglio 2013}}
 
=Prodotto da due Monomi=
Il '''prodotto''' di due o più monomi è il monomio che ha per coefficiente il prodotto dei coefficienti dei singoli monomi e come parte letterale il prodotto delle loro parti letterali. Ogni fattore letterale ha l'esponente uguale alla somma degli esponenti che esso ha nei singoli monomi.
 
Considerando ad esempio il prodotto tra <math>5ab^3y^2</math> e <math>-3a^3b^5</math>, il prodotto dei coefficienti è:
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quindi il prodotto dei singoli monomi risulta essere
:<math> 5ab^3y^2 \cdot (-3a^3b^5) = -15a^4b^8y^2</math>
 
====Esempi====
 
:<math> (2ab^2)(3abc) = 6 a^{1 + 1} b^{2 + 1} c = 6 a^2b^3c. </math>
 
:<math> \left( \frac {x^2y}{4} \right) \left( \frac {x^2b}{2} \right) = \frac {bx^4y}{8}</math>
 
Altri esempi di moltiplicazione tra monomi:
 
:<math>4ay \cdot 3a^2x=12a^3xy</math>
:<math>-4x^2y^2 \cdot -\frac{1}{2}x^3z = 2x^5y^2z</math>
:<math>2xy \cdot 3x^2a \cdot -x^4a^3b = -6x^7ya^4b</math>
 
==Elevamento alla potenza==
 
La '''potenza''' di un monomio è il monomio che ha per coefficiente la potenza del coefficiente e per parte letterale la potenza di ciascun fattore letterale del monomio. Considerando il monomio <math>-2ab^3x^2</math> calcolare il suo cubo vuol dire moltiplicare 3 volte per se stesso il monomio:.
====Esempio====
 
====Esempi====
:<math>(-2ab^3x^2)^3 = (-2ab^3x^2) \cdot (-2ab^3x^2) \cdot(-2ab^3x^2)</math>
che per le regole del prodotto viste sopra diventa:
:<math>(-2ab^3x^2)^3 = -8a^3b^9x^6</math>
 
Altre potenze di monomi sono:
Altri esempi:
====Esempio====
 
:<math> (2xy^2)^3 = 2^3x^3(y^2)^3 = 8x^3y^6 </math>
 
:<math> (-\frac{1}{3}x^3yz^2)^2 = \frac{1}{9}x^6y^2z^4</math>
 
==Divisione==
 
In alcuni casi molto particolari, anche il quoziente di due monomi è un monomio:
 
===Esempio===
:<math> 2x^2y / xy = 2x </math>
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non esiste nessun altro monomio che, moltiplicato per <math> 2xy </math>, dia come risultato 1. Questo perché la moltiplicazione fra monomi può solo incrementare il numero di lettere coinvolte, e non può eliminarle.
 
==Minimo comune multiplo==
 
 
=Minimo comune multiplo=
{{Vedi anche|Minimo comune multiplo}}
Minimo comune multiplo tra due monomi è definito come quel monomio di grado minimo che è divisibile per i due dati.
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Per quanto riguarda il coefficiente, per convenzione, si utilizza l'm.c.m. tra i coefficienti quando è possibile calcolarlo, altrimenti 1.
 
====Esempio:====
: <math> m.c.m.(2x^{2}y^{2}; 3x^{3}yz^{2}) = 6x^{3}y^{2}z^{2} </math>
:<math> m.c.m.(-\frac{2}{3}xy^{3}z^{4}; 3xy^{2}z^{5}) = xy^{3}z^{5} </math>
 
=== Calcolo efficiente del mcm ===
 
La formula
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Anche se i numeri sono grandi e non sono facilmente scomponibili in fattori, il MCD può essere calcolato velocemente usando l'[[algoritmo di Euclide]].
 
===Come ricordarsi di semplificare prima di moltiplicare ===
 
Il metodo che segue rende impossibile dimenticarsi di semplificare prima di moltiplicare. Verrà illustrato con un esempio: come trovare il mcm(12,&nbsp;8).
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* Il prodotto 12&nbsp;×&nbsp;2&nbsp;=&nbsp;8&nbsp;×&nbsp;3 è il mcm: 24.
 
=== Metodo di calcolo alternativo ===
 
Il [[teorema fondamentale dell'aritmetica]] afferma che ogni intero maggiore di 1 può essere scritto in un modo unico come prodotto di [[numero primo|fattori primi]]. I numeri primi possono essere considerati come "atomi" che, combinati insieme, producono un [[numero composto]].
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:mcm(''x''³, ''ab''(''x''²-2''x''+1), (1-''x''))=mcm(''ab'',''x''³(1-''x'')²) =mcm(''ab'',''x''³(''x''-1)²)
 
==Massimo comune divisore==
{{Vedi anche|Massimo comune divisore}}
Il massimo comune divisore tra i due numeri a e b viene indicato con MCD(a, b), o più semplicemente (a, b). Ad esempio, MCD(12, 18) = 6, MCD(−4, 14) = 2 e MCD(5, 0) = 5.
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Il massimo comune divisore è utile per ridurre una frazione ai minimi termini.
 
=== Calcolo del M.C.D (Massimo Comune Divisore) ===
Il massimo comune divisore può essere calcolato, in linea di principio, determinando la [[Teorema fondamentale dell'aritmetica|scomposizione in fattori primi]] dei due numeri dati e moltiplicando i fattori comuni, considerati una sola volta con il loro '''minimo esponente'''. Per esempio, per calcolare il MCD(18,84) si scompongono dapprima i due numeri in fattori primi, ottenendo 18&nbsp;=&nbsp;2·3<sup>2</sup> e 84&nbsp;=&nbsp;2<sup>2</sup>·3·7, e poi si considerano i fattori comuni con esponente più piccolo ai due numeri, 2 e 3: entrambi compaiono con esponente minimo uguale a 1, e quindi si ottiene che MCD(18,84)=6. Se non ci sono fattori primi comuni, il MCD è 1 e i due numeri sono detti [[numeri coprimi|coprimi]]; ad esempio MCD(242,375)=1.
 
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ottenendo un quoziente di 4 e un resto di 12. Poi si divide 18 per 12 ottenendo un quoziente di 1 e un resto di 6. Infine si divide 12 per 6 ottenendo un resto di 0, il che significa che 6 è il massimo comune divisore.
 
=== Proprietà ===
 
*Ogni [[divisore]] comune di ''a'' e ''b'' è un divisore di MCD(''a'',&nbsp;''b'').
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*In un [[assi cartesiani|sistema di coordinate cartesiane]] il MCD(''a'',&nbsp;''b'') può essere interpretato come il numero di punti con coordinate intere sulla retta che passa per i punti (0,&nbsp;0) e (''a'',&nbsp;''b''), escludendo il punto (0,&nbsp;0).
 
=== Il MCD in anelli commutativi ===
 
Il massimo comune divisore può essere definito in maniera più generale per gli elementi di un [[anello commutativo]] arbitrario.
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Analogamente alla proprietà di Bezout si può considerare, in un qualunque anello commutativo, la collezione di elementi nella forma <math>p a + q b</math>, dove ''p'' e ''q'' variano all'interno dell'anello. Si ottiene l'[[ideale (matematica)|ideale]] generato da ''a'' e ''b'', che viene denotato semplicemente con <math>(a,b)</math>. In un anello i cui ideali sono tutti principali (un [[anello ad ideali principali]], "principal ideal domain" o PID), questo ideale sarà identico all'insieme dei multipli di qualche elemento ''d'' dell'anello; allora questo ''d'' è un massimo comun divisore di ''a'' e ''b''. Ma l'ideale <math>(a,b)</math> può essere utile anche quando non c'è nessun MCD di ''a'' e ''b'' (in effetti, [[Ernst Kummer]] usò questo ideale come sostituto del MCD nel suo studio dell'[[ultimo teorema di Fermat]], anche se lo considerò come l'insieme di multipli di un qualche ipotetico, o ''ideale'', elemento ''d'' dell'anello, da qui proviene il termine ''ideale'').
 
==Grado complessivo di un monomio==
 
===Grado complessivo di un monomio===
{{definizione|Dato un monomio intero ridotto a forma normale, si dice '''grado complessivo''' di quel monomio la somma degli esponenti delle sue lettere, precisando che le lettere prive di esponente vanno considerate elevate ad esponente pari a <math> 1 </math>.}}
 
===Esempio===
====Esempio====
 
Il monomio <math> -13axz^3 </math> ha grado complessivo pari a <math> 1 + 1 + 3 = 5 </math>
 
===Grado rispetto ad una lettera===
{{definizione|Dato un monomio intero ridotto a forma normale, si dice '''grado rispetto ad una lettera''' l'esponente a cui è elevata quella lettera.}}
 
====Esempio====
 
Dato il monomio <math> -13axz^3 </math>, il grado rispettivo alla <math> z </math> è pari a <math> 3 </math>.
 
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{{Avanzamento|50%|12 luglio 2013}}