Matematica per le superiori/Studio grafico delle funzioni: differenze tra le versioni

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'''TESINA DI MATEMATICA'''
{{Matematica per le superiori}}
Dati due insiemi A e B, una '''funzione''' è una legge che ad ogni elemento di A associa uno e un solo elemento di B (è tuttavia possibile che a più elementi di A corrisponda lo stesso elemento di B). In questo caso l'insieme ''A'' prende il nome di '''dominio''', mentre ''B'' è il '''codominio'''. Nelle funzioni che siamo abituati a trattare, il dominio è l'insieme delle ''x'' (che tipicamente coincide con l'insieme <math>\mathbb{R}</math> dei numeri reali), mentre il codominio è l'insieme delle 'y' (anch'esso coincidente con <math>\mathbb{R}</math>).
 
== Determinazione grafica di una funzione ==
 
[[Immagine:Parabola funzione.png|thumb|left|200px|La parabola è una funzione]]
[[Immagine:Circonferenza non funzione.png|thumb|left|200px|La circonferenza non è una funzione]]
Attraverso la sua rappresentazione grafica si può stabilire se un'equazione sia una funzione o no: quando lo è ad ogni coordinata ''x'' corrisponde una sola ''y'', come avviene nelle '''rette''' (esclusa quella verticale) o nelle parabole con asse verticale. Quando, al contrario, ad almeno una ''x'' corrispondono più ''y'' l'equazione '''non è una funzione''': è il caso della '''circonferenza''' o delle parabole con asse orizzontale.
 
== Dominio e codominio ==
Il dominio nel grafico di una funzione è uguale all'insieme dei valori per i quali la funzione è calcolabile, si trova sull'asse x, ogni retta verticale passante per ciascun punto del dominio incontra il grafico esattamente in un punto. L'immagine è invece costituita dalle y corrispondenti, ogni retta orizzontale passante per ciascun punto dell'immagine incontra il grafico in almeno un punto. Come codominio puo' essere considerato un qualunque sovrainsieme dell'immagine (si trova, come l'immagine, sull'asse y ed è assegnato da chi introduce la funzione).
 
== Funzioni pari e funzioni dispari ==
Quando <math>f(x) = f(-x)</math> la funzione si dice '''pari'''. Quando invece <math>f(-x) = -f(x)</math> la funzione è '''dispari'''. Una funzione esistente non deve necessariamente essere pari o dispari.
 
Le funzioni ''pari'' sono simmetriche rispetto all'asse y, quelle ''dispari'' lo sono invece rispetto all'origine.
 
== Asintoti ==
Gli asintoti, presenti solo in alcune funzioni, sono le ''x'' per cui le y corrispondenti tendono a + o - infinito. Nel grafico questo si traduce in rapide ascese o discese della curva lungo rette verticali immaginarie (gli asintoti) che non vengono mai toccate.
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== Massimi e minimi ==
I massimi e i minimi sono i punti rispettivamente più alti o più bassi di tutta la curva o rispetto ad un intervallo. Nel caso in cui un punto sia il più alto (o il più basso) di '''tutta''' la curva esso è detto massimo (o minimo) '''assoluto'''. Se invece è il più alto (o il più basso) solo in un intervallo il punto prende il nome di massimo (o minimo) '''relativo'''. L'intervallo in questione è detto ''intorno''.
 
== Funzione reciproca ==
Per disegnare il reciproco <math>\frac{1}{f(x)}</math> di una funzione <math>f(x)</math>, partendo dal grafico della funzione, si applichino le seguenti regole:
* In corrispondenza degli zeri di <math>f(x)</math> (<math>y = 0</math>), in <math>1/f(x)</math> (<math>y = 1/0</math>) si trovano asintoti verticali.
* Viceversa dove <math>f(x)</math> tende ad infinito <math>1/f(x)</math> tende a 0.
* I punti di intersezione con la retta <math>y = 1 o y=-1</math> non variano (il reciproco di 1 è 1, quello di -1 è -1).
 
== Valori assoluti ==
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*'''f(|x|)''': si elimina la parte a sinistra dell'asse y e si esegue una simmetria su quest'asse. Si noti che la funzione risultante è '''pari'''.
*'''|f(x)|''': si esegue una simmetria della funzione rispetto all'asse x e si elimina la parte sottostante a quest'asse.
 
{{Avanzamento|100%|9 gennaio 2010}}
[[Categoria:Matematica per le superiori|Studio grafico delle funzioni]]