Differenze tra le versioni di "Esercizi di fisica con soluzioni/La corrente elettrica"

aggiunta numerazione ed eliminato un esercizio ripetuto
(aggiunta numerazione ed eliminato un esercizio ripetuto)
== Esercizi ==
 
===1. Filo a tronco di cono ===
Un filo conduttore di rame di lunghezza <math>l\ </math>, (ad esempio a causa della
corrosione) è ben descritto da un tronco di cono
</div>
 
<span class="noprint">[[#1. Filo a tronco di cono_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
===2. Un filo di materiale conduttore ===
Un filo di materiale conduttore di raggio <math>r\ </math>, resistività
<math>\rho\ </math> ha una lunghezza <math>l\ </math>. Determinare
 
 
<span class="noprint">[[#2. Un filo di materiale conduttore_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
===3. Un faro abbagliante ===
Calcolare la resistenza a caldo <math>R_21\ (T_2=2700\ ^o\ C)\ </math> e a freddo <math>R_1(T_1=20\ ^o\ C)\ </math> di un faro abbagliante di una automobile da <math>P=40\ W</math> alimentato con <math>V=12\ V</math>. Il tungsteno di cui è fatto il filamento ha un coefficiente di temperatura <math>\alpha =0.0045\ ^oC^{-1}\ </math>.
 
 
<span class="noprint">[[#3. Un faro abbagliante_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
===4. Un condensatore carico ===
[[Immagine:CwithRto4C.png|250px|right]]
 
 
 
<span class="noprint">[[#4. Un condensatore carico_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
===5. Tre resistenze ===
[[Immagine:3Resistance.png|250px|right]]
 
 
 
<span class="noprint">[[#5. Tre resistenze_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
===6. Carica di un condensatore ===
[[Immagine:TwoRoneC.png|250px|right]]
 
 
 
<span class="noprint">[[#6. Carica di un condensatore_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
===7. Due generatori di f.e.m. ===
[[Immagine:TwofemoneR.png|200px|right]]
 
 
 
<span class="noprint">[[#7. Due generatori di f.e.m._2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
===8. Tre generatori su una resistenza R ===
[[Immagine:3generators1resistance.png|200px|right]]
 
 
 
<span class="noprint">[[#8. Tre generatori su una resistenza R_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
===9. RC con r interna ===
Ai capi di una resistenza <math>R\ </math> ed un condensatore <math>C\ </math> in serie viene
posto un generatore di f.e.m. di valore <math>f_1\ </math>. All'istante iniziale la potenza dissipata nella resistenza vale <math>P_0\ </math>. Trascorso un tempo <math>t_1\ </math>
 
 
<span class="noprint">[[#9. RC con r interna_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
===10. Telefonino semiscarico ===
Ad una batteria ricaricabile semiscarica
(rappresentabile come un generatore di f.e.m. <math>f_2\ </math> con resistenza interna
 
 
<span class="noprint">[[#10. Telefonino semiscarico_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
===11. Carica condensatore con 2 R ===
[[Immagine:TwoRoneC.png|200px|right]]
 
 
 
<span class="noprint">[[#11. Carica condensatore con 2 R_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
===12. Scarica condensatore con 2 R ===
[[Immagine:FemR1CR2switch.png|300px|right]]
 
 
 
<span class="noprint">[[#12. Scarica condensatore con 2 R_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
===13. Due generatori reali su una R variabile ===
[[Immagine:Two_generator_with_a_variating_resistance.png|300px|right]]
 
 
 
<span class="noprint">[[#13 Due generatori reali su una R variabile_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
===14. Due condensatori con una resistenza ===
[[Immagine:Two_capacitor_and_a_resistance.png|300px|right]]
 
 
 
<span class="noprint">[[#14. Due condensatori con una resistenza_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
=== ES1 ===
Un filo conduttore di rame di lunghezza <math>l\ </math>, (ad esempio a causa della
corrosione) è ben descritto da un tronco di cono
che inizia con una sezione di raggio
<math>a\ </math> e finisce con un raggio <math>b\ </math> in maniera lineare.
Se il filo è percorso da una corrente <math>I\ </math>, determinare:
a) Il campo elettrico massimo e minimo nel filo.
b)la resistenza del filo.
c) La massima corrente che può scorrere se la potenza massima dissipabile per unità di volume vale
<math>P_{max}\ </math>.
 
(dati del problema <math>\rho_{Cu}=1.7\cdot 10^{-8}\ \Omega \cdot m</math>,
<math>a=2\ mm</math>, <math>b=4\ mm</math>, <math>I=10\ A</math>, <math>l=100\ m</math>, <math>P_{um}=1\ W/cm^3</math>)
 
 
<span class="noprint">[[#ES1_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
===15. Resistenze serie parallelo ===
Un differenza di potenziale <math>\Delta V\ </math> applicata ad una
resistenza <math>R_1\ </math> produce una potenza dissipata in calore <math>P_1=25\ W</math> pari al doppio di <math>P_2\ </math> cioè quella generata se applicata ad una seconda resistenza <math>R_2\ </math>. Calcolare la potenza dissipata se la stessa <math>\Delta V\ </math> viene applicata, invece che alle singole resistenze, ai capi del sistema delle resistenze <math>R_1\ </math> e <math>R_2\ </math> messe a) in serie o b) in parallelo.
 
 
<span class="noprint">[[#15. Resistenze serie parallelo_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
===16. Generatori serie parallelo ===
Un generatore di f.e.m. <math>f_1\ </math> e resistenza interna <math>r_1\ </math> é posto in serie ad un altro generatore con <math>f_2\ </math>, <math>r_2\ </math> non noti, ed entrambi alimentano la corrente in una resistenza <math>R\ </math> (costituiscono una maglia). Se i morsetti sono collegati in una polarità la corrente che scorre è <math>I_A\ </math>, collegando i morsetti di <math>f_1\ </math> in direzione opposta la corrente che scorre cambia verso e diviene <math>I_B\ </math>.
 
 
 
<span class="noprint">[[#16. Generatori_serie_parallelo_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
===17. Scarica di un condensatore con due generatori ===
[[Immagine:Tansitoriocapacitivo--Category---.png|250px|right]]
Dopo che l'interruttore <math>T\ </math> è rimasto aperto per lungo tempo a <math>t=0\ </math> viene chiuso. Determinare 1) la carica iniziale del condensatore; 2) la carica finale del condensatore dopo il transiente iniziale; 3) l'istante nel quale la corrente che scorre nel ramo del condensatore vale <math>I_o\ </math>.
 
 
<span class="noprint">[[#17. Scarica di un condensatore con due generatori_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
===18. Una nuvola di pioggia ===
Una nuvola di pioggia è approssimabile come una sfera di diametro <math>d\ </math> con una tipica differenza di potenziale di <math>V_o\ </math> tra un punto generico nella nuvola e il punto in cui si scarica un fulmine. Per effetto
del fulmine la densità degli ioni presenti diminuisce di <math>\Delta n\ </math>.
 
 
<span class="noprint">[[#18. Una nuvola di pioggia_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
 
== Soluzioni ==
 
===1. Filo a tronco di cono ===
<span class="noprint">[[#1. Filo a tronco di cono|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
1)
 
 
===2. Un filo di materiale conduttore ===
<span class="noprint">[[#2. Un filo di materiale conduttore|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
Ovviamente:
 
 
===3. Un faro abbagliante ===
<span class="noprint">[[#3. Un faro abbagliante|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
Essendo un oggetto ohmico:
 
 
===4. Un condensatore carico ===
<span class="noprint">[[#4. Un condensatore carico|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
a)
 
 
===5. Tre resistenze ===
<span class="noprint">[[#5. Tre resistenze|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
Da come è fatto il circuito l'elemento critico è la resistenza <math>R_3\ </math>, in quanto in esso scorre tutta la corrente.
 
 
===6. Carica di un condensatore ===
<span class="noprint">[[#6. Carica di un condensatore|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
Utilizzando il teorema di Thevenin il condensatore vede ai suoi capi un dipolo attivo con:
 
 
===7. Due generatori di f.e.m. ===
<span class="noprint">[[#7. Due generatori di f.e.m.|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
Se definiamo rispettivamente <math>I_1\ </math>, <math>I_2\ </math> ed <math>I\ </math> le correnti nei tre rami, tutte in senso
 
 
===8. Tre generatori su una resistenza R ===
<span class="noprint">[[#8. Tre generatori su una resistenza R|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
Applicando il teorema di Thevenin ai generatori 1 e 2, diventano
 
 
===9. RC con r interna ===
<span class="noprint">[[#9. RC con r interna|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
Nel transitorio iniziale la capacità si comporta come un corto circuito
 
 
===10. Telefonino semiscarico ===
<span class="noprint">[[#10. Telefonino semiscarico|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
Dai dati del problema nel primo caso il generatore fornisce
 
 
===11. Carica condensatore con 2 R ===
<span class="noprint">[[#11. Carica condensatore con 2 R|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
Nell'istante iniziale il condensatore si comporta come un corto circuito per cui la corrente che fornisce il generatore è massima:
 
 
===12. Scarica condensatore con 2 R ===
<span class="noprint">[[#12. Scarica condensatore con 2 R|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
La carica iniziale vale:
t_1=\tau \ln\left(\frac {R_1+2\cdot R_2}{R_2}\right)=0.62\ s\ </math>
 
===13. Due generatori reali su una R variabile ===
<span class="noprint">[[#13. Due generatori reali su una R variabile|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
Detta <math>I_1\ </math> la corrente nel ramo di <math>f_1\ </math>, <math>I_2\ </math> la corrente
 
 
===14. Due condensatori con una resistenza ===
<span class="noprint">[[#14. Due condensatori con una resistenza|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
La carica iniziale del primo condensatore vale:
 
 
===15. ES1Resistenze serie parallelo ===
<span class="noprint">[[#ES115. Resistenze serie parallelo|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
a)
 
La densità di corrente è massima sulla sezione minore:
 
<math>J_{max}=\frac I{\pi a^2}=8\cdot 10^5\ A/m^2</math>
 
minima in quella maggiore:
 
<math>J_{min}=\frac I{\pi b^2}=2\cdot 10^5\ A/m^2</math>
 
Applicando la legge di Ohm in forma locale, di conseguenza il campo elettrico vale:
 
<math>E_{max}=\rho_{Cu}J_{max}=1.35\cdot 10^{-2}\ V/m</math>
 
<math>E_{min}=\rho_{Cu}J_{min}=3.5\cdot 10^{-3}\ V/m</math>
 
b)
 
Il raggio del filo segue la legge:
 
<math>r=a+(b-a)\frac xl\qquad \ 0<x<l</math>
 
La resistenza vale:
 
<math>R=\int_0^l\rho_{Cu}\frac {dx}{\pi r^2}=
\frac {\rho_{Cu}}{\pi}\int_0^l\frac {dx}{\left[ a+(b-a)\frac xl
\right]^2}</math>
 
Facendo il cambiamento di variabile:
 
<math>y=a+(b-a)\frac xl</math>
 
segue che:
 
<math>R=\frac {\rho_{Cu}l}{\pi(b-a)}\int_a^b \frac {dy}{y^2}=
\frac {\rho_{Cu}l}{\pi ab}=0.068\ \Omega</math>
 
c)
 
Imponendo che:
<math>\rho |J_m|^2\le P_{um}</math>
<math>|J_m|=\sqrt {\frac {P_{um}}{\rho}}</math>
Quindi essendo la massima densità di corrente sulla sezione più piccola:
<math>I_m=|J_m|\pi a^2=\sqrt {\frac {P_{um}}{\rho}}\pi a^2=99\ A</math>
 
 
=== Resistenze serie parallelo ===
<span class="noprint">[[#Resistenze serie parallelo|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
Dai dati del problema:
 
 
===16. Generatori serie parallelo ===
<span class="noprint">[[#16. Generatori_serie_parallelo|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
a) Essendo <math>|I_A|>|I_B|\ </math> il caso indipendentemente dal valore della f.e.m. dei due generatori implica che sono disposti con i morsetti <math>-+-+\ </math>, quindi:
 
 
===17. Scarica di un condensatore con due generatori ===
<span class="noprint">[[#17. Scarica di un condensatore con due generatori|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
Prima della chiusura dell'interruttore la corrente che scorre nella maglia dove sono presenti entrambi i generatori vale:
 
 
===18. Una nuvola di pioggia ===
<span class="noprint">[[#18. Una nuvola di pioggia|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
 
Utente anonimo