Matematica per le superiori/I monomi: differenze tra le versioni
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*In un [[assi cartesiani|sistema di coordinate cartesiane]] il MCD(''a'', ''b'') può essere interpretato come il numero di punti con coordinate intere sulla retta che passa per i punti (0, 0) e (''a'', ''b''), escludendo il punto (0, 0).
== Il MCD in anelli commutativi ==
Il massimo comune divisore può essere definito in maniera più generale per gli elementi di un [[anello commutativo]] arbitrario.
Se ''R'' è un anello commutativo e ''a'' e ''b'' appartengono a ''R'', allora un elemento ''d'' di ''R'' è chiamato ''divisore comune'' di ''a'' e ''b'' se divide sia ''a'' che ''b'' (e cioè se esistono due elementi ''x'' e ''y'' in ''R'' tali che ''d''·''x'' = ''a'' e ''d''·''y'' = ''b'').
Se ''d'' è un divisore comune di ''a'' e ''b'', e ogni divisore comune di ''a'' e ''b'' divide ''d'', allora ''d'' viene chiamato un ''massimo comun divisore'' di ''a'' e ''b''.
Si noti che, secondo questa definizione, due elementi ''a'' e ''b'' possono avere più di un massimo comun divisore, oppure nessuno. Ma se ''R'' è un [[dominio di integrità]] allora due qualsiasi MCD di ''a'' e ''b'' devono essere elementi associati. Inoltre, se ''R'' è un [[dominio a fattorizzazione unica]], allora due qualunque elementi hanno un MCD. Se ''R'' è un [[anello euclideo]] allora i MCD possono essere calcolati con una variante dell'algoritmo euclideo.
Quello che segue è un esempio di un dominio di integrità con due elementi che non ammettono un MCD:
:<math>R = \mathbb{Z}[\sqrt{-3}],\quad a = 4 = 2\cdot 2 = (1+\sqrt{-3})(1-\sqrt{-3}),\quad b = (1+\sqrt{-3})\cdot 2</math>
Gli elementi <math>1+\sqrt{-3}</math> e <math>2</math> sono due "divisori comuni massimali" (cioè ogni divisore comune che è multiplo di 2 è associato a 2, e lo stesso vale per <math>1+\sqrt{-3}</math>), ma non sono associati, quindi non esiste il massimo comun divisore di ''a'' e ''b''.
Analogamente alla proprietà di Bezout si può considerare, in un qualunque anello commutativo, la collezione di elementi nella forma <math>p a + q b</math>, dove ''p'' e ''q'' variano all'interno dell'anello. Si ottiene l'[[ideale (matematica)|ideale]] generato da ''a'' e ''b'', che viene denotato semplicemente con <math>(a,b)</math>. In un anello i cui ideali sono tutti principali (un [[anello ad ideali principali]], "principal ideal domain" o PID), questo ideale sarà identico all'insieme dei multipli di qualche elemento ''d'' dell'anello; allora questo ''d'' è un massimo comun divisore di ''a'' e ''b''. Ma l'ideale <math>(a,b)</math> può essere utile anche quando non c'è nessun MCD di ''a'' e ''b'' (in effetti, [[Ernst Kummer]] usò questo ideale come sostituto del MCD nel suo studio dell'[[ultimo teorema di Fermat]], anche se lo considerò come l'insieme di multipli di un qualche ipotetico, o ''ideale'', elemento ''d'' dell'anello, da qui proviene il termine ''ideale'').
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