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=Massimo comune divisore=
{{Vedi anche|Massimo comune divisore}}
Il massimo comune divisore tra i due numeri a e b viene indicato con MCD(a, b), o più semplicemente (a, b). Ad esempio, MCD(12, 18) = 6, MCD(−4, 14) = 2 e MCD(5, 0) = 5.
Due numeri si dicono coprimi o primi tra loro se il loro massimo comun divisore è uguale a 1. Per esempio, i numeri 9 e 28 sono primi tra loro (ma non sono numeri primi).
Il massimo comune divisore è utile per ridurre una frazione ai minimi termini.
== Calcolo del M.C.D (Massimo Comune Divisore) ==
Il massimo comune divisore può essere calcolato, in linea di principio, determinando la [[Teorema fondamentale dell'aritmetica|scomposizione in fattori primi]] dei due numeri dati e moltiplicando i fattori comuni, considerati una sola volta con il loro '''minimo esponente'''. Per esempio, per calcolare il MCD(18,84) si scompongono dapprima i due numeri in fattori primi, ottenendo 18 = 2·3<sup>2</sup> e 84 = 2<sup>2</sup>·3·7, e poi si considerano i fattori comuni con esponente più piccolo ai due numeri, 2 e 3: entrambi compaiono con esponente minimo uguale a 1, e quindi si ottiene che MCD(18,84)=6. Se non ci sono fattori primi comuni, il MCD è 1 e i due numeri sono detti [[numeri coprimi|coprimi]]; ad esempio MCD(242,375)=1.
Questo metodo è utilizzabile, nella pratica, solo per numeri molto piccoli: la scomposizione in fattori primi di un numero richiede in generale troppo tempo.
Un metodo molto più efficiente è fornito dall'[[algoritmo di Euclide]]: si divide 84 per 18
ottenendo un quoziente di 4 e un resto di 12. Poi si divide 18 per 12 ottenendo un quoziente di 1 e un resto di 6. Infine si divide 12 per 6 ottenendo un resto di 0, il che significa che 6 è il massimo comune divisore.
== Proprietà ==
*Ogni [[divisore]] comune di ''a'' e ''b'' è un divisore di MCD(''a'', ''b'').
*MCD(''a'', ''b''), dove ''a'' e ''b'' non sono contemporaneamente uguali a zero, può essere definito in modo alternativo ed equivalente come il più piccolo intero positivo ''d'' che può essere scritto nella forma ''d'' = ''a''·''p'' + ''b''·''q'' dove ''p'' e ''q'' sono interi. Questa espressione viene chiamata [[identità di Bézout]].
*Se ''a'' [[divisore|divide]] il prodotto ''b''·''c'', e MCD(''a'', ''b'') = ''d'', allora ''a''/''d'' divide ''c''.
*Se ''m'' è un intero non nullo, allora MCD(''m''·''a'', ''m''·''b'') = ''m''·MCD(''a'', ''b'') e MCD(''a'' + ''m''·''b'', ''b'') = MCD(''a'', ''b''). Se ''m'' è un divisore comune diverso da zero di ''a'' e ''b'', allora MCD(''a''/''m'', ''b''/''m'') = MCD(''a'', ''b'')/''m''.
*Il MCD è una [[funzione moltiplicativa]] nel senso seguente: se ''a''<sub>1</sub> e ''a''<sub>2</sub> sono [[coprimi|primi tra loro]], allora MCD(''a''<sub>1</sub>·''a''<sub>2</sub>, ''b'') = MCD(''a''<sub>1</sub>, ''b'')·MCD(''a''<sub>2</sub>, ''b'').
*Il MCD di tre numeri può essere calcolato come MCD(''a'', ''b'', ''c'') = MCD(MCD(''a'', ''b''), ''c'') = MCD(''a'', MCD(''b'', ''c'')). Quindi il MCD è una operazione [[proprietà associativa|associativa]].
*MCD(''a'', ''b'') è legato al [[minimo comune multiplo]] mcm(''a'', ''b''): si ha
::MCD(''a'', ''b'')·mcm(''a'', ''b'') = ''a''·''b''.
:Questa formula viene usata spesso per calcolare il minimo comune multiplo: si calcola prima il MCD con l'algoritmo di Euclide e poi si divide il prodotto dei due numeri dati per il loro MCD.
*Vale la seguente [[proprietà distributiva]]: rolling
::MCD(''a'', mcm(''b'', ''c'')) = mcm(MCD(''a'', ''b''), MCD(''a'', ''c''))
::mcm(''a'', MCD(''b'', ''c'')) = MCD(mcm(''a'', ''b''), mcm(''a'', ''c'')).
*È utile definire MCD(0, 0) = 0 e mcm(0, 0) = 0 perché in questo modo i [[numero naturale|numeri naturali]] diventano un [[reticolo (matematica)|reticolo]] [[Reticolo (matematica)#Completezza|completo]] [[reticolo (matematica)#Distributività|distributivo]] con MCD e mcm come operazioni. Questa estensione è compatibile anche con la generalizzazione per gli anelli commutativi data più sotto.
*In un [[assi cartesiani|sistema di coordinate cartesiane]] il MCD(''a'', ''b'') può essere interpretato come il numero di punti con coordinate intere sulla retta che passa per i punti (0, 0) e (''a'', ''b''), escludendo il punto (0, 0).
== Il MCD in anelli commutativi ==
Il massimo comune divisore può essere definito in maniera più generale per gli elementi di un [[anello commutativo]] arbitrario.
Se ''R'' è un anello commutativo e ''a'' e ''b'' appartengono a ''R'', allora un elemento ''d'' di ''R'' è chiamato ''divisore comune'' di ''a'' e ''b'' se divide sia ''a'' che ''b'' (e cioè se esistono due elementi ''x'' e ''y'' in ''R'' tali che ''d''·''x'' = ''a'' e ''d''·''y'' = ''b'').
Se ''d'' è un divisore comune di ''a'' e ''b'', e ogni divisore comune di ''a'' e ''b'' divide ''d'', allora ''d'' viene chiamato un ''massimo comun divisore'' di ''a'' e ''b''.
Si noti che, secondo questa definizione, due elementi ''a'' e ''b'' possono avere più di un massimo comun divisore, oppure nessuno. Ma se ''R'' è un [[dominio di integrità]] allora due qualsiasi MCD di ''a'' e ''b'' devono essere elementi associati. Inoltre, se ''R'' è un [[dominio a fattorizzazione unica]], allora due qualunque elementi hanno un MCD. Se ''R'' è un [[anello euclideo]] allora i MCD possono essere calcolati con una variante dell'algoritmo euclideo.
Quello che segue è un esempio di un dominio di integrità con due elementi che non ammettono un MCD:
:<math>R = \mathbb{Z}[\sqrt{-3}],\quad a = 4 = 2\cdot 2 = (1+\sqrt{-3})(1-\sqrt{-3}),\quad b = (1+\sqrt{-3})\cdot 2</math>
Gli elementi <math>1+\sqrt{-3}</math> e <math>2</math> sono due "divisori comuni massimali" (cioè ogni divisore comune che è multiplo di 2 è associato a 2, e lo stesso vale per <math>1+\sqrt{-3}</math>), ma non sono associati, quindi non esiste il massimo comun divisore di ''a'' e ''b''.
Analogamente alla proprietà di Bezout si può considerare, in un qualunque anello commutativo, la collezione di elementi nella forma <math>p a + q b</math>, dove ''p'' e ''q'' variano all'interno dell'anello. Si ottiene l'[[ideale (matematica)|ideale]] generato da ''a'' e ''b'', che viene denotato semplicemente con <math>(a,b)</math>. In un anello i cui ideali sono tutti principali (un [[anello ad ideali principali]], "principal ideal domain" o PID), questo ideale sarà identico all'insieme dei multipli di qualche elemento ''d'' dell'anello; allora questo ''d'' è un massimo comun divisore di ''a'' e ''b''. Ma l'ideale <math>(a,b)</math> può essere utile anche quando non c'è nessun MCD di ''a'' e ''b'' (in effetti, [[Ernst Kummer]] usò questo ideale come sostituto del MCD nel suo studio dell'[[ultimo teorema di Fermat]], anche se lo considerò come l'insieme di multipli di un qualche ipotetico, o ''ideale'', elemento ''d'' dell'anello, da qui proviene il termine ''ideale'').
=Grado complessivo di un monomio=
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