Matematica per le superiori/I monomi: differenze tra le versioni

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Analogamente alla proprietà di Bezout si può considerare, in un qualunque anello commutativo, la collezione di elementi nella forma <math>p a + q b</math>, dove ''p'' e ''q'' variano all'interno dell'anello. Si ottiene l'[[ideale (matematica)|ideale]] generato da ''a'' e ''b'', che viene denotato semplicemente con <math>(a,b)</math>. In un anello i cui ideali sono tutti principali (un [[anello ad ideali principali]], "principal ideal domain" o PID), questo ideale sarà identico all'insieme dei multipli di qualche elemento ''d'' dell'anello; allora questo ''d'' è un massimo comun divisore di ''a'' e ''b''. Ma l'ideale <math>(a,b)</math> può essere utile anche quando non c'è nessun MCD di ''a'' e ''b'' (in effetti, [[Ernst Kummer]] usò questo ideale come sostituto del MCD nel suo studio dell'[[ultimo teorema di Fermat]], anche se lo considerò come l'insieme di multipli di un qualche ipotetico, o ''ideale'', elemento ''d'' dell'anello, da qui proviene il termine ''ideale'').
 
== Calcolo del M.C.D (Massimo Comune Divisore) ==
Il massimo comune divisore può essere calcolato, in linea di principio, determinando la [[Teorema fondamentale dell'aritmetica|scomposizione in fattori primi]] dei due numeri dati e moltiplicando i fattori comuni, considerati una sola volta con il loro '''minimo esponente'''. Per esempio, per calcolare il MCD(18,84) si scompongono dapprima i due numeri in fattori primi, ottenendo 18&nbsp;=&nbsp;2·3<sup>2</sup> e 84&nbsp;=&nbsp;2<sup>2</sup>·3·7, e poi si considerano i fattori comuni con esponente più piccolo ai due numeri, 2 e 3: entrambi compaiono con esponente minimo uguale a 1, e quindi si ottiene che MCD(18,84)=6. Se non ci sono fattori primi comuni, il MCD è 1 e i due numeri sono detti [[numeri coprimi|coprimi]]; ad esempio MCD(242,375)=1.
 
Questo metodo è utilizzabile, nella pratica, solo per numeri molto piccoli: la scomposizione in fattori primi di un numero richiede in generale troppo tempo.
 
Un metodo molto più efficiente è fornito dall'[[algoritmo di Euclide]]: si divide 84 per 18
ottenendo un quoziente di 4 e un resto di 12. Poi si divide 18 per 12 ottenendo un quoziente di 1 e un resto di 6. Infine si divide 12 per 6 ottenendo un resto di 0, il che significa che 6 è il massimo comune divisore.
 
=Massimo comune divisore=