Matematica per le superiori/I monomi: differenze tra le versioni
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Un metodo molto più efficiente è fornito dall'[[algoritmo di Euclide]]: si divide 84 per 18
ottenendo un quoziente di 4 e un resto di 12. Poi si divide 18 per 12 ottenendo un quoziente di 1 e un resto di 6. Infine si divide 12 per 6 ottenendo un resto di 0, il che significa che 6 è il massimo comune divisore.
== Proprietà ==
*Ogni [[divisore]] comune di ''a'' e ''b'' è un divisore di MCD(''a'', ''b'').
*MCD(''a'', ''b''), dove ''a'' e ''b'' non sono contemporaneamente uguali a zero, può essere definito in modo alternativo ed equivalente come il più piccolo intero positivo ''d'' che può essere scritto nella forma ''d'' = ''a''·''p'' + ''b''·''q'' dove ''p'' e ''q'' sono interi. Questa espressione viene chiamata [[identità di Bézout]].
*Se ''a'' [[divisore|divide]] il prodotto ''b''·''c'', e MCD(''a'', ''b'') = ''d'', allora ''a''/''d'' divide ''c''.
*Se ''m'' è un intero non nullo, allora MCD(''m''·''a'', ''m''·''b'') = ''m''·MCD(''a'', ''b'') e MCD(''a'' + ''m''·''b'', ''b'') = MCD(''a'', ''b''). Se ''m'' è un divisore comune diverso da zero di ''a'' e ''b'', allora MCD(''a''/''m'', ''b''/''m'') = MCD(''a'', ''b'')/''m''.
*Il MCD è una [[funzione moltiplicativa]] nel senso seguente: se ''a''<sub>1</sub> e ''a''<sub>2</sub> sono [[coprimi|primi tra loro]], allora MCD(''a''<sub>1</sub>·''a''<sub>2</sub>, ''b'') = MCD(''a''<sub>1</sub>, ''b'')·MCD(''a''<sub>2</sub>, ''b'').
*Il MCD di tre numeri può essere calcolato come MCD(''a'', ''b'', ''c'') = MCD(MCD(''a'', ''b''), ''c'') = MCD(''a'', MCD(''b'', ''c'')). Quindi il MCD è una operazione [[proprietà associativa|associativa]].
*MCD(''a'', ''b'') è legato al [[minimo comune multiplo]] mcm(''a'', ''b''): si ha
::MCD(''a'', ''b'')·mcm(''a'', ''b'') = ''a''·''b''.
:Questa formula viene usata spesso per calcolare il minimo comune multiplo: si calcola prima il MCD con l'algoritmo di Euclide e poi si divide il prodotto dei due numeri dati per il loro MCD.
*Vale la seguente [[proprietà distributiva]]: rolling
::MCD(''a'', mcm(''b'', ''c'')) = mcm(MCD(''a'', ''b''), MCD(''a'', ''c''))
::mcm(''a'', MCD(''b'', ''c'')) = MCD(mcm(''a'', ''b''), mcm(''a'', ''c'')).
*È utile definire MCD(0, 0) = 0 e mcm(0, 0) = 0 perché in questo modo i [[numero naturale|numeri naturali]] diventano un [[reticolo (matematica)|reticolo]] [[Reticolo (matematica)#Completezza|completo]] [[reticolo (matematica)#Distributività|distributivo]] con MCD e mcm come operazioni. Questa estensione è compatibile anche con la generalizzazione per gli anelli commutativi data più sotto.
*In un [[assi cartesiani|sistema di coordinate cartesiane]] il MCD(''a'', ''b'') può essere interpretato come il numero di punti con coordinate intere sulla retta che passa per i punti (0, 0) e (''a'', ''b''), escludendo il punto (0, 0).
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